1、例谈用一元三次函数培养解题能力412400 湖南茶陵县云阳中学 彭小武新的数学课程体系确立了以培养能力为核心的新教育观念和思想，因此近年来高考以及各地模拟试题中，对函数的考查并不仅仅局限在一些常用的函数上，出现了不少以三次函数为背景的好试题，比较成功地培养和考查了学生各方面能力。1、 以三次函数为蓝本，培养学生分析运用函数性质的能力 （1） 考查函数的奇偶性和单调性例1 已知函数f(x)=x3+px+q(xR)是奇函数，且在R上是增函数，则（ ）A、p=0,q=0 B、pR,q=0 C、p0,q=0 D、p0,q=0解析 由奇函数以及增函数的定义易知选D（2） 考查函数图象的对称性例2 函数f
2、(x)=x3-3x2+x-1的图象关于（ ）对称A、直线x=1 B、直线y=x C、点(1,-2) D、原点解析 由f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)的图象关于成中心对称知选C（3） 运用函数的性质和数形结合思想解题例3 已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则（ ）A、b(-,0) B、b(0,1) C、b(1,2) D、b(2,+ ) 解析 显然f(0)=d=0，由f(x)=ax(x-1)(x-2)知a0，又 yf(x)= ax3-3ax2+2ax比较系数可知b=-3a0,b0,d=0） o 1 22、 以三次函数为载体，培养学生综合运用知识的能力（1） 考查集
3、合、映射等知识例4 设f(x)=x3-x,M=x|1-kxkN=x| f(x)0，若M N，求k的取值范围 解析 由f(x)0解得x-1或ax1，则N=x| x-1或ax1 ，又MN，得0k1,01-k1或k-1,1-k-1解得0k1或k故k的取值范围是（0，1）（2）、考查函数不等式等知识例5 设函数f(x)=x3(xR)，若时, 恒成立，则实数m的取值范围是（ ）A、(0,1) B、(-,0) C、 D、(-,1)解析 由函数f(x)=x3在R上为奇函数知，又f(x)=x3在R上为增函数，得即 设，由知,故选D（3）、考查二项式定理及函数知识例6 设f(x)=x3-3x2+3x+1，则f(
4、x)的反函数f-1(x)= 解析 结合二项式定理知f(x)=(x-1)3+2，令f(x)=y有y-2=(x-1)3得x-1=,x=+1故f-1(x)= +13、 以三次函数为核心，培养学生分析问题、解决问题的能力以三次函数为核心，与不等式、数列、解析几何等知识结合综合考查学生分析问题、解决问题的能力。例7 设f(x)=x3，等差数列an中a3=7,a1+a2+a3=12，记Sn=,令bn= an Sn，数列的前项和为Tn。（1） 求an的通项公式和Sn（2） 求的值解析 （1）设数列an的公差为d，由a3= a1+d=7, ,a1+a2+a3=3a1+3d=12解得a1=1,d=3an=3n-
5、2, f(x)=x3 Sn=an+1(2) bn= an Sn=(3n-2)(3n+1), 故例8 设曲线C的方程是y=x3-x，将C沿x轴，y轴的正向分别平行移动t,s单位长度后得到曲线C1。（1） 写出曲线C1的方程；（2） 证明曲线C与C1关于点对称;（3） 如果曲线C与C1有且仅有一个公共点，证明S=且.解析 （1）曲线C1的方程为y=(x-t)3-(x-t)+s（3） 证明：在曲线C上任意取一点B1(x1,y1)，设B2(x2,y2)是B1关于A的对称点，则有，代入曲线C的方程得x2和y2满足的方程：S-y2=(t-x2)3-(t-x2)即y2=(t-x2)3-(t-x2)+S可知点B2(x2,y2)在曲线C1上。（4） 证明：由曲线C与C1有且仅有一个公共点得方程组有且仅有一组解，消去y整理得3tx2-3t2x+(t3-t-s)=0，这个关于的一元二次方程有且仅有一个根，所以且即9t4-12t(t3-t-s)=0且S=且
