1、高 考 总 复 习 艺考生山东版数学 第3节 三角函数的图象与性质 第三章 三角函数、解三角形最新考纲核心素养考情聚焦1.能画出ysin x，ycos x，ytan x的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在0,2上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，正切函数在上的性质1.三角函数的定义域与值域(最值)，达成直观想象和数学运算的素养2.三角函数的单调性，增强逻辑推理和数学运算的素养3.三角函数的周期性、奇偶性和对称性，提升逻辑推理和数学运算的素养三角函数的奇偶性、周期性、单调性及最值是高考的热点，题型既有选择题、填空题，
2、又有解答题，一般难度不会太大，属中低档题型，通常与三角恒等变换相结合，在考查三角函数性质的同时，又考查了三角恒等变换的方法与技巧考查考生函数与方程、转化与化归、数形结合等数学思想的运用1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数 ysin x，x0,2的图象中，五个关键点是：(0,0)，2，1，(，0)，32，1，(2，0)余弦函数 ycos x，x0,2的图象中，五个关键点是：(0,1)，2，0，(，1)，32，0，(2，1)2正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中 kZ)函数ysin xycos xytan x图象定义域RR xxR且x k2，kZ值域 1,1 1,1 R周期性2 2 奇
3、偶性 奇函数 偶函数奇函数递增区间2k2，2k22k，2k k2，k2递减区间2k2，2k32 2k，2k 无对称中心(k，0)k2，0 k2，0对称轴方程xk2 xk 无 若 f(x)Asin(x)为偶函数，则 2k(kZ)；若 f(x)Asin(x)为奇函数，则 k(kZ)思考辨析 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“”，错误的打“”(1)函数 ysin x 的图象介于直线 y1 与 y1 之间()(2)将余弦曲线向右平移2个单位就得到正弦曲线()(3)函数 ysin2x32 是奇函数()(4)函数 ysin x 的对称轴方程为 x2k2(kZ)()(5)正切函数在整个定义域内
4、是增函数()答案：(1)(2)(3)(4)(5)小题查验1(2017全国卷)函数 f(x)sin2x3 的最小正周期为()A4 B2 C D.2解析：C 函数 f(x)sin 2x3 的最小正周期为 T22.2(2019全国卷)下列函数中，以2为周期且在区间4，2 单调递增的是()Af(x)|cos 2x|Bf(x)|sin 2x|Cf(x)cos|x|Df(x)sin|x|解析：A 函数 ycos 2x 的周期为，函数 f(x)|cos 2x|的周期为2，当4x2时，22x，ycos 2x 递减且为负值，函数 f(x)|cos 2x|在区间4，2 上单调递增3已知函数 f(x)sinx3(0
5、)的最小正周期为，则该函数的图象()A关于直线 x3对称 B关于点3，0 对称C关于直线 x6对称D关于点6，0 对称解析：B f(x)sinx3(0)的最小正周期为，2，即 f(x)sin2x3.经验证可知 f3 sin23 3 sin 0，即3，0 是函数 f(x)的一个对称点4函数 ytan 2x4 的图象与 x 轴交点的坐标是 _.解析：由 2x4k(kZ)得，xk2 8(kZ)函数 ytan2x4 的图象与 x 轴交点的坐标是k2 8，0.答案：k2 8，0(kZ)5人教 A 版教材 P46A 组 T2 改编y3sin2x6 在区间0，2上的值域是 _.解析：当 x0，2 时，2x6
6、6，56，sin2x6 12，1，故 3sin2x6 32，3，即 y3sin2x6 的值域为32，3.答案：32，3考点一 三角函数的定义域、值域问题(自主练透)命题角度 1 三角函数的定义域问题(1)函数 y sin xcos x的定义域为 _.(2)函数 ylg(sin 2x)9x2的定义域为_(1)解析：法一(利用三角函数图象)：要使函数有意义，必须使 sin xcos x0.在同一坐标系中画出0,2上 ysin x 和 ycos x 的图象，如图所示在0,2内，满足 sin xcos x 的 x 为4，54，再结合正弦、余弦函数的周期是 2，所以函数 y sin xcos x的定义域
7、为x|2k4x2k54，kZ法二(利用三角函数线)：画出满足条件 sin xcos x 的角 x 的终边范围(如图阴影部分所示)，函数 y sin xcos x的定义域为x|2k4x2k54，kZ法三(利用整体思想)：sin xcos x 2sinx4 0，将 x4视为一个整体，由正弦函数 ysin x 的图象和性质可知 2kx42k，kZ，解得 2k4x2k54，kZ.所以函数 ysin xcos x的定义域为x|2k4x2k54，kZ(2)由sin 2x0，9x20，得2k2x2k，kZ，3x3.3x2，或 0 x2.函 数y lg(sin 2x)9x2 的 定 义 域 为x3x2，或0
