1、24.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教材研读预习课本P106107，思考以下问题1平面向量数量积的坐标表示是什么？2如何用坐标表示向量的模、夹角、垂直？要点梳理1两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示已知两个非零向量，向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为.数量积两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即abx1x2y1y2向量垂直abx1x2y1y202.与向量的模、夹角相关的三个重要公式(1)向量的模：设a(x，y)，则|a|.(2)两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|.(3)向量的夹角公式：设两非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a
2、与b的夹角为，则cos.自我诊断判断(正确的打“”，错误的打“”)1向量a(x1，y1)，b(x2，y2)的数量积仍是向量，其坐标为(x1x2，y1y2)()2|的计算公式与A，B两点间的距离公式是一致的()3非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)的夹角为锐角，则x1x2y1y20，反之，若非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)满足x1x2y1y20，则它们的夹角为锐角()答案1.2.3.题型一向量数量积的坐标运算思考：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab如何计算？提示：abx1x2y1y2. (1)在平面直角坐标系xOy中，已知(1，t)，(2,2)，若ABO90，则实数t的
3、值为_(2)已知向量a(1,3)，b(2,5)，c(2,1)，求：2a(ba)；(a2b)c.思路导引利用向量垂直的充要条件及数量积的坐标表示求解解析(1)(3,2t)，由题意知0，所以232(2t)0，t5.(2)解法一：2a2(1,3)(2,6)，ba(2,5)(1,3)(1,2)，2a(ba)(2,6)(1,2)216214.a2b(1,3)2(2,5)(1,3)(4,10)(5,13)，(a2b)c(5,13)(2,1)5213123.解法二：2a(ba)2ab2a22(1235)2(19)14.(a2b)cac2bc12312(2251)23.答案(1)5(2)1423数量积运算的途
4、径及注意点(1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解跟踪训练(1)向量a(1，1)，b(1,2)，则(2ab)a()A1 B0 C1 D2(2)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，(1，2)，(2,1)，则()A5 B4 C3 D2解析(1)a(1，1)，b(1,2)，(2ab)a(1,0)(1，1)1.(2)由(1，2)(2,1)(3，1)，得
5、(2,1)(3，1)5.答案(1)C(2)A思考：向量的模与两点间的距离有什么关系？提示：向量的模即为向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离，如a(x，y)，则在平面直角坐标系中，一定存在点A(x，y)，使得a(x，y)，|a|，即|a|为点A到原点的距离同样若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|，即平面直角坐标系中任意两点间的距离公式由此可知向量的模的运算实质即为平面直角坐标系中两点间的距离的运算 (1)设x，yR，向量a(x,1)，b(1，y)，c(2，4)，且ac，bc，则|ab|()A. B. C2 D10(2)已知点A(1，2)，若向量与a(2
6、,3)同向，|2，则点B的坐标是_思路导引(1)利用向量平行垂直的充要条件求解x，y.(2)利用与a共线得a解得，注意范围解析(1)由a(2,1)，b(1，2)，ab(3，1)|ab|.(2)由题意可设a(0)，(2，3)又|2，(2)2(3)2(2)2，解得2或2(舍去)(4,6)又A(1，2)，B(5,4)答案(1)B(2)(5,4)求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算：利用|a|2a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题(2)坐标表示下的运算：若a(x，y)，则aaa2|a|2x2y2，于是有|a|.跟踪训练平面直角坐标系xOy中，O是原点(如图)已知点A(16,12
7、)，B(5,15)(1)求|，|；(2)求OAB.解(1)由(16,12)，(516,1512)(21,3)，得|20，|15.(2)cosOABcos，.其中(16,12)(21,3)16(21)123300.故cosOAB.OAB45.思考：如果a与b是坐标形式时，如何求a与b的夹角？提示：若a，b是坐标形式，则可直接利用公式cos求解 已知平面向量a(3,4)，b(9，x)，c(4，y)，且ab，ac.(1)求b与c；(2)若m2ab，nac，求向量m，n的夹角的大小思路导引利用向量平行和垂直的充要条件，求出向量b和c，再利用夹角公式求解解(1)ab，3x49，x12.ac，344y0，
8、y3，b(9,12)，c(4，3)(2)m2ab(6,8)(9,12)(3，4)，nac(3,4)(4，3)(7,1)设m、n的夹角为，则cos.0，即m、n的夹角为.解决向量夹角问题的方法及注意事项(1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积ab以及|a|b|，再由cos求出cos，也可由坐标表示cos 直接求出cos.由三角函数值cos求角时，应注意角的取值范围是0.(2)由于0，所以利用cos来判断角时，要注意cos0也有两种情况：一是为锐角，二是0.跟踪训练求与向量a(，1)和b(1，)夹角相等，且模为的向量c的坐标解设c(x，y)，由|c|，得：x2y22.c与a和b夹角相等
9、， ，得xyxy，联立可得，或c或.课堂归纳小结1本节课的重点是向量的坐标运算以及用向量的坐标解决模、 夹角、垂直等问题. 2要掌握平面向量数量积的坐标运算及应用(1)向量数量积的坐标运算，见典例1；(2)向量的模，见典例2；(3)向量的夹角，见典例3.3本节课的易错点：解决两向量的夹角问题时，易忽视夹角为0或的特殊情况.1若向量a(1,1)，b(1,2)，则ab()A1 B2 C3 D4解析ab1(1)121，选A.答案A2已知向量a(x1,2)，b(2,1)，则ab的充要条件是()Ax Bx1Cx5 Dx0解析ab，ab0，即(x1)2210，x0.答案D3已知a(，1)，b(1，)，那么
10、a，b的夹角()A30 B60 C120 D150解析cos.0，180，150.答案D4已知平面向量a(2,4)，b(1,2)，若ca(ab)b，则|c|_.解析ca(ab)b(2,4)2(1)24(1,2)(2,4)(6,12)(8，8)|c|8.答案85已知a(2,3)，b(2,4)，则(ab)(ab)_.解析(ab)(ab)(0,7)(4，1)047(1)7.答案7课内拓展课外阅读1数量积的综合运用数量积及其运算经常用来解决几何问题解题时一般分为三步：一是用向量表示几何关系，二是进行向量运算，三是还原几何结论 若O为ABC内一点，且满足()(2)0，则ABC的形状是()A等腰三角形 B
11、等边三角形C直角三角形 D以上都不对解析，2.如图所示，以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，连接AD，则.()(2)0，0，平行四边形ABDC为菱形，ABAC，即ABC为等腰三角形答案A点评解决此题用到了向量运算的恒等变形、向量加法运算的几何意义及菱形的判定等，采用了数形结合的方法2与向量有关的最值问题与向量有关的最值问题常转化为函数的最值问题来解决，即寻找变量，借助向量的坐标运算构造函数并求其最值还需指出的是，利用向量解决函数问题，或者利用函数与方程思想解决向量问题已成为高考命题的一大热点，应引起重视 已知平面xOy内有向量(1,7)，(5,1)，(2,1)，点X为直线OP上的一个动点(1)当取最小值时，求的坐标；(2)当点X满足(1)的条件时，求cosAXB的值解(1)设(x，y)，点X在直线OP上，向量，共线，由(2,1)，可以求得x2y.()()(12y,7y)(52y,1y)5y220y125(y2)28.当y2时，取得最小值8，此时(4,2)(2)当(4,2)时，(3,5)，(1，1)，|，|.cosAXB.点评利用向量的坐标运算，把化为关于变量y的函数，利用二次函数求最值
