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2020届新高考艺考数学复习课件:第二章 第2节函数的单调性与最值 .ppt

1、高 考 总 复 习 艺考生山东版数学 第2节 函数的单调性与最值 第二章 函数、导数及其应用最新考纲核心素养考情聚焦1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值,理解它们的作用和实际意义2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质1.函数的单调性的判断或证明,发展数学抽象和逻辑推理素养2.确定函数的单调区间,提升直观想象和逻辑推理素养3.确定函数的最值(值域),发展直观想象和数学运算素养4.函数单调性的应用,发展逻辑推理和数学运算素养确定函数的单调性、单调区间及应用函数的单调性比较函数值大小、求最值、求参数的取值(范围)是高考的热点,题型多以选择题、填空题的形式出现,难度不大,

2、属于低中档题,常与函数的图象及奇偶性交汇命题;若与导数交汇命题,则以解答题的形式出现,难度较大,属于中高档题在解答题中常与恒成立、方程有解等问题综合考查1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数一般地,设函数 f(x)的定义域为 I,如果对于定义域I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2定义当 x1x2 时,都有f(x1)f(x2),那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数当 x1f(x2),那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数图象描述自左向右看图象是 上升的自左向右看图象 下降的(2)单调区间的定义如果函数 yf(x)在区间 D 上是 增函数 或 减函数,那么就

3、说函数 yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间 D 叫做函数 yf(x)的单调区间2函数的最值前提设函数 yf(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足条件(1)对于任意 xI,都有 f(x)M;(2)存在 x0I,使得 f(x0)M(3)对于任意 xI,都有 f(x)M;(4)存在 x0I,使得f(x0)M 结论M 是 f(x)的最大值M 是 f(x)的最小值1设x1,x2D(x1x2),则x1x20(或0(或0(或0),f(x1)f(x2)0)f(x)在 D 上单调递减;fx1fx2x1x20(或(x1x2)f(x1)f(x2)0)f(x)在 D 上单调递增;fx1fx2x1x2

4、0(或(x1x2)f(x1)f(x2)0)的增区间为(,a和 a,);减区间为 a,0)和(0,a,且对勾函数为奇函数3单调函数的运算性质(1)在函数 f(x),g(x)的公共单调区间上,有如下结论:若 f(x),g(x)都是增(减)函数,则 f(x)g(x)也是增(减)函数;若 f(x)是增(减)函数,g(x)是减(增)函数,则 f(x)g(x)是增(减)函数;(2)若函数 f(x)在区间 D 上具有单调性,则在区间 D 上具有以下性质:当 a0 时,函数 af(x)与 f(x)有相同的单调性,当 a0 时,函数af(x)与 f(x)有相反的单调性;当函数 f(x)恒为正(或恒为负)时,f(

5、x)与 1fx有相反的单调性;若 f(x)0,则 f(x)与 fx具有相同的单调性4如果函数 yf(x)在区间a,b上单调递增,在区间b,c上单调递减,则函数 yf(x),xa,c在 xb 处有最大值 f(b);如果函数 yf(x)在区间a,b上单调递减,在区间b,c上单调递增,则函数 yf(x),xa,c在 xb 处有最小值 f(b)思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里打“”,错误的打“”(1)函数 f(x)的图象如图所示,则函数 f(x)的单调增区间是(,0(0,)()(2)若定义在 R 上的函数 f(x),有 f(1)0,则函数 f(x)在 D 上是增函数()(6)在闭

6、区间上单调的函数,其最值一定在区间端点取到()答案:(1)(2)(3)(4)(5)(6)小题查验1(2019合肥调研)下列函数中,在区间(0,)内单调递减的是()Ay1xx Byx2xCyln xxDyexx解析:A 对于 A 选项,y11x在(0,)内是减函数,y2x在(0,)内是增函数,则 y1xx 在(0,)内是减函数;B,C选项中的函数在(0,)上均不单调;选项 D 中,yex1,而当 x(0,)时,y0,所以函数 yexx 在(0,)上是增函数2设定义在1,7上的函数 yf(x)的图象如图所示,则关于函数 y 1fx的单调区间表述正确的是()A在1,1上单调递减B在(0,1上单调递减

