1、基础诊断考点突破课堂总结考试要求 1.函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义，B级要求；2.运用函数图象研究函数的单调性，B级要求第2讲 函数的单调性与最值基础诊断考点突破课堂总结知 识 梳 理1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数一般地，设函数 f(x)的定义域为 A：区间 IA.如果对于区间 I 内的任意两个值 x1，x2定义当 x1x2 时，都有，那么就说函数 f(x)在区间 I上是单调增函数当 x1x2 时，都有，那么就说函数 f(x)在区间 I上是单调减函数f(x1)f(x2)基础诊断考点突破课堂总结增函数减函数图象描述自左向右看图象是自左向右看图象是上升的下降的基础诊断考
2、点突破课堂总结(2)单调区间的定义如果函数yf(x)在区间I上是单调或单调，那么就说函数yf(x)在区间I上具有(严格的)单调性，叫做函数yf(x)的单调区间.增函数减函数区间I基础诊断考点突破课堂总结2.函数的最值前提设函数 yf(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足条件(1)对于任意 xI，都有；(2)存在 x0I，使得 f(x0)M.(3)对于任意 xI，都有；(4)存在 x0I，使得.结论M 为最大值M 为最小值f(x)Mf(x)Mf(x0)M基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自 测1思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)函数 y1x的单调递减区间是(，0)(0，)()(2)对于函
3、数 f(x)，xD，若 x1，x2D 且(x1x2)f(x1)f(x2)0，则函数 f(x)在 D 上是增函数()(3)函数 y|x|是 R 上的增函数()(4)函数 yf(x)在1，)上是增函数，则函数的单调递增区间是1，)()基础诊断考点突破课堂总结2(2014北京卷改编)下列函数：yex；yx3；yln x；y|x|.其中定义域是R且为增函数的是_(填序号)解析 中，函数定义域为 R，但在 R 上为减函数，故不符合要求；中，函数定义域为 R，且在 R 上为增函数，故符合要求；中，函数定义域为(0，)，不符合要求；中，函数定义域为 R，但在(，0上单调递减，在0，)上单调递增，不符合要求答
4、案 基础诊断考点突破课堂总结3(2014南通调研)函数 ylog13(2x1)(1x3)的值域为_解析 因为函数 y是其定义域上的减函数，并且函数 t2x1 是其定义域上的增函数，由复合函数的单调性可知函数 y在1,3上单调递减，则当 x1 时，函数有最大值1，当 x3 时；函数有最小值2，故所求函数的值域为2，1答案 2，1基础诊断考点突破课堂总结4已知函数 f(x)2x1，x2,6，则 f(x)的最大值为_，最小值为_解析 可判断函数 f(x)2x1在2,6上为减函数，所以 f(x)maxf(2)2，f(x)minf(6)25.答案 2 25基础诊断考点突破课堂总结5(2014天津卷)函数
5、f(x)lg x2的单调递减区间是_解析 f(x)的定义域为(，0)(0，)，ylg u在(0，)上为增函数，ux2在(，0)上递减，在(0，)上递增，故f(x)在(，0)上单调递减答案(，0)基础诊断考点突破课堂总结考点一 确定函数的单调性或单调区间【例 1】试讨论函数 f(x)axx1(a0)在(1,1)上的单调性解 设1x1x20 时，f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，函数 f(x)在(1,1)上递减；当 a0 时，f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，函数 f(x)在(1,1)上递增基础诊断考点突破课堂总结规律方法 判断函数单调性的常用方法：(1)定义法和导
6、数法，注意证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)图象法，由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集：二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“”连接基础诊断考点突破课堂总结【训练 1】(1)已知 a0，函数 f(x)xax(x0)，证明：函数 f(x)在(0，a上是减函数，在 a，)上是增函数；(2)求函数 ylog13(x24x3)的单调区间深度思考 解决函数的单调性问题一般有两种解法：定义法和导数法，你不妨都试一试(1)证明 法一 任意取 x1x20，则f(x1)f(x2)x1ax1 x2ax2(x1x2)ax1ax2(x1x2)ax2
7、x1x1x2(x1x2)1 ax1x2.基础诊断考点突破课堂总结当 ax1x20 时，x1x20,1 ax1x20，有 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，此时，函数 f(x)xax(a0)在(0，a上为减函数；当 x1x2 a时，x1x20,1 ax1x20，有 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，此时，函数 f(x)xax(a0)在 a，)上为增函数；基础诊断考点突破课堂总结综上可知，函数 f(x)xax(a0)在(0，a上为减函数；在 a，)上为增函数法二 f(x)1ax2，令 f(x)0，则 1ax20，解得 x a或 x a(舍)令 f(x)0，则 1ax
8、20，解得 ax a.x0，0 x a.f(x)在(0，a)上为减函数；在(a，)上为增函数，也称为 f(x)在(0，a上为减函数；在 a，)上为增函数基础诊断考点突破课堂总结(2)解 令 ux24x3，原函数可以看作 ylog13u 与 ux24x3 的复合函数令 ux24x30.则 x1 或 x3.函数 ylog13(x24x3)的定义域为(，1)(3，)又 ux24x3 的图象的对称轴为 x2，且开口向上，基础诊断考点突破课堂总结ux24x3 在(，1)上是减函数，在(3，)上是增函数而函数 ylog13u 在(0，)上是减函数，ylog13(x24x3)的单调递减区间为(3，)，单调递
