1、高考资源网（） 您身边的高考专家第5练如何让“线性规划”不失分题型分析高考展望“线性规划”是高考每年必考的内容，主要以填空题的形式考查，题目难度稍高二轮复习中，要注重常考题型的反复训练，注意研究新题型的变化点，争取在该题目上做到不误时，不丢分体验高考1(2015天津改编)设变量x，y满足约束条件则目标函数zx6y的最大值为_答案18解析画出约束条件的可行域如图中阴影部分，作直线l：x6y0，平移直线l可知，直线l过点A时，目标函数zx6y取得最大值，易得A(0,3)，所以zmax06318.2(2015陕西改编)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原
2、料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为_万元.甲乙原料限额A3212B128答案18解析设甲，乙的产量分别为x吨，y吨，由已知可得目标函数z3x4y，线性约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示：可得目标函数在点A处取到最大值由得A(2,3)则zmax324318(万元)3(2015课标全国)若x，y满足约束条件则zxy的最大值为_答案解析画出约束条件表示的可行域如图中阴影部分(ABC)所示：作直线l0：xy0，平移l0到过点A的直线l时，可使直线yxz在y轴上的截距最大，即z最大，解得即A，故z最大1.4(2016山东改编)若变量
3、x，y满足则x2y2的最大值是_答案10解析满足条件的可行域如图中阴影部分(包括边界)，x2y2是可行域上动点(x，y)到原点(0,0)距离的平方，显然，当x3，y1时，x2y2取最大值，最大值为10.5(2016浙江改编)若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是_答案解析已知不等式组所表示的平面区域如图所示的阴影部分，由解得A(1,2)，由解得B(2,1)由题意可知，当斜率为1的两条直线分别过点A和点B时，两直线的距离最小，即AB.高考必会题型题型一已知约束条件，求目标函数的最值例1(2016北京改编)若x，y满足则2xy的最大值为_答案4解析不等式组表示
4、的可行域如图中阴影部分所示令z2xy，则y2xz，作直线2xy0并平移，当直线过点A时，截距最大，即z取得最大值，由得所以A点坐标为(1,2)，可得2xy的最大值为2124.变式训练1已知实数x，y满足则z|4x4y3|的取值范围是_答案，15)解析根据题意画出不等式所表示的可行域，如图所示，z|4x4y3|4表示的几何意义是可行域内的点(x，y)到直线4x4y30的距离的4倍，结合图象易知点A(2，1)，B(，)到直线4x4y30的距离分别为最大和最小，此时z分别取得最大值15与最小值，故z，15)题型二解决参数问题例2已知变量x，y满足约束条件若x2y5恒成立，则实数a的取值范围为_答案1
5、,1解析由题意作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，则x2y5恒成立可转化为图中的阴影部分在直线x2y5的上方，由得由得则实数a的取值范围为1,1点评所求参数一般为对应直线的系数，最优解的取得可能在某点，也可能是可行域边界上的所有点，要根据情况利用数形结合进行确定，有时还需分类讨论变式训练2已知a0，x，y满足约束条件若z2xy的最小值为1，则a_.答案解析作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)易知直线z2xy过交点A时，z取最小值，由得zmin22a1，解得a.题型三简单线性规划的综合应用例3(1)(2016浙江改编)在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上
6、的投影由区域 中的点在直线xy20上的投影构成的线段记为AB，则AB_.(2)(2016课标全国乙)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为_元答案(1)3(2)216 000解析(1)已知不等式组表示的平面区域如图中PMQ所示因为l与直线xy0平行所以区域内的点在直
7、线xy2上的投影构成线段AB，则ABPQ.由解得P(1,1)，由解得Q(2，2)所以ABPQ3.(2)设生产A产品x件，B产品y件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为目标函数z2 100x900y.作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)，在(60,100)处取得最大值，zmax2 10060900100216 000(元)点评若变量的约束条件形成一个区域，如圆、三角形、带状图形等，都可考虑用线性规划的方法解决，解决问题的途径是：集中变量的约束条件得到不等式组，画出可行域，确定变量的取值范围，解决具体问题变
