1、三、解答题的解法-2-高考命题聚焦 方法思路概述 在高考数学试题中,解答题的题量虽然比不上选择题多,但是其占分的比重最大,足见它在试卷中地位之重要.从近五年高考试题来看,5道解答题的出处较稳定,分别为数列(或三角函数与解三角形)、概率、立体几何、解析几何、函数与导数.在难度上,前三题为中等或中等以下难度题,多数考生都能拿到较高的分数;后两题为难题,具有较好的区分层次和选拔功能,多数考生能够解答后两题的第1问,但难以解答或解答完整第2问.-3-高考命题聚焦 方法思路概述 解答题也就是通常所说的主观性试题,考生解答时,应把已知条件作为出发点,运用有关的数学知识和方法进行推理或计算,最后达到所要求的
2、目标,同时要将整个解答过程的主要步骤和过程有条理、合逻辑、完整地陈述清楚.解题策略有以下几点:(1)审题要慢,解答要快;(2)确保运算准确,立足一次成功;(3)讲究书写规范,力争既对又全;(4)面对难题,讲究策略(缺步解答、跳步解答),争取得分.-4-一 二 三 四 五 六 一、三角函数及解三角形的综合问题 例1ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(a,b)与n=(cos A,sin B)平行.(1)求A;(2)若a=,b=2,求ABC的面积.3 7(1)解：因为 mn,所以 asin B-3bcos A=0.由正弦定理,得 sin Asin B-3sin Bcos A=0
3、.又 sin B0,从而 tan A=3.由于 0A0,所以c=3.故ABC 的面积为12bcsin A=3 32.-5-一 二 三 四 五 六 解法二由正弦定理,得 7sin3=2sin,从而 sin B=217.又由 ab,知 AB,所以 cos B=2 77.故 sin C=sin(A+B)=sin +3=sin Bcos3+cos Bsin3=3 2114.所以ABC 的面积为12absin C=3 32.解题指导三角函数及解三角形的综合问题难度不大,训练应当紧扣高考真题,不需要加深加宽.解答三角函数考题的关键是进行必要的三角恒等变形,其解题通法是:发现差异(角度,函数,运算),寻找联
4、系(套用、变用、活用公式,技巧,方法),合理转化(由因导果,由果探因);解三角形的题目不要忘记隐含条件“三角形三内角的和为180”,经常用正弦定理转化已知条件中的边角关系.-6-一 二 三 四 五 六 对点训练1已知在锐角三角形ABC中,内角A,B,C的对边a,b,c满足(1)求B的值.(2)是否存在锐角三角形ABC使得a=3c?若存在,求c的值;若不存在,请说明理由.a=2 7sin A,b=21.答案 答案 关闭(1)因为 a=2 7sin A,b=21,由正弦定理sin =sin 可得 sinB=sin=32.又ABC 是锐角三角形,则 B=3.(2)由(1)知 B=3,若 a=3c,根
5、据余弦定理 b2=a2+c2-2accos B 可得 21=9c2+c2-3c2,解得 c2=3,c=3,a=3 3.此时 cos A=2+2-222,则ABC是钝角三角形,与题设不符,因此不存在使a=3c的锐角三角形 ABC.-7-一 二 三 四 五 六 二、数列的通项、求和问题 例2已知数列an的前n项和Sn=1+an,其中0.(1)证明an是等比数列,并求其通项公式;(2)若S5=,求.3132(1)证明：题意得 a1=S1=1+a1,故 1,a1=11-,a10.由 Sn=1+an,Sn+1=1+an+1 得 an+1=an+1-an,即 an+1(-1)=an.由 a10,0 得 a
6、n0,所以+1=-1.因此an是首项为 11-,公比为-1的等比数列,于是 an=11-1-1.-8-一 二 三 四 五 六(2)解：由(1)得 Sn=1-1.由 S5=3132得 1-1 5=3132,即-1 5=132.解得=-1.解题指导数列的通项公式、前n项和是高考的热点,求通项的常用方法有:利用等差(比)数列求通项公式;利用前n项和与通项的关系若数列满足an+1-an=f(n),用累加法求数列的通项an,若数列满足=f(n),则可用累积法求数列的通项an.将递推关系进行变换,转化为常见数列(等差、等比数列).求和常用方法有:公式法、错位相减法、裂项相消法、倒序相加法、分组求和法.an
7、=1,=1,-1,2.+1-9-一 二 三 四 五 六 对点训练2(2017浙江,22)已知数列xn满足:x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)(nN*).证明:当nN*时,(1)0 xn+10.当n=1时,x1=10,假设n=k时,xk0,那么n=k+1时,若xk+10,则00.因此xn0(nN*).所以xn=xn+1+ln(1+xn+1)xn+1.因此0 xn+10(x0),函数 f(x)在区间0,+)上单调递增,所以 f(x)f(0)=0,因此+12-2xn+1+(xn+1+2)ln(1+xn+1)=f(xn+1)0,故 2xn+1-xn+12(nN*).-12-一 二 三 四
