1、明目标、知重点1.进一步熟练掌握正、余弦定理在解各类三角形中的应用.2.提高对正、余弦定理应用范围的认识.3.初步应用正、余弦定理解决一些和三角函数、向量有关的综合问题1三角形内角的三角函数关系在ABC中，边a、b、c所对的角分别为A、B、C，则有(1)sin(AB)sin_C，cos(AB)cos_C，tan(AB)tan_C，(2)sin cos ，cos sin .2正弦定理及其变形(1)2R.(2)a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C.3余弦定理及其推论(1)a2b2c22bccos_A，cos A.(2)在ABC中，c2a2b2C为直角，c2a2b2C为钝角；c2a2
2、b2C为锐角题型一利用正、余弦定理解三角形例1在ABC中，若ccos Bbcos C，且cos A，求sin B的值解由ccos Bbcos C，结合正弦定理得，sin Ccos Bsin Bcos C，故sin(BC)0，易知BC，故bc.因为cos A，所以由余弦定理得3a22b2，再由余弦定理得cos B，故sin B.反思与感悟正、余弦定理的变形形式比较多，解题时应根据题目条件的不同，灵活选择跟踪训练1在ABC中，已知b2ac，且a2c2acbc.(1)求A的大小；(2)求的值解(1)由题意知，b2accos A，A(0，)，A.(2)由b2ac，得，sin Bsin Bsin A.题
3、型二正、余弦定理与三角变换的综合应用例2在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，4sin2 cos 2A.(1)求A的度数(2)若a，bc3，求b和c的值解(1)由4sin2 cos 2A及ABC180，得21cos(BC)2cos2 A1，4(1cos A)4cos2 A5，即4cos2A4cos A10，(2cos A1)20，解得cos A.0A180，A60.(2)由余弦定理，得cos A.cos A，化简并整理，得(bc)2a23bc，将a，bc3代入上式，得bc2.则由解得或反思与感悟本题解题关键是通过三角恒等变换借助于ABC180，求出A，并利用余弦定理列出关于b、c的方
4、程组跟踪训练2在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a2c2b2ac.求2sin2sin 2B的值解由已知得，所以cos B，sin B，所以2sin2sin 2B2cos2sin 2B1cos B2sin Bcos B12.题型三正、余弦定理与平面向量的综合应用例3在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，cos B，且21.(1)求ABC的面积；(2)若a7，求角C.解(1)21，21.|cos Baccos B21.ac35，cos B，sin B.SABCacsin B3514.(2)ac35，a7，c5.由余弦定理b2a2c22accos B32，b4.由正弦定理
5、.sin Csin B.cb且B为锐角，C一定是锐角C45.反思与感悟这是一道向量与正、余弦定理的综合题，解题的关键是化去向量的“伪装”，找到三角形的边角关系跟踪训练3已知ABC的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，设向量m(ab，sin C)，n(ac，sin Bsin A)，若mn，则角B的大小为_答案150解析mn，(ab)(sin Bsin A)sin C(ac)0，由正弦定理有(ab)(ba)c(ac)，即a2c2b2ac，再由余弦定理，得cos B，B150.1在锐角ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，若2asin Bb，则A_.答案解析在ABC中，利用正弦定理得2si
6、n Asin Bsin B，sin A.又A为锐角，A.2在ABC中，若c2acos B，则ABC的形状是_三角形答案等腰解析c2acos B，由正弦定理得2cos Bsin Asin Csin(AB)，sin Acos Bcos Asin B0，即sin(AB)0，AB.3在ABC中，AB3，AC2，BC，则_.答案解析由余弦定理得cos A.|cos A32.4在ABC中，cos B，b2ac0，则ABC的形状为_三角形答案等边解析cos B，B60.b2a2c22accos Ba2c2acac，a2c22ac0，(ac)20.ac.ABC为等边三角形呈重点、现规律1判断三角形的形状是看该
7、三角形是否为某些特殊的三角形(如锐角、直角、钝角、等腰、等边三角形等)2对于给出条件是边角关系混合在一起的问题，一般地，应运用正弦定理和余弦定理，要么把它统一为边的关系，要么把它统一为角的关系再利用三角形的有关知识，三角恒等变形方法、代数恒等变形方法等进行转化、化简，从而得出结论3解决正弦定理与余弦定理的综合应用问题，应注意根据具体情况引入未知数，运用方程思想来解决问题；平面向量与解三角形的交汇问题，应注意准确运用向量知识转化为解三角形问题，再利用正、余弦定理求解一、基础过关1在钝角ABC中，a1，b2，则最大边c的取值范围是_答案c3解析由cos Ca2b25.c，又cab，c3.2在ABC
8、中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2b2bc，sin C2sin B，则A_.答案30解析sin C2sin B，c2b，cos A，A为ABC的内角，A30.3设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为_三角形答案直角解析由bcos Cccos Basin A，得sin Bcos Csin Ccos Bsin2A，即sin(BC)sin2A，所以sin A1，由0A，得A，所以ABC为直角三角形4在ABC中，若a7，b8，cos C，则最大角的余弦值是_答案解析c2a2b22abcos C9，c3，B为最大角，cos
9、 B.5在ABC中，cos2，则ABC的形状是_三角形答案直角解析cos2，cos B，a2c2b22a2，即a2b2c2，ABC为直角三角形6已知锐角三角形的三边长分别为2,3，x，则x的取值范围是_答案(，)解析x满足：，解得xb，则B的度数为_答案解析由条件得sin Bcos Csin Bcos A，依正弦定理，得sin Acos Csin Ccos A，sin(AC)，从而sin B，又ab，且B(0，)，因此B.9在ABC中，ABC，AB，BC3，则sin BAC_.答案解析在ABC中，由余弦定理得AC2BA2BC22BABCcosABC()23223cos 5.AC，由正弦定理得s
10、inBAC.10在ABC中，若lg alg clg sin Alg ，并且A为锐角，则ABC的形状为_三角形答案等腰直角解析lg alg clg sin Alg ，sin A，A为锐角，A45，sin Csin Asin 451，又0C180，C90.11在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.(1)求的值；(2)若cos B，ABC的周长为5，求b的长解(1)由正弦定理，可设k，则，所以，即(cos A2cos C)sin B(2sin Csin A)cos B，化简可得sin(AB)2sin(BC)又ABC，所以sin C2sin A因此2.(2)由2，得c2a.由余弦定理
11、及cos B，得b2a2c22accos Ba24a24a24a2.所以b2a.又abc5，所以a1，因此b2.12在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sin Asin Cpsin B(pR)，且acb2.(1)当p，b1时，求a，c的值；(2)若角B为锐角，求p的取值范围解(1)由题设并由正弦定理，得acpb，所以ac.得解得或(2)由余弦定理，b2a2c22accos B(ac)22ac2accos Bp2b2b2b2cos B，即p2cos B.因为0cos B0，所以p.三、探究与拓展13在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b2ac且cos B.(1)求的值；(2)设，求ac的值解(1)由cos B，得sin B .由b2ac及正弦定理得sin2Bsin Asin C.于是.(2)由得cacos B，由cos B，可得ca2，即b22.由余弦定理b2a2c22accos B，得a2c2b22accos B5，(ac)2a2c22ac549，ac3.
