1、专题七 选修4系列 第1讲 坐标系与参数方程(选修44)1(2019全国卷)在极坐标系中，O为极点，点M(0，0)(00)在曲线C：4sin 上，直线l过点A(4，0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当03时，求0及l的极坐标方程；(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程解：因为M(0，0)在曲线C上，当0 3 时，04sin 32 3.由已知得|OP|OA|cos 32.设Q(，)为l上除P外的任意一点在RtOPQ中，cos3|OP|2.经检验，点P2，3 在曲线cos3 2上所以l的极坐标方程为cos3 2.(2)设P(，)，在RtOAP中，|OP|OA|cos 4co
2、s，即4cos.因为P在线段OM上，且APOM，所以的取值范围是4，2.所以P点轨迹的极坐标方程为4cos，4，2.2(2019全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x1t21t2，y 4t1t2(t为参数)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos 3sin 110.(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值解：(1)因为11t21t21，且x2y221t21t2 24t2（1t2）21，所以C的直角坐标方程为x2y241(x1)，l的直角坐标方程为2x 3y110.(2)由(1)可设C的参数方程为xcos，y2sin (为
3、参数，)C上的点到l的距离为|2cos 2 3sin 11|74cos3 117.当23 时，4cos3 11取得最小值7，故C上的点到l的距离的最小值为 7.从近几年命题看：本讲命题内容以解答题的形式呈现，以极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程的互化为主要内容，考查直线与圆锥曲线的位置关系，难度中等，分值10分热点1 曲线的极坐标方程(讲练互动)1直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(，)，则xcos，ysin，2x2y2，tan yx（x0）.2直线的极坐标
4、方程若直线过点M(0，0)，且与极轴所成的角为，则它的方程为sin()0sin(0)几个特殊位置的直线的极坐标方程：(1)直线过极点：和；(2)直线过点M(a，0)(a0)且垂直于极轴：cos a；(3)直线过Mb，2 且平行于极轴：sin b.3圆的极坐标方程几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点，半径为r：r；(2)当圆心位于M(r，0)，半径为r：2rcos；(3)当圆心位于Mr，2，半径为r：2rsin.【例1】(2019全国卷)如图，在极坐标系Ox中，A(2，0)，B2，4，C2，34，D(2，)，弧AB，BC，CD 所在圆的圆心分别是(1，0)，1，2，(1，)，曲线M1
5、是弧 AB，曲线M2是弧BC，曲线M3是弧CD.(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|3，求P的极坐标解：(1)由题设可得，弧AB，BC，CD 所在圆的极坐标方程分别为2cos，2sin，2cos，所以M1的极坐标方程为2cos 04，M2的极坐标方程为2sin 434，M3的极坐标方程为2cos 34 .(2)设P(，)，由题设及(1)知：若04，则2cos 3，解得6；若434，则2sin 3，解得3或23；若34，则2cos 3，解得56.综上，P的极坐标为3，6 或3，3 或3，23 或3，56.思维升华1进行极坐标方程
6、与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：xcos，ysin，2x2y2，tan yx(x0)，要注意，的取值范围及其影响，灵活运用代入法和平方法等技巧2由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解变式训练(2019江苏卷)在极坐标系中，已知两点A 3，4，B2，2，直线 l 的方程为sin 4 3.(1)求 A，B 两点间的距离；(2)求点 B 到直线 l 的距离解：(1)设极点为 O.在OAB 中，A 3，4，B2，2，由余弦定理，得AB32（2）223 2cos24 5.(2)因为直线l的方程为sin4 3，所以直线l过点3 2，2，
7、倾斜角为34.又点B2，2，所以点B到直线l的距离为(3 2 2)sin342 2.热点2 参数方程及其应用(讲练互动)1直线的参数方程经过点P0(x0，y0)，倾斜角为的直线的参数方程为xx0tcos，yy0tsin(t为参数)设P是直线上的任一点，则t表示有向线段P0P 的数量2圆、椭圆的参数方程(1)圆心为点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为xx0rcos，yy0rsin(为参数，02)(2)椭圆x2a2 y2b2 1的参数方程为xacos，ybsin(为参数)【例2】(2018全国卷)在平面直角坐标系xOy中，O的参数方程为xcos ，ysin(为参数)，过点(0，2)且倾斜角
8、为的直线l与O交于A，B两点(1)求的取值范围；(2)求AB中点P的轨迹的参数方程解：(1)O的直角坐标方程为x2y21.当2时，l与O交于两点当2时，记tan k，则l的方程为ykx 2.l与O交于两点当且仅当21k2 1，解得k1，即(2，34)或(4，2)综上，的取值范围是(4，34)(2)l的参数方程为xtcos，y 2tsin t为参数，434.设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tPtAtB2，且tA，tB满足t22 2tsin 10.于是tAtB2 2sin，tP 2sin.又点P的坐标(x，y)满足xtPcos，y 2tPsin，所以点P的轨迹的参数方程是x 22