8、五 六(3)因为 xn=xn+1+ln(1+xn+1)xn+1+xn+1=2xn+1,所以 xn12-1.由+122xn+1-xn 得1+1 12 2 1-12 0,所以1 12 2 1-1-12 2n-1 11-12=2n-2,故 xn12-2.综上,12-1 xn12-2(nN*).-13-一 二 三 四 五 六 三、统计与概率的综合问题 例3某工厂生产某种零件,每天生产成本为1 000元,此零件每天的批发价和产量均具有随机性,且互不影响.其具体情况如下表:日产量 400 500 概 率 0.4 0.6 批发价 8 10 概 率 0.5 0.5 (1)设随机变量X表示生产这种零件的日利润,
9、求X的分布列及数学期望;(2)若该厂连续3天按此情况生产和销售,设随机变量Y表示这3天中利润不少于3 000的天数,求Y的数学期望和方差,并求至少有2天利润不少于3 000的概率.-14-一 二 三 四 五 六 解：(1)50010-1 000=4 000,40010-1 000=5008-1 000=3000,4008-1 000=2 200,随机变量X可以取4 000,3 000,2 200.P(X=4 000)=0.60.5=0.3,P(X=2 200)=0.40.5=0.2,P(X=3 000)=0.60.5+0.40.5=0.5.X的分布列为 E(X)=4 0000.3+3 0000
10、.5+2 2000.2=3 140.X 4 000 3 000 2 200 P 0.3 0.5 0.2 -15-一 二 三 四 五 六(2)由(1)知,该厂生产1天利润不少于3 000的概率为P=0.8,YB(3,0.8),E(Y)=30.8=2.4,D(Y)=30.80.2=0.48.至少有2天利润不少于3 000的概率为 P=C330.83+C320.820.2=0.896.解题指导1.求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率,在求解时,要注意应用计数原理、排列组合、古典概型等知识.2.求离散型随机变量的均值与方差的方法:(1)首先求随机变量的分布列,然后利用均值与方差的
11、定义求解;(2)若随机变量XB(n,p),则可直接使用公式E(X)=np,D(X)=np(1-p)求解.-16-一 二 三 四 五 六 对点训练3某树苗培育基地为了解其基地内榕树树苗的长势情况,随机抽取了100株树苗,分别测出它们的高度(单位:cm),并将所得数据分组,画出频率分布表如下:组距 频数 频率 100,102)17 0.17 102,104)18 0.18 104,106)24 0.24 106,108)a b 108,110)6 0.06 110,112)3 0.03 合计 100 1 -17-一 二 三 四 五 六(1)求上表中a,b的值;(2)估计该基地榕树树苗的平均高度;(
12、3)基地从上述100株榕树苗中高度在108,112)范围内的树苗中随机选出5株进行育种研究,其中在110,112)内的有X株,求X的分布列和数学期望.解：(1)a=100-17-18-24-6-3=32,b=32100=0.32.(2)估计该基地榕树树苗的平均高度为101 17+103 18+105 24+107 32+109 6+111 3100=105.02(cm).-18-一 二 三 四 五 六(3)由频率分布表知树苗高度在108,112)范围内的有9株,在110,112)范围内的有3株,因此X的所有可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=C65C95=6126=121,P(X=1)=C
13、31C64C95=45126=514,P(X=2)=C32C63C95=60126=1021,P(X=3)=C33C62C95=15126=542.X 的分布列为:X 0 1 2 3 P 121 514 1021 542 X 的期望为 E(X)=0121+1514+21021+3542=53.-19-一 二 三 四 五 六 四、立体几何的综合问题 例4如图,在四棱锥P-ABCD中,ADBC,ADC=PAB=90,BC=CD=AD,E为棱AD的中点,异面直线PA与CD所成的角为90.(1)在平面PAB内找一点M,使得直线CM平面PBE,并说明理由;(2)若二面角P-CD-A的大小为45,求直线P
14、A与平面PCE所成角的正弦值.12-20-一 二 三 四 五 六 解：(1)在梯形ABCD中,AB与CD不平行.延长AB,DC,相交于点M(M平面PAB),点M即为所求的一个点.理由如下:由已知,BCED,且BC=ED.所以四边形BCDE是平行四边形.从而CMEB.又EB平面PBE,CM平面PBE,所以CM平面PBE.(说明:延长AP至点N,使得AP=PN,则所找的点可以是直线MN上任意一点)-21-一 二 三 四 五 六(2)方法一 由已知,CDPA,CDAD,PAAD=A,所以CD平面PAD.从而CDPD.所以PDA是二面角P-CD-A的平面角,所以PDA=45.设BC=1,则在RtPAD