7、,在1,3)上单调递增C在5,7上单调递减D在3,5上单调递增解析:B 由图象可知当 x0,x3,x6 时,f(x)0,此时函数 y 1fx无意义,故排除 A,C,D.故选 B.3(2019郑州模拟)函数的单调递增区间为()A(1,)B.,34C.12,D.34,解析:B 易知函数 y13t 为减函数,t2x23x1 的单调递减区间为,34.函数的单调递增区间是,34.4 函 数 f(x)2xx1 在 1,2 的 最 大 值 和 最 小 值 分 别 是_解析:f(x)2xx12x12x12 2x1在1,2上是增函数,f(x)maxf(2)43,f(x)minf(1)1.答案:43,15已知函数

8、 f(x)为 R 上的减函数,若 mn,则 f(m)_f(n);若f1x f(n);1x 1,即|x|1,且 x0.故1x(1,0)(0,1)考点一 函数单调性的判断或证明(自主练透)逻辑推理函数单调性问题中的核心素养依据增函数、减函数的定义证明函数单调性,通常按照设元、作差、变形、判号、定论这五个步骤进行,充分体现了“逻辑推理”的核心素养题组集训1(2019南宁模拟)下列函数中,在区间(1,)上是增函数的是()Ayx1 By 11xCy(x1)2Dy31x解析:B 函数 yx1 在(1,)上为减函数;y 11x在(1,)上为增函数;y(x1)2 在(1,)上为减函数;y31x 在(1,)上为

9、减函数,故选 B.2判断并证明函数 f(x)axx21(其中 a0)在 x(1,1)上的单调性证明:法一(定义法):设1x1x21,则 f(x1)f(x2)ax1x211 ax2x221ax1x22ax1ax2x21ax2x211x221ax2x1x1x21x211x221.1x1x20,x1x210,(x211)(x221)0.因此当 a0 时,f(x1)f(x2)0,即 f(x1)f(x2),此时函数 f(x)在(1,1)上为减函数.法二(导数法):f(x)ax212ax2x212ax21x212.又 a0,所以 f(x)0,所以函数 f(x)在(1,1)上为减函数利用定义法证明或判断函数

10、单调性的步骤易错警示:可导函数也可以利用导数判断但是,对于抽象函数单调性的证明,只能采用定义法进行判断考点二 确定函数的单调区间(课堂共研)典例(1)函数 yx22|x|1 的单调递增区间为_,单调递减区间为_(2)函 数 y f(x)(x R)的 图 象 如 图 所 示,则 函 数 g(x)f(logax)(0a1)的单调减区间是()A.0,12 B a,1C(,0)12,D.a,a1解析(1)由于 yx22x1,x0,x22x1,x0,即 yx122,x0,x122,x0.画出函数图象如图所示,单调递增区间为(,1和0,1,单调递减区间为1,0和1,)(2)由图象知 f(x)在(,0和12

11、,上单调递减,而在0,12上单调递增又 0a1 时,ylogax 为(0,)上的减函数,所以要使 g(x)f(logax)单调递减,需要 logax0,12,即 0logax12,解得 x a,1故选 B.答案(1)(,1和0,1 1,0和1,)(2)B互动探究1若将典例(1)中的函数变为“y|x22x1|”,则结论如何?解:函数 y|x22x1|的图象如图所示由图象可知,函数 y|x22x1|的单调递增区间为(1 2,1)和(1 2,);单调递减区间为(,1 2)和(1,1 2)2若将本例题(2)中的“0a1”,则函数 g(x)的单调递减区间如何?解析:由例(2)解析知,需 logax0 或

12、 logax12,解得 x1 或x a,又 x0,所以单调递减区间为(0,1,a,)1求函数的单调区间与确定单调性的方法一致(1)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数,求单调区间(2)定义法:先求定义域,再利用单调性定义(3)图象法:如果 f(x)是以图象形式给出的,或者 f(x)的图象易作出,可由图象的直观性写出它的单调区间(4)导数法:利用导数取值的正负确定函数的单调区间2求复合函数 yf(g(x)的单调区间的步骤(1)确定函数的定义域(2)将复合函数分解成基本初等函数 yf(u),ug(x)(3)分别确定这两个函数的单调区间(4)若这两个函数同增同减,则 yf(g(x

