1、第4讲不等式、算法与推理(文理)JIE TI CE LUE MING FANG XIANG解题策略明方向考情分析1高考中主要考查求程序框图中的执行结果和确定控制条件2在高考中主要以客观题形式考查不等式的性质和一元二次不等式的解法3以画二元一次不等式(组)表示的平面区域、目标函数最值的求法为主4利用基本不等式求最值，题型多样，突出“小而巧”的特点真题分布(理科)年份卷别题号考查角度分值2020卷2、13二元一次不等式的解法；线性规划求最值10卷8、17(2)基本不等式应用10卷13线性规划求最值52019卷1、3、4、8不等式比较大小推理、框图20卷6不等式的性质5卷1、9二次不等式的求解、程序
2、框图102018卷2、3、13集合补集、程序框图、一元二次不等式的解集、线性规划15卷7、14程序框图、线性规划10卷1、12一元一次不等式的解集、集合运算、不等式的性质、对数运算10(文科)年份卷别题号考查角度分值2020卷1、9、13利用一元二次不等式的解法求集合；程序框图的算法功能；简单线性规划求最值15卷7、15程序框图的应用；简单线性规划求最值10卷13简单线性规划求线性目标函数的最大值52019卷9程序框图5卷13简单线性规划求线性目标函数的最大值5卷9、11程序框图的应用；简单线性规划的应用102018卷14简单线性规划的应用5卷8、14程序框图的应用；简单线性规划的应用10卷1
3、5简单线性规划的应用5KAO DIAN FEN LEI XI ZHONG DIAN考点分类析重点考点一不等式的性质及解法1一元二次不等式的解法先化为一般形式ax2bxc0(a0)，再求相应一元二次方程ax2bxc0(a0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集2简单分式不等式的解法0(0(0)；0(0)f(x)g(x)0(0)且g(x)0考向1不等式的性质1(2020北京昌平区期末)设a，b，cR，且ab，则(D)AacCa2b2Da3b3【解析】对A项，当c0时，abc，故A错误；对B项，取a2，b1时，故B错误；对C项，取a2，b1时，(2)2(1)2，不
4、满足a2b2，故C错误；对D项，函数yx3在R上单调递增，ab，则a30b，则下列不等式中恒成立的是(B)ACa2b2Da20b，B正确，A错误；取a1，b1，则a2b2，故C，D错误故选B考向2一元二次不等式3(2020重庆模拟)一元二次不等式(2x3)(x1)0的解集为(B)ABCD【解析】不等式(2x3)(x1)0对应方程的解为x和x1，所以不等式的解集为.4(2020重庆朝阳中学期中)关于x的不等式x2(m1)x(m1)0对一切xR恒成立，则实数m的取值范围为(D)A3,1B3,3C1,1D1,3【解析】关于x的不等式x2(m1)x(m1)0对一切xR恒成立，(m1)24(m1)(m1
5、)(m3)0，解得1m3，实数m的取值范围为1,3故选D不等式的求解技巧(1)对于和函数有关的不等式，可利用函数的单调性进行转化(2)求解一元二次不等式的步骤：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解相应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集(3)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论考点二线性规划和基本不等式1线性规划(1)不等式ykxb表示直线ykxb上方区域；等式ykxb表示直线ykxb上的区域；不等式ya表直线xa右侧区域，x0时上移l、z增大，下移l、z减小，即“上增下减”；b0，则的最大值为(A)ABCD6【解析】由于a2b2
6、2ab0，所以，故：，(当且仅当ab时，等号成立)故选A7(2020湖南省怀化市期末)函数yloga(x3)1(a1，a0)的图象恒过定点A，若点A在直线mxny10上，其中m0，n0，则的最小值为_8_.【解析】x2时，yloga111，函数yloga(x3)1(a1，a0)的图象恒过定点A(2，1)，点A在直线mxny10上，2mn10，即2mn1，m0，n0，(2mn)22428，当且仅当m，n时取等号8(2020江苏省八校联考)已知实数a，b满足4a25ab4b29，则ab最大值为_2_.【解析】由4a25ab4b29得ab，由基本不等式得ab2，则可发现2，解得ab2当且仅当ab时取
7、等号，所以ab最大值为2.1记牢三种常见的目标函数及其求法(1)截距型：形如zaxby，求这类目标函数的最值常将函数zaxby转化为yx，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值(2)距离型：形如z(xa)2(yb)2，设可行域内动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z|PM|2(3)斜率型：形如z，设可行域内动点P(x，y)，定点M(a，b)，则zkPM.2掌握基本不等式求最值的三种解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配