15、中,PA=AD=2.过点A作AHCE,交CE的延长线于点H,连接PH.易知PA平面ABCD,从而PACE.于是CE平面PAH.所以平面PCE平面PAH.过A作AQPH于Q,则AQ平面PCE.所以APH是PA与平面PCE所成的角.在 RtAEH 中,AEH=45,AE=1,所以 AH=22.在 RtPAH 中,PH=2+2=3 22,所以 sinAPH=13.-22-一 二 三 四 五 六 方法二 由已知,CDPA,CDAD,PAAD=A,所以CD平面PAD.于是CDPD.从而PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以PDA=45.由PAAB,可得PA平面ABCD.设BC=1,则在RtPAD中,P
16、A=AD=2.作AyAD,以A为原点,以的方向分别为x轴,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),P(0,0,2),C(2,1,0),E(1,0,0).,所以 =(1,0,-2),=(1,1,0),=(0,0,2).设平面 PCE 的法向量为 n=(x,y,z).-23-一 二 三 四 五 六 由 =0,=0,得 -2=0,+=0.设 x=2,解得 n=(2,-2,1).设直线 PA 与平面 PCE 所成角为,则 sin=|=22 22+(-2)2+12=13.所以直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值为13.-24-一 二 三 四 五 六 解题指导1.解
17、答立体几何综合题时,要学会识图、用图、作图.空间平行、垂直关系的证明,都与几何体的结构特征相结合.2.在引入空间向量后,立体几何中的平行、垂直关系的证明转换成了简单的代数运算,降低了思维上的难度;线面角与二面角的计算也转换成了向量的代数运算,非常的程序化.-25-一 二 三 四 五 六 对点训练4如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形,ACC1=CC1B1=60,AC=2.(1)求证:AB1CC1;(2)若AB1=,求二面角C-AB1-A1的余弦值.6(1)证明：连接AC1,CB1,则ACC1和B1CC1都为正三角形.取CC1的中点O,连接OA,OB
18、1,则CC1OA,CC1OB1,则CC1平面OAB1,则CC1AB1.-26-一 二 三 四 五 六(2)解：由(1)知,OA=OB1=3,又 AB1=6,所以 OAOB1.如图,分别以 OB1,OC1,OA 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则 C(0,-1,0),B1(3,0,0),A(0,0,3),设平面 CAB1的法向量为 m=(x1,y1,z1).因为1 =(3,0,-3),=(0,-1,-3),所以 3 1+0 1-3 1=0,0 1-1 1-3 1=0,取 m=(1,-3,1).设平面 A1AB1 的法向量为 n=(x2,y2,z2).因为1 =(3,0,-3
19、),1 =(0,2,0),-27-一 二 三 四 五 六 所以 3 2+0 2-3 2=0,0 1+2 1+0 1=0,取 n=(1,0,1),则 cos=|=2 5 2=105,因为二面角 C-AB1-A1 为钝角,所以二面角 C-AB1-A1 的余弦值为-105.-28-一 二 三 四 五 六 五、解析几何的综合问题 例5已知椭圆C:9x2+y2=m2(m0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.(1)证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值;(2)若l过点,延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形?若能,求此时l的斜率;若不能,
20、说明理由.3,(1)证明：设直线 l:y=kx+b(k0,b0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).将 y=kx+b 代入 9x2+y2=m2 得(k2+9)x2+2kbx+b2-m2=0,故 xM=1+22=-2+9,yM=kxM+b=92+9.于是直线 OM 的斜率 kOM=-9,即 kOMk=-9.所以直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值.-29-一 二 三 四 五 六(2)解：四边形 OAPB 能为平行四边形.因为直线 l 过点 3,所以 l 不过原点且与 C 有两个交点的充要条件是 k0,k3.由(1)得 OM 的方程为 y=-9x.设点 P 的横坐标为
