1、高考资源网() 您身边的高考专家第3讲 圆的方程 知识梳理1. 圆的标准方程与一般方程圆的标准方程为,其中圆心为,半径为r;圆的一般方程为,圆心坐标,半径为。方程表示圆的充要条件是2.以为直径端点的圆方程为3. 若圆与轴相切,则;若圆与轴相切,则 4. 若圆关于轴对称,则; 若圆关于轴对称,则;若圆关于轴对称,则; 5、点与圆的位置关系:在圆内在圆上 在圆外重难点突破重点: 掌握确定圆的几何要素, 掌握圆的标准方程和圆的一般方程, 难点:根据已知条件,求圆的方程重难点:围绕圆的几何性质进行合理转化,运用方程思想列出关于参数:(或)得到方程组,进而求出圆的方程1.充分利用圆的几何性质解题圆上的动
2、点到已知直线(或点)的距离的最大值和最小值,转化为圆心到已知直线(或点)的距离来处理问题1:已知圆和点,点P在圆上,求面积的最小值点拔:圆心(4,3)到直线的距离为,P到直线的距离的最小值为,求面积的最小值为2.运用转化的思想处理圆的对称问题问题2:圆关于直线对称,则 点拨:圆关于直线对称的实质是圆心在直线上,因此可将圆心坐标代入直线方程解决解析:问题3:圆关于直线的对称圆的方程为 点拨:两圆和关于直线对称,可以转化为点对称问题(即圆心和关于直线对称且半径相等),也可以用相关点法来处理,后一种方法更有推广价值解析:方法1:原点关于直线的对称点为(1,1),所以圆关于直线的对称圆的方程为方法2:
3、设是圆上一动点,它关于直线的对称点为,则 在圆, 圆关于直线的对称圆的方程为热点考点题型探析考点1 圆的方程 题型1: 对圆的方程的认识 例1 设方程x2+y22(m+3)x+2(14m2)y+16m4+9=0。(1)当且仅当m在什么范围内,该方程表示一个圆。(2)当m在以上范围内变化时,求半径最大的圆的方程。(3)求圆心的轨迹方程解析(1)由得:,化简得:,解得:。所以当时,该方程表示一个圆。(2)r=,当 时,(3)设圆心,则,消去得所求的轨迹方程为【名师指引】(1)已知圆的一般方程,要能熟练求出圆心坐标、半径及掌握方程表示圆的条件;(2)第3问求圆心的轨迹方程,使用了参数法,即把x,y都
4、表示成m的函数,消去参数可得到方程,用此法要注意变量x,y的范围题型2: 求圆的方程例2(1)求经过点A(5,2),B(3,2),圆心在直线2x-y-3=0 上的圆的方程; (2)求以O(0,0),A(2,0),B(0,4)为顶点的三角形OAB外接圆的方程。【解题思路】根据条件,列方程组求参数解析(1)设圆心,则有,所求圆的方程为(2)采用一般式,设圆的方程为,将三个已知点的坐标代入得,解得:故所求圆的方程为【名师指引】(1)求圆的方程必须满足三个独立条件方可求解,选择方程的形式,合理列出方程组是关键,(2)当条件与圆心、半径有关时常选择标准方程,当条件是圆经过三个点时,常选用一般方程【新题导
5、练】1.若,方程表示的圆的个数为( ).A、0个 B、1个 C、2个 D、3个解析:B得,满足条件的只有一个,方程表示的圆的个数为1.2. ( 广州六中2008-2009学年度高三期中考试) 若圆的圆心到直线的距离为,则a的值为( )A-2或2BC2或0D-2或0解析: C 圆的圆心为(1,2),或23.与两坐标轴都相切,且过点(2,1)的圆的方程为 解析 或4.动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍,那么点的轨迹方程为( )A. B. C. D. 解析B设,则,化简得考点2 圆的几何性质 题型1:运用圆的几何性质解题 例3 一圆与y轴相切,圆心在直线x3y=0上,且直线y
6、=x截圆所得弦长为2,求此圆的方程.【解题思路】因题目条件与圆心、半径关系密切,选择圆的标准方程,与弦长有关的问题,一般要利用弦心距、半径、半弦长构成的“特征三角形” 解析:因圆与y轴相切,且圆心在直线x3y=0上,故设圆方程为(x3b)2+(yb)2=9b2.又因为直线y=x截圆得弦长为2,则有()2+()2=9b2,解得b=1.故所求圆方程为(x3)2+(y1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9.【名师指引】在求圆的方程时,应当注意以下几点:(1)确定用圆的标准方程还是一般方程;(2)运用圆的几何性质(如本例的相切、弦长等)建立方程求得a、b、r或D、E、F;(3)在待定系数法的应用上