8、凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为ymBg(x)(A0，B0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值考点三算法与程序框图两种循环结构的特点直到型循环结构：在执行了一次循环体后，对条件进行判断，如果条件不满足，就继续执行循环体，直到条件满足时终止循环当型循环结构：在每次执行循环体前，对条件进行判断，当条件满足时，执行循环体，否则终止循环考向1直接循环计算1(2020四川省成都七中一诊)执行如图所示的程序框图，输出的S值为(C)A3B6C10D15【解析】根据程序框图可知S1222324210，故选C2(2020昆明一检)执行如图所示的程序框图，则输出S的值等于(C)A
9、BCD【解析】运行程序，a1，S1，判断否，S，a2，判断否，S，a3，判断否，以此类推，S，a2 020，判断是，输出S.故选C考向2完善判断框3(2020四川省成都七中模拟)按照如图的程序框图执行，若输出结果为15，则M处条件为(A)Ak16？Bk8？Ck16？Dk8?【解析】根据题中所给的程序框图，可以确定该题要求的是S1248.，对应的正好是以1为首项，以2为公比的等比数列，该数列的前4项和正好是15，结合题中所给的条件，一一试过，可知当k16时，退出循环，故选A解答程序框图(流程图)问题的方法(1)首先要读懂程序框图，要熟练掌握程序框图的三种基本结构，特别是循环结构，在累加求和、累乘
10、求积、多次输入等有规律的科学计算中，都有循环结构(2)准确把握控制循环的变量，变量的初值和循环条件，弄清在哪一步结束循环；弄清循环体和输入条件、输出结果(3)对于循环次数比较少的可逐步写出，对于循环次数较多的可先依次列出前几次循环结果，找出规律考点四推理与证明1合情推理合情推理是根据已有的事实和正确的结论推测某些结果的推理过程通过观察特例，形成猜想，严格论证，是发现(提出)问题，解决问题的常用方法归纳、类比推理是根据个别事实，通过分析提出猜想的推理，其结论可能是错误的而演绎推理是由一般性原理出发，推出某个特殊情况下的结论，其结论是准确的在进行类比推理时要尽量从本质上类比，不要被表面现象所迷惑，
11、犯机械类比的错误类比除了发现结论外，还可以发现证明结论的思路和方法要善于观察和总结，养成归纳、类比、联想的习惯2反证法有些问题如果从正面求解繁琐或无法求解时，则可从其反面进行思考，通过否定结论的反面来肯定结论正确，这就是“正难则反”的思路用反证法证题推出矛盾主要有下列情形：与已知条件矛盾；与公理、定理、定义及性质矛盾；与假设矛盾宜用反证法证明的题型：易导出与已知矛盾的命题；否定性命题；唯一性命题；至少、至多型命题；某些基本定理；必然性命题考向1归纳推理1(2020北京市朝阳区抽样检测)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数如三角形数1,3,6,10，第n个三角形数为n2n，记第n个k边
12、形数为N(n，k)(k3)，下面列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n,3)n2n，正方形数N(n,4)n2，五边形数N(n,5)n2n，六边形数N(n,6)2n2n，以此类推，下列结论错误的是(C)AN(5,4)25BN(3,7)18CN(5,10)145DN(10,24)1 000【解析】因为三角形数N(n,3)n2nn2n，正方形数N(n,4)n2n2n，五边形数N(n,5)n2nn2n，六边形数N(n,6)2n2nn2n，所以可以类推得到：第n个k边形数为N(n，k)n2n(k3)，于是有N(5,4)25，N(3,7)18，N(5,10)85，N(10,24)1 000，
13、因此选项C是错误的，故选C2观察下列等式：1211222312223261222324210照此规律，第n个等式可为_12223242(1)n1n2(1)n1_.【解析】由题意知：121，1222(2212)(21)(21)(12)3，1222321(3222)1(32)(32)1236，12223242(2212)(4232)(1234)10，照此规律，第n个等式可为12223242(1)n1n2(1)n1.考向2类比推理3(2020济南一中期末)设ABC的三边长分别为a、b、c，面积为S，内切圆半径为r，则Sr(abc)类比这个结论可知：四面体SABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，
14、S4，体积为V，内切球半径为R，则V(C)AR(S1S2S3S4)BR(S1S2S3S4)CR(S1S2S3S4)DR(S1S2S3S4)【解析】设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和则四面体的体积为VABCDS1RS2RS3RS4R(S1S2S3S4)R.故选C考向3直接证明与间接证明4(2020潍坊检测)用反证法证明命题：“若aR，则函数yx3axb至少有一个零点”时，要做的假设是(A)A函数yx3axb没有零点B函数yx3axb至多有一个零点C函数yx3axb至多有两个零点D函数yx3axb恰好有一