21、xP.由 =-9,92+2=2 得2=2292+81,即 xP=3 2+9.将点 3,的坐标代入 l 的方程得 b=(3-)3,因此 xM=(-3)3(2+9).四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分,即xP=2xM.-30-一 二 三 四 五 六 于是3 2+9=2(-3)3(2+9),解得 k1=4-7,k2=4+7.因为 ki0,ki3,i=1,2,所以当 l 的斜率为 4-7或 4+7时,四边形 OAPB 为平行四边形.解题指导解析几何的热点是把圆锥曲线、直线、圆融合在一起,重点是考查解析几何的基础知识、求轨迹的方法、数形结合和整体思想等,主要融合点为函数、方程、
22、三角、向量、不等式,近几年解析几何考查内容较为稳定,但在难度、形式上有所变化,设置背景还是直线与圆锥曲线的位置关系,但考点会是定点、定值和探究性问题.-31-一 二 三 四 五 六 对点训练5(2017北京,理18)已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1).过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.(1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;(2)求证:A为线段BM的中点.0,12 (1)解:由抛物线 C:y2=2px 过点 P(1,1),得 p=12.所以抛物线 C 的方程为 y2=x.抛物线 C 的焦点坐标为 14
23、,0,准线方程为 x=-14.-32-一 二 三 四 五 六(2)证明:由题意,设直线 l 的方程为 y=kx+12(k0),l 与抛物线C 的交点为 M(x1,y1),N(x2,y2).由 =+12,2=得 4k2x2+(4k-4)x+1=0.则 x1+x2=1-2,x1x2=142.因为点 P 的坐标为(1,1),所以直线 OP 的方程为 y=x,点 A 的坐标为(x1,x1),直线 ON 的方程为 y=22x,点 B 的坐标为 1,212 .-33-一 二 三 四 五 六 因为 y1+212-2x1=12+21-2122=1+12 2+2+12 1-2122=(2-2)12+12(2+1
24、)2=(2-2)142+1-222=0,所以 y1+212=2x1.故 A 为线段 BM 的中点.-34-一 二 三 四 五 六 六、函数与导数的综合问题 例6已知函数f(x)=xln x,g(x)=-x2+ax-3.(1)求函数f(x)在t,t+2(t0)上的最小值;(2)对一切x(0,+),2f(x)g(x)恒成立,求实数a的取值范围;(3)证明:对一切x(0,+)都有ln x成立.1e 2e-35-一 二 三 四 五 六(1)解：f(x)=ln x+1,当 x 0,1e 时,f(x)0.当 0tt+21e时不可能;当 0t1et+2,即 0t1e时,fmin(x)=f 1e=-1e.当1
25、ett+2,即 t1e时,f(x)在t,t+2上是增函数,fmin(x)=f(t)=tln t.fmin(x)=-1e,0 0).h(x)=(+3)(-1)2,当 0 x1 时,h(x)1时,h(x)0,h(x)递增,所以h(x)min=h(1)=4,故对一切x0,a4.(3)证明：问题等价于证明 xln x e 2e(x0),由(1)知 f(x)=xln x(x0)的最小值是-1e,当且仅当 x=1e时取等号,设 m(x)=e 2e(x0),m(x)=1-e,易知 m(x)的最大值等于 m(1)=-1e,当且仅当 x=1 时取到,从而对一切 x(0,+)都有 ln x 1e 2e成立.-37
26、-一 二 三 四 五 六 解题指导1.从近几年的高考试题来看,高考命题在不断的变化,把导数应用于函数的单调性、极值与最值等传统、常规问题的同时,进一步升华到处理与自然数有关的不等式的证明,它的解法又融合了转化、分类讨论、函数与方程、数形结合等数学思想与方法.2.利用导数证明不等式的关键是构造函数,函数构造出来后,用导数去研究这个函数的单调性或最值,通过单调性或最值找到不等关系,实现不等式的证明.-38-一 二 三 四 五 六 对点训练 6(2017 浙江,20)已知函数 f(x)=(x-2-1)e-x 12.(1)求 f(x)的导函数;(2)求 f(x)在区间 12,+上的取值范围.解:(1)因为(x-2-1)=1-1 2-1,(e-x)=-e-x,所以 f(x)=1-1 2-1 e-x-(x-2-1)e-x=(1-)(2-1-2)e-2-1 12.-39-一 二 三 四 五 六(2)由 f(x)=(1-)(2-1-2)e-2-1=0,解得 x=1 或 x=52.因为 x 12 12,1 1 1,52 52 52,+f(x)-0+0-f(x)12-12 0 12-52 又 f(x)=12(2-1-1)2e-x0,所以 f(x)在区间 12,+上的取值范围是 0,12 e-12.