8、x2.答案：(1)x|2k4x2k54，kZ(2)x3x2，或0 x2求三角函数的定义域实际上就是解简单的三角不等式，常借助于三角函数线或三角函数图象来求解命题角度 2 三角函数的值域(最值)问题(1)(2019全国卷)函数 f(x)sin2x32 3cos x 的最小值为_(2)函数 ysin xcos xsin xcos x 的值域为_解析：(1)f(x)sin2x32 3cos xcos 2x3cos x，f(x)min4.(2)设 tsin xcos x，则 sin xcos xt212(2t 2)，yt12t21212(t1)21.当 t 2时，y 取最大值 212；当 t1 时，y
9、 取最小值1.函数的值域为1，12 2.答案：(1)4(2)1，12 21求三角函数的定义域实际上就是解简单的三角不等式，常借助于三角函数线或三角函数图象来求解2求三角函数的值域(最值)的常见题型及求解策略：(1)形如 yasin xbcos xc 的三角函数化为 yAsin(x)k的形式，再求最值(值域)；(2)形如 yasin2xbsin xc 的三角函数，可先设 sin xt，化为关于 t 的二次函数求值域(最值)；(3)形如 yasin xcos xb(sin xcos x)c 的三角函数，可先设 tsin xcos x，化为关于 t 的二次函数求值域(最值)考点二 三角函数的单调性(
10、师生共研)典例(1)ysin3 2x 的单调递减区间为 _.解析 ysin2x3 的减区间是ysin2x3 的增区间由 2k22x32k2，kZ，得 k 12xk512，kZ.故所给函数的减区间为k 12，k512，kZ.答案 k 12，k512，kZ(2)若 f(x)2sin x1(0)在区间2，23 上是增函数，则 的取值范围是 _.逻辑推理三角函数单调性中应用的核心素养具体见下表：信息提取信息解读逻辑推理已知 f(x)2sin x1(0)在区间2，23上是增函数解读一：2，23 是函数 f(x)单调递增区间的子区间解读二：x 的取值范围是2，2 的子区间解读三：原点到区间2，23两端点的
11、距离不超过T4推理一：由函数ysin x 在区间2k2，2k2上单调递增，求得 f(x)2sin x1(0)的单调递增区间求参数 的取值范围建立关于 的不等式组推理二：由不等式的基本性质求出 x 的取值范围推理三：由正弦函数 ysin x的图形与性质知原点到区间2，2 两端点的距离等于T4解析 方法一：第一步，求出 f(x)2sin x1(0)的单调递增区间由 2k2x2k2，kZ，得 f(x)的增区间是2k 2，2k 2，kZ.第二步，转化为集合之间的关系，即2，23 是函数 f(x)单调递增区间的子区间f(x)在2，23 上是增函数，2，23 2，2.第三步，利用数轴，列出关于 的不等式组
12、，解不等式组得 的取值范围2 2且23 2，0，34.方法二：第一步，由 x 的取值范围求出 x(0)的取值区间x2，23，0.x2，23，第二步，由 f(x)在区间2，23 上是增函数得 x(0)的取值区间是2，2 的子区间又 f(x)在区间2，23 上是增函数，2，232，2，第三步，利用数轴，列出关于 的不等式组，解不等式组得 的取值范围则 2 2，23 2，又 0，得 034.方法三：第一步，由 f(x)在区间2，23 上是增函数得原点到区间2，23 端点的距离不超过T4.f(x)在区间2，23 上是增函数，故原点到区间端点的距离不超过T4，第二步，列出关于 的不等式组，解不等式组得
13、的取值范围所以2T4，23 T4，得 T83，即2 83.又 0，得 034.答案 0，34互动探究在本例(1)中函数不变，求函数在，0上的单调递减区间解析：法一：xR 时，ysin32x 的减区间为k 12，k512，kZ.令 k0 得 12x512；令 k1 得1312 x712，故 x，0时，ysin32x 的减区间为，712，12，0.法二：因为x0，所以732x33，结合正弦曲线，由732x332，解得x 712；由22x33，解得 12x0，所以单调减区间为，712，12，0.求三角函数单调区间的两种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角 u(或 t)，利
14、用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间(2)图象法：函数的单调性表现在图象上是：从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间 提醒：求解三角函数的单调区间时若 x 的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域跟踪训练1函数 f(x)tan2x3 的单调递增区间是()A.k2 12，k2 512(kZ)B.k2 12，k2 512(kZ)C.k6，k23(kZ)D.k 12，k512(kZ)解析：B 由 k22x3k2(kZ)得，k2 12xk2 512(k Z)，所 以 函 数 f(x)tan