15、个零点【解析】根据反证法的定义，可知“若aR，则函数yx3axb至少有一个零点”的反设应为“若aR，则函数yx3axb没有零点”故选A5(理)用数学归纳法证明“(nN*)”时，由nk到nk1时，不等式左边应添加的项是(C)ABCD【解析】由nk时，左边为，当nk1时，左边为所以增加项为两式作差得：.故选C1破解归纳推理题的思维三步骤(1)发现共性：通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)；(2)归纳推理：把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题(猜想)；(3)检验结论：对所得的一般性命题进行检验，一般地，“求同存异”“逐步细化”“先粗后精”是求解由特殊结论推广到一般结论型创新题的基本
16、技巧2破解类比推理题的三个关键(1)会定类，即找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；(2)会推测，即用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的猜想；(3)会检验，即检验猜想的正确性要将类比推理运用正确YI CUO QING LING MIAN SHI WU易错清零免失误1解含参数的不等式时不知道如何对参数分类讨论典例1(2020青羊期中)若不等式ax22ax10的解集为R，则a的取值范围是_(1,0_.【错解】因为不等式ax22ax10的解集为R，所以，解得1a0，所以实数a的取值范围是(1,0)【剖析】上述解法的错误是忽略了对a的讨论，若在二次不等式中二次项的系数中含有参数，就
17、要讨论二次项系数等于0和不等于0两种情况【正解】当a0时，不等式ax22ax10，化为10，xR，当a0时，若不等式ax22ax10的解集为R，应当满足解得1a0，y0，1，则x2y的最小值为(D)A9B12C15D63【解析】设ax2，by2，则xa2，yb2因为x0，y0，所以a2，b2，所以1(a2，b2)，所以x2ya2b6(a2b)633236，当且仅当且1，即时，取等号故x2y的最小值为63故选D【剖析】本题的易错点是不知如何把等式1应用到求x2y的最小值中，求解此类题时，一般是先消元，把求二元最值问题转化为求一元最值问题，再对不等式进行分拆、组合、添加系数等，使之能变成可用基本不
18、等式的形式，从而求出其最值，求解后还要注意检验等号成立的条件若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立的条件一致，否则最值取不到3错判程序框图中判断框内的条件典例3(2020江西名校第一次联考)执行如图所示的程序框图，若输出的S1 320，则判断框中可填入(D)Ak12？Bk11?Ck10？Dk9?【解析】初始值k12，S1，执行框图如下S1，若满足判断框内的条件，则输出1，与已知不符，故判断框内的条件不成立，S11212，k12111；此时若满足判断框内的条件，则输出12，与已知不符，故判断框内的条件不成立，S1211132，k11110；此时若满足判断框内的条件，则输出132，与已
19、知不符，故判断框内的条件不成立，S132101 320，k1019；此时若满足判断框内的条件，则输出1 320，与已知相符，故此时判断框内的条件成立此时k9，结合选项可知只有D项满足，故选D【剖析】(1)该题易出现的问题主要是忽视输出结果与判断框内条件的对应，导致判断错误(2)解决此类问题需要注意两个方面一是整体把握程序框图的功能显然本题中的程序框图的功能是计算1211的值，输出的结果1 320121110，故当k10时，仍要进入循环体进行运算，当k9时，跳出循环体，输出结果，二是要注意判断框内条件的形式“等号”会影响计算的次数与输出的结果，如该题，若判断框内的条件不带等号，即改为“k9？”，
20、则需要再进行一次运算，输出的结果就是1 3209了，事实上，该题中判断框内还可以填入“k10？”4归纳不当致误典例4(2020湖南长郡中学模拟)已知从1开始的连续奇数按照蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3,5，第三行为11,9,7，第四行为13,15,17,19，如图所示，将在宝塔形数表中位于第i行，第j列的数记为aij，比如a329，a4215，a5423，若aij2 019，则ij(B)A72B71C66D65【解析】奇数2 019为第1 010个奇数，按照蛇形排列，第1行到第i行末奇数的个数为12i，则第1行到第44行末共有990个奇数，第1行到第45行末共有1 035个奇数，则2 019位于第45行，而第45行是从右到左依次递增，且共有45个奇数，故2 019位于第45行，从右到左第20列，则i45，j26，ij71故选B【剖析】该题易出现的问题主要有以下几个方面：一是不能准确确定2 019在宝塔形数表中的位置，导致判断错误；二是在判断2 019所在行时，不能正确归纳出每行中的奇数的个数，从而导致求得的前i行的奇数个数之和出错，行数定位错误；三是在确定2 019所在列时，不能正确利用其所在行的首位奇数和排列方向，导致列数定位出错，该题根据已如归纳第i行奇数的个数以及第i行奇数的排列顺序是关键