13、)为增函数;若一增一减,则 yf(g(x)为减函数,即“同增异减”提醒:单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示;如有多个单调区间应分别写,不能用并集符号“”联结,也不能用“或”联结跟踪训练1设函数 f(x)1,x0,0,x0,1,x1,0,x1,x2,x0,得函数的定义域为(,2)(4,)令 tx22x8,则 yln t.tx22x8(x1)29,tx22x8 的单调增区间为(4,)又 yln t 是增函数,函数 f(x)ln(x22x8)的单调增区间为(4,)考点三 确定函数的最值(值域)(师生共研)典例(1)若函数 f(x)1a1x在12,2 上的值域是12,2,则实数a 的值为_

14、(2)函数 f(x)x28x1(x1)的最小值为_解析(1)因为函数 f(x)在区间12,2 上是增函数,值域为12,2,所以 f12 12,f(2)2,即1a212,1a122,解得 a25.(2)法一:基本不等式法:f(x)x28x1 x122x19x1(x1)9x122x1 9x128,当且仅当 x1 9x1,即 x4 时,f(x)min8.法二:导数法:f(x)x4x2x12,令 f(x)0,得 x4 或 x2(舍去)当 1x4 时,f(x)4 时,f(x)0,f(x)在(4,)上递增,所以 f(x)在 x4 处达到最小值,即 f(x)minf(4)8.答案(1)25(2)8求函数最值

15、(值域)的常用方法及适用类型(1)单调性法:应先确定函数的单调性,然后再由单调性求解(2)图象法:作出函数的图象,利用最值的几何意义,观察其图象最高点、最低点,求出最值(3)基本不等式法:分子、分母其中一个为一次,一个为二次函数结构以及两个变量(如 x,y)的函数,一般通过变形使之具备“一正、二定、三相等”的条件,用基本不等式法求最值(值域)(4)导数法:用导数法,先求出给定区间上的极值,再结合端点值求得(5)换元法:对解析式较复杂的函数,可通过换元转化为以上四种类型中的某种,再求解易错警示:用换元法时,一定要注意新“元”的范围.跟踪训练1函数 y xx(x0)的最大值为_解析:令 t x则

16、t0,所以 ytt2t12214,结合二次函数的图象知,当 t12,即 x14时,ymax14.答案:142函数 f(x)13xlog2(x2)在区间1,1上的最大值为_解析:由于 y13x 在 R 上递减,ylog2(x2)在1,1上递增,所以 f(x)在1,1上单调递减,故 f(x)在1,1上的最大值为 f(1)3.答案:3考点四 函数单调性的应用(多维探究)命题角度 1 比较两个函数值或两个自变量的大小1已知函数 f(x)log2x 11x,若 x1(1,2),x2(2,),则()Af(x1)0,f(x2)0 Bf(x1)0Cf(x1)0,f(x2)0,f(x2)0解析:B 函数 f(x

17、)log2x 11x在(1,)上为增函数,且f(2)0,当 x1(1,2)时,f(x1)f(2)0,即 f(x1)0.命题角度 2 解函数不等式2f(x)是定义在(0,)上的单调增函数,满足 f(xy)f(x)f(y),f(3)1,当 f(x)f(x8)2 时,x 的取值范围是()A(8,)B(8,9C8,9 D(0,8)解析:B 211f(3)f(3)f(9),由 f(x)f(x8)2,可得fx(x8)f(9),因为 f(x)是定义在(0,)上的增函数,所以有x0,x80,xx89,解得 8x9.命题角度 3 利用单调性求参数的取值范围或值3如果函数 f(x)2ax1,x0 成立,那么 a

18、的取值范围是_破题关键点 函数 f(x)满足对任意 x1x2,都有fx1fx2x1x20成立,推出 f(x)在(,)上是增函数解析:因为对任意 x1x2,都有fx1fx2x1x20,所以 yf(x)在(,)上是增函数所以2a0,a1,2a11a,解得32a2.故实数 a 的取值范围是32,2.答案:32,2函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决(2)解含“f”的不等式在求解与抽象函数有关的不等式时,利用函数的单调性将“f”符号脱掉,使其转化为具体的不等式求解此时应特别注意函数的定义域(3)利用单调性求参数视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数;需注意若函数在区间a,b上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的

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