1、习题课一 圆周运动的两种模型和临界问题 综合提能(一)竖直平面内圆周运动的两种模型 知识贯通 1模型建立 在竖直平面内做圆周运动的物体，根据其受力特点可分为两类：(1)“轻绳模型”(无支撑)。小球在细绳作用下在竖直平面内做圆周运动，如图甲所示；小球沿竖直光滑轨道内侧做圆周运动，如图乙所示，都称为“轻绳模型”。(2)“轻杆模型”(有支撑)。小球在轻杆作用下在竖直平面内做圆周运动，如图丙所示；小球在竖直放置的光滑细管内做圆周运动，如图丁所示，都称为“轻杆模型”。2两种模型对比 项目“轻绳模型”“轻杆模型”情景图示弹力特征弹力可能向下，也可能等于零弹力可能向下，可能向上，也可能等于零受力示意图力学方
2、程mgFTmv2r mgFNmv2r临界特征FT0，即 mgmv2r，得 v grv0，即 F 向0，此时 FNmgv gr的意义物体能否过最高点的临界点FN 表现为拉力还是支持力的临界点续表典例1 一根长为0.8 m的绳子，当受到7.84 N的拉力时被拉断。若在此绳的一端拴一个质量为0.4 kg的物体，使物体以绳子的另一端为圆心在竖直面内做圆周运动，当物体运动到最低点时绳子恰好断裂。求物体运动至最低点时的角速度和线速度大小(取g9.8 m/s2)。解析：当物体运动到最低点时，物体受重力 mg、绳子拉力 FT，根据牛顿第二定律得 FTmgm2r，又由牛顿第三定律可知，绳子受到的拉力和绳子拉物体
3、的力大小相等，绳子被拉断时受到的拉力为 FT7.84 N，故 FT7.84 N。所以，绳子被拉断时物体的角速度为FTmgmr7.840.49.80.40.8rad/s3.5 rad/s，物体的线速度为 vr3.50.8 m/s2.8 m/s。答案：3.5 rad/s 2.8 m/s(1)物体做非匀速圆周运动时，在任何位置均是由沿半径方向指向圆心的合力提供向心力。(2)物体做一般曲线运动时，在每段小圆弧处仍可按圆周运动规律进行处理。典例2长L0.5 m的轻杆一端连接着一个零件A，A的质量m2 kg。现让A在竖直平面内绕O点做匀速圆周运动，如图所示。在A通过最高点时，求下列两种情况下A对轻杆的作用
4、力：(取g10 m/s2)(1)A的速率为1 m/s。(2)A的速率为4 m/s。解析：设轻杆转到最高点，轻杆对 A 的作用力恰好为 0 时，A 的速度为 v0，由 mgmv02L，得 v0 gL 5 m/s。(1)当 A 的速率 v11 m/sv0 时，轻杆对 A 有支持力，由牛顿第二定律得 mgF1mv12L，解得 F1mgmv12L 16 N，由牛顿第三定律得A 对轻杆的压力 F1F116 N，方向竖直向下。(2)当 A 的速率 v24 m/sv0 时，轻杆对 A 有拉力，由牛顿第二定律得 mgF2mv22L，解得 F2mv22L mg44 N，由牛顿第三定律得 A 对轻杆的拉力 F2F
5、244 N，方向竖直向上。答案：(1)16 N，向下的压力(2)44 N，向上的拉力解答竖直平面内物体的圆周运动问题的两个关键(1)确定是属于“轻绳模型”，还是“轻杆模型”；(2)注意区分两者在最高点的最小速度的要求，区分绳与杆的施力特点。集训提能1如图所示，某公园里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客在座椅里面头朝下，人体颠倒，若轨道半径为 R，人体受重力为 mg，要使乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于自身的重力，则过山车在最高点时的速度大小为()A0 B.gRC.2gRD.3gR解析：由题意知 Fmgmv2R，即 2mgmv2R，故速度大小 v 2gR，C 正确。答案：C 2(2020全国卷
6、)如图，一同学表演荡秋千。已知秋千的两根绳长均为10 m，该同学和秋千踏板的总质量约为50 kg。绳的质量忽略不计。当该同学荡到秋千支架的正下方时，速度大小为8 m/s，此时每根绳子平均承受的拉力约为()A200 NB400 N C600 ND800 N 解析：取该同学与踏板为研究对象，该同学身高相对于秋千的绳长可忽略不计，可以把该同学与踏板看成质点。当该同学荡到秋千支架的正下方时，由牛顿第二定律有 2Fmgmv2L，代入数据解得 F410 N，最接近选项 B，选项 B 正确。答案：B 3多选如图所示，一个固定在竖直平面上的光滑圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周
7、运动，下列说法中正确的是()A小球通过管道最低点时，小球对管道的压力向下 B小球通过管道最低点时，小球对管道的压力向上 C小球通过管道最高点时，小球对管道的压力可能向上 D小球通过管道最高点时，小球对管道可能无压力 解析：设管道的半径为 R，小球的质量为 m，小球通过最低点时速度大小为 v1，根据牛顿第二定律：FNmgmv12R，可知小球所受合力向上，则管道对小球的支持力向上，则小球对管道的压力向下，故 A 正确，B 错误；设小球在最高点时速度大小为 v2，根据牛顿第二定律：mgFNmv22R，当 v2 gR时，FN0，说明管道对小球无压力；当 v2 gR时，FN0，说明管道对小球的作用力向下