15、 2x3 的 单 调 递 增 区 间 为k2 12，k2 512(kZ)，故选 B.2(2018全国卷)若 f(x)cos xsin x 在a，a是减函数，则a 的最大值是()A.4 B.2 C.34 D解析：A 因为 f(x)cos xsin x 2 cos x4，所以由2kx42k(kZ)得42kx34 2k(kZ)，因此，a，a4，34，aa，a4，a34，0a4从而 a 的最大值为4，选 A.考点三 三角函数的奇偶性、周期性和对称性(多维探究)命题角度 1 三角函数的周期性 1(2017山东卷)函数 y 3sin 2xcos 2x 的最小正周期为()A.2 B.23 C D2解析：C
16、由题意 y2sin2x6，其周期 T22.2若函数 f(x)2tankx3 的最小正周期 T 满足 1T2，则自然数 k 的值为 _.解析：由题意知，1k2，即 k2k.又 kN，所以 k2 或 k3.答案：2 或 3求三角函数周期的方法(1)利用周期函数的定义；(2)利用公式：yAsin(x)和 yAcos(x)的最小正周期为2|，ytan(x)的最小正周期为|；(3)利用图象：对含绝对值的三角函数的周期问题，通常要画出图象，结合图象进行判断跟踪训练(2018全国卷)已知函数 f(x)2cos2 xsin2 x2，则()Af(x)的最小正周期为，最大值为 3Bf(x)的最小正周期为，最大值为
17、 4Cf(x)的最小正周期为 2，最大值为 3Df(x)的最小正周期为 2，最大值为 4解析：B f(x)2cos2x(1cos2x)23cos2x132cos 2x52，最小正周期为，最大值为 4.故选 B.命题角度 2 三角函数的对称轴或对称中心 3当 x4时，函数 f(x)sin(x)取得最小值，则函数 yf34 x()A是奇函数且图象关于点2，0 对称B是偶函数且图象关于点(，0)对称C是奇函数且图象关于直线 x2对称D是偶函数且图象关于直线 x 对称解析：C 当 x4时，函数 f(x)取得最小值，sin4 1，2k34(kZ)f(x)sinx2k34 sinx34.yf34 x si
18、n(x)sin x.yf34 x 是奇函数，且图象关于直线 x2对称方法点拨 若求 f(x)Asin(x)的对称轴，只需令 x2k(kZ)，求 x；若求 f(x)Asin(x)的对称中心的横坐标，只需令 xk(kZ)，求 x 即可跟踪训练设函数 f(x)3sin(2x)cos(2x)(|2)，且其图象关于直线 x0 对称，则()Ayf(x)的最小正周期为，且在0，2 上为增函数Byf(x)的最小正周期为，且在0，2 上为减函数Cyf(x)的最小正周期为2，且在0，4 上为增函数Dyf(x)的最小正周期为2，且在0，4 上为减函数解 析：B 函 数 f(x)3 sin(2x )cos(2x )2
19、sin2x6 的图象关于直线 x0 对称，函数 f(x)为偶函数，62k(kZ)|2，3，f(x)2cos 2x，T22.0 x2，02x，函数 f(x)在0，2 上为减函数故选 B.命题角度 3 三角函数奇偶性、对称性的应用 4(2019拉萨市一模)使函数 f(x)3sin(2x)cos(2x)是偶函数，且在0，4 上是减函数的 的一个值是()A.6B.3 C.23 D.56解析：B 函数 f(x)3sin(2x)cos(2x)2sin 2x6 是偶函数，6k2，即 k3，kZ，因此可取 3，此时，f(x)2sin 2x2 cos 2x，且在0，4 上，即 2x0，2时，f(x)是减函数故选
20、 B.5(2019雅安市模拟)函数 f(x)3sin 2x3 的图象在区间0，2 上的对称轴方程为 _.解析：对于函数 f(x)3sin 2x3 的图象，令 2x3k2，得 xk2 12，kZ，令 k0，可得函数在区间0，2 上的对称轴方程为 x 12.答案：x 12函数 f(x)Asin(x)的奇偶性、对称性的应用(1)若 f(x)Asin(x)为偶函数，则当 x0 时，f(x)取得最大或最小值；若 f(x)Asin(x)为奇函数，则当 x0 时，f(x)0.(2)对于函数 yAsin(x)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线xx0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验 f(x0)的值进行判断跟踪训练(2019全国卷)关于函数 f(x)sin|x|sin x|有下述四个结论：f(x)是偶函数 f(x)在区间2，单调递增f(x)在，有 4 个零点 f(x)的最大值为 2.其中所有正确结论的编号是()ABCD解析：C f(x)sin|x|sin(x)|sin|x|sin x|，f(x)是偶函数，对；f(x)在区间2，上单调递减，错；f(x)在，上有 3 个零点，错；f(x)的最大值为 2，对故选 C.
