1、2.3.2向量数量积的运算律【选题明细表】知识点、方法题号向量投影、夹角问题2,3,4,7向量的数量积及应用1,5,6,8,9,10,111.已知向量a,b满足ab=0,|a|=1,|b|=2,则|2a-b|等于(B)(A)0 (B)2 (C)4 (D)8解析:因为|2a-b|2=4|a|2-4ab+|b|2=412+22=8,所以|2a-b|=2.故选B.2.已知|a|=1,|b|=6,a(b-a)=2,则向量a与b的夹角为(C)(A)(B)(C)(D)解析:因为a(b-a)=ab-a2=2,又|a|=1,所以ab=3,即|a|b|cos=3=16cos,得cos=,所以a与b的夹角为,故选
2、C.3.已知a、b是非零向量,且满足(a-2b)a,(b-2a)b,则a与b的夹角是(B)(A)(B)(C)(D)解析:法一即即解方程组可得|a|2=|b|2,即|a|=|b|.代回到方程(a-2b)a=0,得|a|2-2|a|2cos=0,解得cos=.又0,故=.法二如图,作OAB,使=2a,=2b,取OA的中点A1,OB的中点B1,连结A1B,AB1,则=a-2b.由已知得BA1OA,故OB=AB.同理,OA=AB,即OAB为正三角形,故=AOB=.故选B.4.已知非零向量a,b满足|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角为(A)(A) (B) (C) (D)-解析:法一因为|a|
3、=|b|=|a-b|,所以|a|2=|a|2-2ab+|a|2,ab=|a|2,所以|a+b|2=2|a|2+2ab=3|a|2,所以cos=,又0,所以=,故选A.法二作=a,=b,以,为邻边作OACB,则=a-b,=a+b,由|a|=|b|=|a-b|得AOB是等边三角形,且OC平分AOB,则AOC=,即=.故选A.5.在ABC中,AB=2,AC=3,D是边BC的中点,则=.解析:如图,=(+),=-,所以=(+)(-)=(|2-|2)=(9-4)=.答案:6.在矩形ABCD中,边AB,AD的长分别为2,1,若M,N分别是边BC,CD上的点,且满足=,则的取值范围是.解析:设=(01),则
4、=,=(1-)=(1-),则=(+)(+)=(+)+(1-)=+(1-)|2+|2+(1-),又因为=0,所以=4-3,因为01,所以14,即的取值范围是1,4.答案:1,47.(2017黄冈中学期中考试)已知非零向量a,b满足|a|=1,且(a-b)(a+b)=.(1)求|b|;(2)当ab=-时,求向量a与a+2b的夹角的值.解:(1)因为(a-b)(a+b)=,即a2-b2=,所以|b|2=|a|2-=,所以|b|=.(2)|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+4ab+|2b|2=1-1+1=1,所以|a+2b|=1,又因为 a(a+2b)=|a|2+2ab=1-=,所以cos =.
5、又0180,所以=60.8.在圆O中,若弦AB=6,AC=10,则的值为(C)(A)-16 (B)-2 (C)32 (D)16解析:如图,过O作OEAB于点E,OFAC于点F,则E,F分别为AB,AC的中点,=(-)=-=|cosOAC-|cosOAB=|-|=105-63=32.故选C.9.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,|2a+b|=2,则向量b在向量a方向上的投影是 .解析:因为|2a+b|=2,所以(2a+b)2=4,所以4a2+b2+4ab=4,所以412+4+4ab=4,所以ab=-1,所以b在a上的投影是=-1.答案:-110.(2017潍坊普通高中月考)已知|a|=3
6、,|b|=4,且|a|与|b|为不共线的平面向量.(1)若(a+kb)(a-kb),求k的值;(2)若(ka-4b)(a-kb),求k的值.解:(1)因为(a+kb)(a-kb),所以(a+kb)(a-kb)=0,所以a2-k2b2=0.因为|a|=3, |b|=4,所以9-16k2=0,所以k= .(2)因为(ka-4b)(a-kb),且a-kb0,所以存在实数,使得ka-4b=(a-kb)=a-kb,因为|a|=3, |b|=4,且a与b不共线,所以所以k=2.11.设a,b是两个不共线的非零向量.(1)记=a,=tb,=(a+b),那么当实数t为何值时,A,B,C三点 共线?(2)若|a|=|b|=1,且a与b夹角为120,那么实数x为何值时,|a+xb|的值最小?解:(1)因为A,B,C三点共线,所以与共线,又因为=-=tb-a,=-=b-a,所以存在实数,使=,即tb-a=b-a,所以t=.(2)因为|a|=|b|=1,=120,所以ab=-,所以|a+xb|2=|a|2+x2|b|2+2xab=1+x2-x=(x-)2+,所以|a+xb|的最小值为,此时x=.