8、式训练3设点P(x，y)是不等式组所表示的平面区域内的任意一点，向量m(1,1)，n(2,1)，点O是坐标原点，若向量Omn(，R)，则的取值范围是_答案6,2解析画出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分所示由题意，可得(x，y)(1,1)(2,1)(2，)，故令z2(2)3()2x3y，变形得yx.当直线yx过点A(1,0)时，z取得最大值，且zmax2；当直线yx过点B(3,0)时，z取得最小值，且zmin6.高考题型精练1(2015安徽改编)已知x，y满足约束条件则z2xy的最大值是_答案1解析约束条件下的可行域如图所示，由z2xy可知y2xz，当直线y2xz过点A(1,1)时，截距最
9、大，此时z最大为1.2在平面直角坐标系中，点P是由不等式组所确定的平面区域内的动点，Q是直线2xy0上任意一点，O为坐标原点，则|OO|的最小值为_答案解析在直线2xy0上取一点Q，使得，则|O|，其中P，B分别为点P，A在直线2xy0上的投影，如图因为|，因此|min.3若x，y满足若目标函数zxy的最小值为2，则实数m的值为_答案8解析画出x，y满足的可行域如图可得直线y2x1与直线xym的交点使目标函数zxy取得最小值，由解得x，y，代入xy2得2m8.4已知圆C：(xa)2(yb)21，平面区域：若圆心C，且圆C与x轴相切，则a2b2的最大值为_答案37解析由已知得平面区域为MNP内部
10、及边界圆C与x轴相切，b1.显然当圆心C位于直线y1与xy70的交点(6,1)处时，amax6.a2b2的最大值为621237.5设x，y满足约束条件若目标函数zaxby(a0，b0)的最大值为4，则ab的取值范围是_答案(0,4解析作出不等式组表示的区域如图中阴影部分所示，由图可知，zaxby(a0，b0)过点A(1,1)时取最大值，ab4，ab24，a0，b0，ab(0,46已知变量x，y满足约束条件若zx2y的最大值与最小值分别为a，b，且方程x2kx10在区间(b，a)上有两个不同实数解，则实数k的取值范围是_答案(，2)解析作出可行域，如图所示，则目标函数zx2y在点(1,0)处取得
11、最大值1，在点(1,1)处取得最小值3，a1，b3，从而可知方程x2kx10在区间(3，1)上有两个不同实数解令f(x)x2kx1，则k2.7已知实数x，y满足若目标函数z2xy的最大值与最小值的差为2，则实数m的值为_答案2解析表示的可行域如图中阴影部分所示将直线l0：2xy0向上平移至过点A，B时，z2xy分别取得最小值与最大值由得A(m1，m)，由得B(4m，m)，所以zmin2(m1)m3m2，zmax2(4m)m8m，所以zmaxzmin8m(3m2)2，解得m2.8设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x02y02，求得m的取值范围是_答案解析当m0时，
12、若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P(x0，y0)满足x02y02，因此m0.如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域要使可行域内包含yx1上的点，只需可行域边界点(m，m)在直线yx1的下方即可，即mm1，解得m.9(2016江苏)已知实数x，y满足则x2y2的取值范围是_答案解析已知不等式组所表示的平面区域如下图：x2y2表示原点到可行域内的点的距离的平方解方程组得A(2,3)由图可知(x2y2)min2，(x2y2)maxOA2223213.104件A商品与5件B商品的价格之和不小于20元，而6件A商品与3件B商品的价格之和不大于24，则买3件A商品与9
13、件B商品至少需要_元答案22解析设1件A商品的价格为x元，1件B商品的价格为y元，买3件A商品与9件B商品需要z元，则z3x9y，其中x，y满足不等式组作出不等式组表示的平面区域，如图所示，其中A(0,4)，B(0,8)，C(，)当yxz经过点C时，目标函数z取得最小值所以zmin3922.因此当1件A商品的价格为元，1件B商品的价格为元时，可使买3件A商品与9件B商品的费用最少，最少费用为22元11给定区域D：令点集T(x0，y0)D|x0，y0Z，(x0，y0)是zxy在D上取得最大值或最小值的点，则T中的点共确定_条不同的直线答案6解析线性区域为图中阴影部分，取得最小值时点为(0,1)，最大值时点为(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，故共可确定6条不同的直线12已知变量x，y满足约束条件若目标函数zaxy(其中a0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a的取值范围是_答案解析画出x、y满足约束条件的可行域如图所示，要使目标函数zaxy仅在点(3,0)处取得最大值，则直线yaxz的斜率应小于直线x2y30的斜率，即a.专题3函数与导数- 12 - 版权所有高考资源网