7、,列式要尽量减少未知量的个数.例4 已知O的半径为3,直线l与O相切,一动圆与l相切,并与O相交的公共弦恰为O的直径,求动圆圆心的轨迹方程.【解题思路】问题中的几何性质十分突出,如何利用切线、直径、垂直、圆心这些几何性质是关键,动圆圆心满足的条件是关注的焦点 解析取过O点且与l平行的直线为x轴,过O点且垂直于l的直线为y轴,建立直角坐标系.设动圆圆心为M(x,y),O与M的公共弦为AB,M与l切于点C,则|MA|=|MC|.AB为O的直径,MO垂直平分AB于O.由勾股定理得|MA|2=|MO|2+|AO|2=x2+y2+9,而|MC|=|y+3|,=|y+3|.化简得x2=6y,这就是动圆圆心
8、的轨迹方程.【名师指引】求轨迹的步骤是“建系,设点,列式,化简”,建系的原则是特殊化(把图形放在最特殊的位置上),这类问题一般需要通过对图形的观察、分析、转化,找出一个关于动点的等量关系。【新题导练】5.已知圆的方程为.是该圆过点(3,5)的11条弦的长,若数列是等差数列,则 数列的公差的最大值为 解析 圆心坐标为(3,4),半径为5,圆的弦长的最小值和最大值分别是和10,数列的公差的最大值为考点: 与圆有关的最值题型:求与圆有关的最值例4 已知圆,求(1)的最大值(2)的最大值与最小值(3)的最小值【解题思路】根据所求式子的几何意义求解或转化为函数的最值解析(1)表示圆上的点到原点的距离的平
9、方因圆心到点的距离为2,的最大值为3,从而的最大值为9方法2:设,则(2)表示圆上的点与原点连线的斜率,所以的最大值与最小值是直线与圆相切时的斜率,设直线的方程为,由得,的最大值与最小值分别为和(3)设,则解法2:设,则,代入圆的方程并化简得:,解得:【名师指引】(1)与圆有关的最值的求法有:几何法、函数法、判别式法(2)用几何法时,要见“数”想“形”,即所求式子的几何意义(3)用函数法时,常用三角换元【新题导练】6已知满足,则的最小值为 解析 表示圆上的点与点连线的斜率,所以的最小值是直线与圆相切时的斜率,设直线的方程为,即由得,的最大值与最小值分别为 抢分频道基础巩固训练1、点()在圆的内
10、部,则的取值范围是( )A11B 01 C1 D1解析: 由得12、(2009天河区)直线平分圆的周长,则A3 B5C3D5 解析:直线经过圆心(4,-1), 3、方程表示的圆与轴相切于原点,则 AB C D 解析:圆心在轴上,又圆经过原点,4、直线截圆所得弦的中点是,则= 解析:圆心,半径,又5、关于方程表示的圆,下列叙述中:关于直线x+y=0对称;其圆心在x轴上;过原点半径为.其中叙述正确的是(要求写出所有正确命题的序号)解析: 圆心为,半径为,故正确6、已知的三个顶点的坐标分别为,以原点为圆心的圆与三角形有唯一的公共点,求圆的方程解析:原点到三角形三边的最近距离是1,原点到三角形三个顶点
11、的最远距离是,故所求圆的方程为或综合提高训练3-47、(2007 惠州)若直线经过圆的圆心,则的最小值是 ( )A B C4 D2解:圆心为,8、已知mR,直线l:和圆C:。(1)求直线l斜率的取值范围;(2)直线l与圆C相交于A、B两点,若的面积为,求直线的方程解:()直线的方程可化为,直线的斜率,2分因为,所以,当且仅当时等号成立所以,斜率的取值范围是5分()由()知的方程为,其中圆的圆心为,半径圆心到直线的距离9分,解得所求的直线方程为或9、(惠州市2009届高三第一次调研考试)已知平面区域恰好被面积最小的圆及其内部所覆盖()试求圆的方程()若斜率为1的直线与圆C交于不同两点满足,求直线
12、的方程解:()由题意知此平面区域表示的是以构成的三角形及其内部,且是直角三角形,所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,故圆心是(2,1),半径是,所以圆的方程是 ()设直线的方程是:因为,所以圆心到直线的距离是,即解得: 所以直线的方程是: 10已知圆C:,是否存在斜率为1的直线l,使l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点,若存在,求出直线l的方程;若不存在说明理由。解:圆C化成标准方程为假设存在以AB为直径的圆M,圆心M的坐标为(a,b)由于CMl,kCMkl= -1 kCM=, 即a+b+1=0,得b= -a-1 直线l的方程为y-b=x-a,即x-y+b-a=0 CM=以AB为直径的圆M过原点,把代入得,当, 直线l的方程为x-y-4=0;当, 直线l的方程为x-y+1=0故这样的直线l是存在的,方程为x-y-4=0 或x-y+1=0参考例题:1、 过点且与轴相切的圆有且只有一个,求实数的值和这个圆的方程解析:由题意,设所求圆的方程为,点在圆上,将上式代入下式并整理得:满足条件的圆有且只有1个,方程有且只有1个根,或即或或当时,所求圆的方程为当时,所求圆的方程为- 9 - 版权所有高考资源网