9、sin 2，y 22 22 cos 2(为参数，434)思维升华1解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决问题2在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解变式训练(2019潍坊质检)已知直线l：xt，y 3 3t(t为参数)，曲线C1：xcos，ysin(为参数)(1)设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；(2)若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的 12 倍，纵坐标压缩为原来的 32 倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动
10、点，求它到直线l距离d的最小值解：(1)直线l的普通方程为y 3(x1)，曲线C1的普通方程为x2y21.联立方程y 3（x1），x2y21，得A(1，0)，B12，32.则|AB|11220 3221.(2)依题意，曲线C2的参数方程为x12cos，y 32 sin，所以点P的坐标为12cos，32 sin .则d1（3）21 32 cos 3 32 sin 34 2sin(4)2，所以当sin4 1时，d取到最小值为2 3 64.热点3 极坐标与参数方程的综合应用(多维探究)角度 极径与参数几何意义的应用【例3】(2019长郡中学检测)在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：xy1与曲线C
11、2：x22cos，y2sin(为参数)以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系(1)写出曲线C1，C2的极坐标方程；(2)在极坐标系中，已知l：(0)与C1，C2的公共点分别为A，B，0，2，当|OB|OA|4时，求的值解：(1)由xy1，得cos sin 1，所以曲线C1的极坐标方程sin4 22.将曲线C2：x22cos，y2sin，消去参数，得(x2)2y24，即x2y24x0，所以曲线C2的极坐标方程为4cos.(2)由(1)知|OA|A1cos sin ，|OB|B4cos，所以|OB|OA|4cos(cos sin)2(1cos 2sin 2)22 2sin24.因为|O
12、B|OA|4，所以22 2sin24 4，则sin24 22.由02，知42454，所以2434，故4.思维升华1涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程2数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用和的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的变式训练 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x1 32 t，y12t(t为参数)，曲线C的极坐标方程为4cos.(1)求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；(2)设点P(1，0)，直线l与曲线C相交于A，B，求 1|PA|1|PB|
13、的值解：(1)因为x1 32 t，y12t，消去t得直线l的普通方程为x 3y10.由4cos，得24cos，所以x2y24x，表示圆(x2)2y24.(2)将x1 32 t，yt2，代入曲线C：x2y24x0，得t2 3t30.设A，B两点的对应参数为t1，t2，则t1t2 3，且t1t23.不妨设t10，t20.所以 1|PA|1|PB|1|t1|1|t2|t1|t2|t1t2|t1t2|t1t2|（t1t2）24t1t2|t1t2|153.角度 求最值或取值范围问题【例4】(2019长沙一中模拟)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标
14、方程为sin 4.(1)若M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|OP|16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；(2)设直线l的参数方程为xtcos，y3tsin (t为参数，0 2)，且直线l与曲线C2相交于A，B两点，求OAB面积的最大值解：(1)设P的极坐标方程为(，)(0)，M的极坐标方程为(1，)(10)由题设知|OP|，|OM|1 4sin.由|OM|OP|16得C2的极坐标方程为4sin(0)，因此C2的直角坐标方程为x2(y2)24(y0)(2)将xtcos，y3tsin 代入x2(y2)24，得t22tsin 30.设点A，B对应的参数分别为t1，t2.所以t1t
15、22sin，t1t23.设点Q(0，3)，AOB的面积为S.则SSOQASOQB123|t1t2|cos 32（t1t2）24t1t2cos 32（4sin212）cos23 4（sin21）2.由于0 2，所以当0时，OAB的面积S取最大值3 3.思维升华1数形结合，明确极径、极角的几何意义，有时需利用正弦、余弦定理找变量，的关系2涉及直线与圆、椭圆位置关系的最值问题，主要有两种求解方法：(1)利用三角换元，结合参数方程化为三角函数求最值；(2)化为直角坐标方程、运用直线、圆、椭圆的性质解题变式训练 在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知曲线M的参数方程为x
16、1cos，y1sin(为参数)，过原点O且倾斜角为的直线l交M于A，B两点(1)求直线l和曲线M的极坐标方程；(2)当0，4 时，求|OA|OB|的取值范围解：(1)依题意，直线l的极坐标方程为(R)曲线M的普通方程为(x1)2(y1)21，因为xcos，ysin，x2y22，所以极坐标方程为22(cos sin)10.(2)设A(1，)，B(2，)，且1，2均为正数，将代入22cos 2sin 10，得22(cos sin)10.当0，4 时，8sin24 40.则122(sin cos)，从而|OA|OB|122 2sin4.当0，4 时，442.故|OA|OB|的取值范围是(2，2 2.
