1、基础诊断考点突破课堂总结第2讲 导数在研究函数中的应用基础诊断考点突破课堂总结考试要求 1.函数单调性与导数的关系，A级要求；2.利用导数研究函数的单调性，求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)，B级要求；3.函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，A级要求；4.利用导数求函数的极大值、极小值，闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)，B级要求基础诊断考点突破课堂总结知 识 梳 理1函数的导数与单调性的关系函数yf(x)在某个区间内可导，则(1)若f(x)0，则f(x)在这个区间内(2)若f(x)0 f(x)0 f(x)0 基础诊断考点突破课堂总结3.函数的最值与
2、导数(1)函数f(x)在a，b上有最值的条件如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条的曲线，那么它必有最大值和最小值(2)求yf(x)在a，b上的最大(小)值的步骤 求函数yf(x)在(a，b)内的 将函数yf(x)的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，的一个是最小值连续不断极值端点处的函数值f(a)，f(b)最小基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自 测1思考辨析(在括号中打“”或“”)(1)f(x)0是f(x)为增函数的充要条件()(2)函数的极大值不一定比极小值大()(3)对可导函数f(x)，f(x0)0是x0点为极值点的充要条件()(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一
3、定是极小值()基础诊断考点突破课堂总结2.(2015北京海淀区模拟)函数f(x)x22ln x的单调递减区间是_答案(0,1)解析 f(x)2x2x2x1x1x(x0)当 x(0,1)时，f(x)0，f(x)为递减函数；当 x(1，)时，f(x)0，f(x)为递增函数基础诊断考点突破课堂总结3(苏教版选修22P34T8(2)改编)函数f(x)x33x22在区间1,1上的最大值是_解析 f(x)3x26x，令f(x)0，得x0或x2.f(x)在1,0)上是增函数，f(x)在(0,1上是减函数 f(x)maxf(x)极大值f(0)2.答案 2基础诊断考点突破课堂总结4如图是f(x)的导函数f(x)
4、的图象，则f(x)的极小值点的个数为_解析 由题意知在x1处f(1)0，且其左右两侧导数符号左负右正答案 1基础诊断考点突破课堂总结5(2014新课标全国卷改编)若函数f(x)kxln x在区间(1，)单调递增，则k的取值范围是_答案 1，)解析 依题意得 f(x)k1x0 在(1，)上恒成立，即 k1x在(1，)上恒成立，x1，01x1，k1.基础诊断考点突破课堂总结考点一 利用导数研究函数单调性【例1】已知f(x)ln xax.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)在(1,2)上单调递减，求实数a的范围解(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)1xa.当 a0 时，x0，f(x)0
5、，f(x)在(0，)上单调递增基础诊断考点突破课堂总结当 a0 时，令 f(x)0，得 x1a(0，)，当 x0，1a 时，f(x)0；当 x1a，时，f(x)0.故 f(x)在0，1a 上单调递增；在1a，上单调递减基础诊断考点突破课堂总结综上：当 a0 时，f(x)在(0，)上单调递增；当 a0 时，f(x)在0，1a 上单调递增；在1a，上单调递减(2)法一 f(x)在(1,2)上为减函数，由(1)知 a0，且(1,2)1a，.故a0，1a1，a1.基础诊断考点突破课堂总结法二 f(x)在(1,2)上单调递减，f(x)1xa0 在(1,2)上恒成立，即 a1x在(1,2)上恒成立，x(1
6、,2)时，1x1，a1，即 a 的范围为1，)基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f(x)0(或f(x)0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“”是否可以取到基础诊断考点突破课堂总结【训练 1】(2014山东卷)设函数 f(x)aln xx1x1，其中 a 为常数(1)若 a0，求曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)讨论函数 f(x)的单调性解(1)由题意知 a0 时，f(x)x
7、1x1，此时 f(x)2x12.可得 f(1)12，又 f(1)0，所以曲线 yf(x)在(1，f(1)处的切线方程为 x2y10.基础诊断考点突破课堂总结(2)函数 f(x)的定义域为(0，)f(x)ax2x12ax22a2xaxx12.当 a0 时，f(x)0，函数 f(x)在(0，)上单调递增当 a0 时，令 g(x)ax2(2a2)xa，由于(2a2)24a24(2a1)，当 a12时，0，f(x)12x12xx12 0，函数 f(x)在(0，)上单调递减基础诊断考点突破课堂总结当 a12时，0，g(x)0，f(x)0，函数 f(x)在(0，)上单调递减当12a0 时，0.设 x1，x
8、2(x1x2)是函数 g(x)的两个零点，则 x1a1 2a1a，x2a1 2a1a.由 x1a1 2a1a a22a1 2a1a0，基础诊断考点突破课堂总结所以 x(0，x1)时，g(x)0，f(x)0，函数 f(x)单调递减，x(x1，x2)时，g(x)0，f(x)0，函数 f(x)单调递增，x(x2，)时，g(x)0，f(x)0，函数 f(x)单调递减综上可得：当 a0 时，函数 f(x)在(0，)上单调递增；当 a12时，函数 f(x)在(0，)上单调递减；基础诊断考点突破课堂总结当12a0 时，f(x)在0，a1 2a1a，a1 2a1a，上单调递减，在a1 2a1a，a1 2a1a