8、，则小球对管道的压力向上，故 C、D 正确。答案：ACD 综合提能(二)圆周运动的临界问题 知识贯通 圆周运动的临界问题，主要涉及临界速度与临界力的问题，常常与绳的拉力、接触面的弹力和摩擦力等相关。在这类问题中，要特别注意分析物体做圆周运动的向心力来源，考虑达到临界条件时物体所处的状态，即临界速度、临界角速度等，然后分析该状态下物体的受力特点，结合圆周运动知识，列方程求解。常见情况有以下几种：(1)与绳的弹力有关的圆周运动临界问题。绳子断与不断的临界条件：绳中张力等于它所能承受的最大张力；绳子松弛的临界条件：绳子的张力F0。(2)因静摩擦力存在最值而产生的圆周运动临界问题。相对滑动的临界条件：
9、静摩擦力达到最大值。(3)与接触面有关的圆周运动临界问题。接触与脱离的临界条件：弹力FN0。典例3 如图所示，两绳系一质量为m0.1 kg的小球，上面绳长L2 m，两端都拉直时与轴的夹角分别为30与45，问球的角速度在什么范围内，两绳始终伸直？(g取10 m/s2)解析：两绳都张紧时，小球受力如图所示，当由0逐渐增大时，可能出现两个临界值。(1)BC恰好拉直，但拉力T2仍然为零，设此时的角速度为1，则有FxT1sin 30m12Lsin 30，FyT1cos 30mg0，联立解得12.40 rad/s。(2)AC由拉紧变为恰好拉直，则T1为零，设此时的角速度为2，则有 FxT2sin 45m2
10、2Lsin 30，FyT2cos 45mg0，联立解得23.16 rad/s，可见，要使两绳始终张紧，必须满足 240 rad/s 3.16 rad/s。答案：2.40 rad/s 3.16 rad/s 典例4 如图所示，水平转盘上放有质量为m的物块，物块到转轴的距离为r，物块和转盘间的动摩擦因数为，设物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知重力加速度为g。(1)当水平转盘以角速度 1 匀速转动时，物块与转盘刚好能相对静止，求 1的值；(2)如图乙，将物块和转轴用细绳相连，当转盘的角速度 2g3r时，求细绳的拉力 FT2 的大小；(3)将物块和转轴用细绳相连，当转盘的角速度 35g3r 时，
11、求细绳的拉力FT3 的大小。解析：(1)当水平转盘以角速度 1 匀速转动时，物块与转盘刚好能相对静止，则此时物块所需向心力恰好完全由最大静摩擦力提供，则 mgmr12，解得：1gr。(2)由于 21，物块受到的最大静摩擦力不足以提供所需的向心力，此时绳对物块有拉力，则 mgFT3m32r，可得此时绳子对物块拉力的大小为 FT323mg。答案：(1)gr (2)0(3)23mg典例5如图所示，用一根长为l1 m的细线，一端系一质量为m1 kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角37，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为时，细线的张力为FT。(g取1
12、0 m/s2，sin 370.6，cos 370.8，结果可用根式表示)(1)若要小球离开锥面，则小球的角速度0至少为多大？(2)若细线与竖直方向的夹角为60，则小球的角速度为多大？解析：(1)若要小球刚好离开锥面，则小球只受到重力和细线的拉力，受力分析如图所示。小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力水平，在水平方向运用牛顿第二定律及向心力公式得 mgtan m02lsin，解得 02glcos，即 0glcos 52 2 rad/s。(2)同理，当细线与竖直方向成 60角时，由牛顿第二定律及向心力公式得mgtan m2lsin，解得 2glcos，即 glcos 2 5 rad/s。
13、答案：(1)52 2 rad/s(2)2 5 rad/s集训提能1.如图所示为模拟过山车的实验装置，小球从左侧的最高点释放后能够通过竖直圆轨道而到达右侧。若竖直圆轨道的半径为 R，要使小球能顺利通过竖直圆轨道，则小球通过竖直圆轨道的最高点时的角速度最小为()A.gRB2 gRC.gRD.Rg解析：小球能通过竖直圆轨道的最高点的临界状态为重力提供向心力，即 mgm2R，解得 gR，选项 C 正确。答案：C 2一质量为20103 kg的汽车在水平公路上行驶，路面对轮胎的径向最大静摩擦力为1.4104 N，当汽车经过半径为80 m的弯道时，下列判断正确的是()A汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力
14、和向心力 B汽车转弯的速度为20 m/s时，所需的向心力为1.4104 N C汽车转弯的速度为20 m/s时，汽车会发生侧滑 D汽车能安全转弯的向心加速度不超过7.0 m/s2 解析：汽车转弯时受到重力、弹力、摩擦力的作用，A 错误；汽车转弯的速度为20 m/s 时所需的向心力为 Fmv2r 1.0104 N1.4104 N，汽车不会侧滑，B、C错误；汽车能安全转弯的最大向心加速度为 aFmm fmm7.0 m/s2，D 正确。答案：D 3.如图所示，内壁光滑的竖直圆桶绕中心轴做匀速圆周运动，一物块用细绳系着，绳的另一端系于圆桶上表面圆心，且物块贴着圆桶内表面随圆桶一起转动，则()A绳的拉力可能为零 B桶对物块的弹力不可能为零 C若它们以更大的角速度一起转动，绳的张力一定增大 D若它们以更大的角速度一起转动，绳的张力仍保持不变 解析：由于桶的内壁光滑，所以桶不能提供给物块竖直向上的摩擦力，所以绳子的拉力一定不能等于零，故A错误。绳子沿竖直方向的分力与物块重力大小相等，若绳子沿水平方向的分力恰好提供向心力，则桶对物块的弹力为零，故B错误。由题图可知，绳子与竖直方向的夹角不会随桶的角速度的增大而增大，所以绳子的拉力也不会随角速度的增大而增大，故C错误，D正确。答案：D