9、增区间为(，1).基础诊断考点突破课堂总结考点二 利用函数的单调性求参数范围【例 2】(1)如果函数 f(x)ax22x3 在区间(，4)上是单调递增的，则实数 a 的取值范围是_(2)若函数 f(x)ax1x1 在(，1)上是减函数，则 a 的取值范围是_基础诊断考点突破课堂总结解析(1)当 a0 时，f(x)2x3，在定义域 R 上是单调递增的，故在(，4)上单调递增；当 a0 时，二次函数 f(x)的对称轴为 x1a，因为 f(x)在(，4)上单调递增，所以 a0，且1a4，解得14a0.综合上述得14a0.基础诊断考点突破课堂总结(2)法一 f(x)ax1x1 aa1x1，设 x1x2
10、0.由于 x1x21，x1x20，x110，x210，a10，即 a1.故 a 的取值范围是(，1)基础诊断考点突破课堂总结法二 由 f(x)ax1x1，得 f(x)a1x12，又因为 f(x)ax1x1在(，1)上是减函数，所以 f(x)a1x120 在 x(，1)上恒成立，解得 a1，而 a1 时，f(x)1，在(，1)上不具有单调性，故a 的取值范围是(，1)答案(1)14，0 (2)(，1)基础诊断考点突破课堂总结规律方法 已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间a，b上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调
11、性外，还要注意衔接点的取值基础诊断考点突破课堂总结【训 练 2】(2014 北 京 西 城 区 模 拟)设 函 数 f(x)x24x，x4，log2x，x4.若函数 yf(x)在区间(a，a1)上单调递增，则实数 a 的取值范围是_基础诊断考点突破课堂总结解析 作出函数 f(x)的图象如图所示，由图象可知 f(x)在(a，a1)上单调递增，需满足 a4 或 a12，即 a1 或 a4.答案(，14，)基础诊断考点突破课堂总结考点三 利用函数的单调性求最值【例 3】已知函数 f(x)对于任意 x，yR，总有 f(x)f(y)f(xy)，且当 x0 时，f(x)0，f(1)23.(1)求证：f(x
12、)在 R 上是减函数；(2)求 f(x)在3,3上的最大值和最小值基础诊断考点突破课堂总结(1)证明 设 x1x2，则 f(x1)f(x2)f(x1x2x2)f(x2)f(x1x2)f(x2)f(x2)f(x1x2)又当 x0 时，f(x)0，而 x1x20，f(x1x2)0，即 f(x1)f(x2)，f(x)在 R 上为减函数基础诊断考点突破课堂总结(2)解 f(x)在 R 上是减函数，f(x)在3,3上也是减函数，f(x)在3,3上的最大值和最小值分别为 f(3)与 f(3)而 f(3)3f(1)2，又函数 f(x)对于任意 x，yR，总有 f(x)f(y)f(xy)，令 xy0，得 f(
13、0)0，再令 yx，得f(x)f(x)，f(3)f(3)2.f(x)在3,3上的最大值为 2，最小值为2.基础诊断考点突破课堂总结规律方法 利用函数的单调性求函数的最大(小)值，即如果函数 yf(x)在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减，则函数 yf(x)在区间a，c上的最大值是 f(b)；如果函数 yf(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增，则函数yf(x)在区间a，c上的最小值是 f(b)基础诊断考点突破课堂总结【训练 3】如果函数 f(x)对任意的实数 x，都有 f(1x)f(x)，且当 x12时，f(x)log2(3x1)，那么函数 f(x)在2,0上的最大值与
14、最小值之和为_解析 根据 f(1x)f(x)，可知函数 f(x)的图象关于直线 x12对称又函数 f(x)在12，上单调递增，故 f(x)在，12 上单调递减，则函数 f(x)在2,0上的最大值与最小值之和为 f(2)f(0)f(12)f(10)f(3)f(1)log28log224.答案 4基础诊断考点突破课堂总结思想方法1利用定义判断或证明函数的单调性注意定义的如下两种等价形式：设任意 x1，x2a，b，那么(1)fx1fx2x1x20f(x)在a，b上是增函数；fx1fx2x1x20f(x)在a，b上是减函数(2)(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x)在a，b上是增函数；(x1x2)
15、f(x1)f(x2)0f(x)在a，b上是减函数基础诊断考点突破课堂总结2求函数的单调区间首先应注意函数的定义域，函数的单调区间都是其定义 域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间常用方法：根据定义、利用图象和单调函数的性质、利用导函数基础诊断考点突破课堂总结3复合函数的单调性对于复合函数yf g(x)，若tg(x)在区间(a，b)上是单调函数，且yf(t)在区间(g(a)，g(b)或者(g(b)，g(a)上是单调函数，若tg(x)与yf(t)的单调性相同(同时为增或减)，则yf g(x)为增函数；若tg(x)与yf(t)的单调性相反，则yf g(x)为减函数简称：同增异减基础诊断考点突破课堂总结易错防范1函数的单调性是通过任意两点的变化趋势来刻画整体的变化趋势，“任意”两个字是必不可少的如果只用其中两点的函数值(比如说端点值)进行大小比较是不能确定函数的单调性的2讨论函数单调性必须在其定义域内进行，函数的单调区间是其定义域的子集，因此，讨论函数的单调性时，应先确定函数的定义域基础诊断考点突破课堂总结3函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减单调区间要分开写，即使在两个区间上的单调性相同，也不能用并集表示.