9、上单调递增基础诊断考点突破课堂总结考点二 利用导数求函数的极值【例2】(2013重庆卷)设f(x)a(x5)26ln x，其中aR，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与y轴相交于点(0,6)(1)确定a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值基础诊断考点突破课堂总结解(1)因为 f(x)a(x5)26ln x，所以 f(x)2a(x5)6x.令 x1，得 f(1)16a，f(1)68a，所以曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y16a(68a)(x1)，由点(0,6)在切线上可得 616a8a6，故 a12.基础诊断考点突破课堂总结(2)由(1)知，f(x)12(x5)26
10、ln x(x0)，f(x)x56xx2x3x.令 f(x)0，解得 x12 或 x23.当 0 x3 时，f(x)0，故 f(x)在(0,2)，(3，)上为增函数；当 2x3 时，f(x)0，故 f(x)在(2,3)上为减函数由此可知，f(x)在 x2 处取得极大值 f(2)926ln 2，在 x3 处取得极小值 f(3)26ln 3.基础诊断考点突破课堂总结规律方法 利用导数研究函数极值的一般步骤：(1)确定定义域；(2)求导数f(x)；(3)若求极值，则先求方程f(x)0的根，再检验f(x)在方程根左右侧值的符号，求出极值(当根中有参数时要注意分类讨论根是否在定义域内)；若已知极值大小或存
11、在情况，则转化为已知方程f(x)0根的大小或存在情况，从而求解基础诊断考点突破课堂总结【训练2】设函数f(x)ax32x2xc(a0)(1)当a1，且函数图象过(0,1)时，求函数的极小值；(2)若f(x)在R上无极值点，求a的取值范围基础诊断考点突破课堂总结解 由题得 f(x)3ax24x1.(1)函数图象过(0,1)时，有 f(0)c1.当 a1 时，f(x)3x24x1.令 f(x)0，解得 x13或 x1；令 f(x)0，解得13x1.所以函数在，13 和(1，)上单调递增，在13，1 上单调递减，极小值是 f(1)13212111.基础诊断考点突破课堂总结(2)若 f(x)在 R 上
12、无极值点，则 f(x)在 R 上是单调函数，即 f(x)0或 f(x)0 恒成立当 a0 时，f(x)4x1，显然不满足条件；当 a0 时，f(x)0 或 f(x)0 恒成立的充要条件是(4)243a10，即 1612a0，解得 a43.综上，a 的取值范围为43，.基础诊断考点突破课堂总结考点三 利用导数求函数的最值【例 3】(2014江西卷)已知函数 f(x)(4x24axa2)x，其中 a0.(1)当 a4 时，求 f(x)的单调递增区间；(2)若 f(x)在区间1,4上的最小值为 8，求 a 的值解(1)当 a4 时，由 f(x)25x2x2x0 得 x25或x2，由 f(x)0 得
13、x0，25 或 x(2，)，故函数 f(x)的单调递增区间为0，25 和(2，)基础诊断考点突破课堂总结(2)f(x)10 xa2xa2 x，a0，由 f(x)0 得 x a10或 xa2.当 x0，a10 时，f(x)单调递增；当 x a10，a2 时，f(x)单调递减；当 xa2，时，f(x)单调递增易知 f(x)(2xa)2 x0，且 f a2 0.基础诊断考点突破课堂总结当a21，即2a0 时，f(x)在1,4上的最小值为 f(1)，由f(1)44aa28，得 a2 22，均不符合题意当 1a24，即8a2 时，f(x)在1,4上的最小值为 fa2 0，不符合题意当a24，即 a8 时
14、，f(x)在1,4上的最小值可能在 x1或 x4 处取得，而 f(1)8，由 f(4)2(6416aa2)8 得 a10 或 a6(舍去)，当 a10 时，f(x)在(1,4)上单调递减，f(x)在1,4上的最小值为 f(4)8，符合题意综上，a10.基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)不含参数求f(x)在a，b上的最值时，只需把f(x)的极值与端点函数值进行比较其中最大的是最大值，最小的是最小值(2)含参数时，应注意讨论f(x)在相应区间上的单调性，进而求最值基础诊断考点突破课堂总结【训练3】已知函数f(x)(xk)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间0,1上的最小值解
15、(1)由题意知f(x)(xk1)ex.令f(x)0，得xk1.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下：所以f(x)的单调递减区间是(，k1)；单调递增区间是(k1，)x(，k1)k1(k1，)f(x)0f(x)ek1基础诊断考点突破课堂总结(2)当k10，即k1时，f(x)在0,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)k；当0k11，即1k2时，f(x)在0，k1)上单调递减，在(k1,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(k1)ek1；当k11，即k2时，f(x)在0,1上单调递减，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(1)(1k)e.综上，当k1时
16、，f(x)在0,1上的最小值为f(0)k；当1k2时，f(x)在0,1上的最小值为f(k1)ek1；当k2时，f(x)在0,1上的最小值为f(1)(1k)e.基础诊断考点突破课堂总结思想方法1最值与极值的区别与联系(1)“最值”是整体概念，是比较整个定义域或区间内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性(2)从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的，而极值不唯一(3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能一个也没有基础诊断考点突破课堂总结2求极值、最值时，要求步骤规范；含参数时，要按一定标准讨论参数3在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较基础诊断考点突破课堂总结易错防范1注意定义域优先的原则，求函数的单调区间和极值点必须在函数的定义域内进行2求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论3解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)内的任一非空子区间上f(x)0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.
