1、考点突破夯基释疑考点一考点三考点二例 1训练1例 2训练2例 3训练3第 8 讲 函数与方程 概要课堂小结结束放映返回目录第2页 判断正误(在括号内打“”或“”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点()(2)函数yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)0.()(3)二次函数yax2bxc(a0)在b24ac0时没有零点()(4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值()夯基释疑结束放映返回目录第3页 考点突破解析(1)f(x)exx4，f(x)ex10，函数f(x)在R上单调递增，对于A项，f(1)e1(1)45e10，f(0)30，f(1)
2、f(0)0，A不正确；同理可验证B，D不正确，对于C项，f(1)e14e30，f(2)e224e220，f(1)f(2)0.故f(x)的零点位于区间(1，2)考点一 函数零点的判断与求解【例 1】(1)(2014唐山一模)设 f(x)exx4，则函数 f(x)的零点位于区间()A(1，0)B(0，1)C(1，2)D(2，3)(2)见下一页利用零点存在性定理结束放映返回目录第4页 考点突破(2)当x0时，f(x)x23x，令g(x)x23xx30，得x13，x21.当x0时，x0，f(x)(x)23(x)，f(x)x23x，f(x)x23x.令g(x)x23xx30，考点一 函数零点的判断与求解
3、【例 1】(2)(2014湖北卷)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0时，f(x)x23x.则函数 g(x)f(x)x3 的零点的集合为()A1，3 B3，1，1，3C2 7，1，3 D2 7，1，3转化为求方程g(x)0的根得 x32 7，x42 70(舍)，函数 g(x)f(x)x3 的零点的集合是2 7，1，3，答案(1)C(2)D结束放映返回目录第5页 考点突破规律方法(1)确定函数的零点所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为确定区间两端点对应的函数值的符号是否相反(2)根据函数的零点与相应方程根的关系可知，求函数的零点与求相应方程的根是等价的对于求方程f(x)g(x
4、)的根，可以构造函数F(x)f(x)g(x)，函数F(x)的零点即方程f(x)g(x)的根 考点一 函数零点的判断与求解结束放映返回目录第6页 考点突破解析 当x1时，由f(x)2x10，解得x0；当x1时，由f(x)1log2x0，考点一 函数零点的判断与求解【训练 1】(2015莱芜一模)已知函数 f(x)2x1，x1，1log2x，x1，则函数 f(x)的零点为()A12，0 B2，0C12D0解得 x12，又因为x1，所以此时方程无解综上，函数f(x)的零点只有0.答案 D 结束放映返回目录第7页 考点突破考点二 根据函数零点的存在情况，求参数的值解(1)法一 g(x)xe2x2 e2
5、2e，故g(x)的值域是2e，)，因而只需m2e，则yg(x)m就有零点可知若使yg(x)m有零点，则只需m2e.【例 2】已知函数 f(x)x22exm1，g(x)xe2x(x0)(1)若 yg(x)m 有零点，求 m 的取值范围；(2)确定 m 的取值范围，使得 g(x)f(x)0 有两个相异实根等号成立的条件是xe，法二 作出 g(x)xe2x(x0)的大致图象如图y=m利用数形结合结束放映返回目录第8页 考点突破考点二 根据函数零点的存在情况，求参数的值f(x)x22exm1(xe)2m1e2.其图象的对称轴为xe，开口向下，最大值为m1e2.故当m1e22e，即me22e1时，g(x
6、)与f(x)有两个交点，即g(x)f(x)0有两个相异实根 m的取值范围是(e22e1，)可知若使yg(x)m有零点，则只需m2e.【例 2】已知函数 f(x)x22exm1，g(x)xe2x(x0)(1)若 yg(x)m 有零点，求 m 的取值范围；(2)确定 m 的取值范围，使得 g(x)f(x)0 有两个相异实根(2)若g(x)f(x)0有两个相异实根，即yg(x)与yf(x)的图象有两个不同的交点，作出 g(x)xe2x(x0)的大致图象，如图.如图yf(x)m1e2结束放映返回目录第9页 考点突破规律方法 函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数
7、的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用 考点二 根据函数零点的存在情况，求参数的值结束放映返回目录第10页 考点突破则有f(1)f(2)0，所以(a)(41a)0，即a(a3)0.所以0a3.考点二 根据函数零点的存在情况，求参数的值【训练 2】(1)函数 f(x)2x2xa 的一个零点在区间(1，2)内，则实数 a 的取值范围是()A(1，3)B(1，2)C(0，3)D(0，2)(2)见下一页解析(1)因为函数 f(x)2x2xa 在区间(1，2)上单调递增，又函数 f(x)2x2xa
8、的一个零点在区间(1，2)内，结束放映返回目录第11页 考点突破考点二 根据函数零点的存在情况，求参数的值【训练 2】(2)(2014太原模拟)已知函数 f(x)|2x1|，x2，3x1，x2，若方程 f(x)a0有三个不同的实数根，则实数 a的取值范围是()A(1，3)B(0，3)C(0，2)D(0，1)(2)画出函数f(x)的图象如图所示，观察图象可知，若方程f(x)a0有三个不同的实数根，则函数yf(x)的图象与直线ya有3个不同的交点，此时需满足0a1，故选D 答案(1)C(2)D y=m结束放映返回目录第12页 考点突破解 令f(x)0，则(3a2)24(a1)考点三 与二次函数有关
9、的零点问题【例3】是否存在这样的实数a，使函数f(x)x2(3a2)xa1在区间1，3上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由 9a216a89a892890 恒成立，若实数a满足条件，则只需f(1)f(3)0即可 f(1)f(3)(13a2a1)(99a6a1)4(1a)(5a1)0，a15或 a1.检验：(1)当f(1)0时，a1，所以f(x)x2x.令f(x)0，即x2x0，得x0或x1.方程在1，3上有两个实数根，不合题意，故a1.即f(x)0有两个不相等的实数根，结束放映返回目录第13页 考点突破方程在1，3上有两个实数根，考点三 与二次函数有关的
10、零点问题【例3】是否存在这样的实数a，使函数f(x)x2(3a2)xa1在区间1，3上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由(2)当 f(3)0 时，a15，此时 f(x)x2135 x65.令 f(x)0，即 x2135 x650，解得 x25或 x3.不合题意，故 a15.综上所述，a 的取值范围是，15(1，)结束放映返回目录第14页 考点突破规律方法 解决与二次函数有关的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组 考点三 与二次函数有关的零点问题结束放映返回目录
11、第15页 考点突破解 法一 设方程x2(a21)x(a2)0的两根分别为x1，x2(x1x2)，则(x11)(x21)0，x1x2(x1x2)10，由根与系数的关系，得(a2)(a21)10，即a2a20，2a1.【训练3】已知f(x)x2(a21)x(a2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围 考点三 与二次函数有关的零点问题结束放映返回目录第16页 考点突破法二 函数图象大致如图，则有f(1)0，即1(a21)a20，2a1.故实数a的取值范围是(2，1)【训练3】已知f(x)x2(a21)x(a2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围 考点三 与二次函数有
12、关的零点问题结束放映返回目录第17页 1函数零点的判定常用的方法有：(1)零点存在性定理；(2)数形结合；(3)解方程f(x)0.2研究方程f(x)g(x)的解，实质就是研究G(x)f(x)g(x)的零点3转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题思想方法课堂小结结束放映返回目录第18页 1函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)0的根，也是函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标2函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象易错防范课堂小结结束放映返回目录第19页（见教辅）
