1、模块综合测评(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1如果zm(m1)(m21)i为纯虚数，则实数m的值为()A1B0C1D1或1B由题意知m0.2演绎推理“ 因为对数函数ylogax(a0且a 1)是增函数，而函数ylogx是对数函数，所以ylogx是增函数” ，所得结论错误的原因是()A大前提错误B小前提错误C推理形式错误D大前提和小前提都错误A对数函数ylogax(a0，且a1)，当a1时是增函数，当0a0，故选项D正确故选D.8用数学归纳法证明不等式(n1，n N*)的过程中，从nk到nk1
2、时左边需增加的代数式是()ABCDB从nk到nk1左边增加了，减少了，需增加的代数式为.9已知结论：“ 在正三角形ABC中，若D是BC的中点，G是三角形ABC的重心，则2”. 若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体ABCD中，若BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则等于()A1B2C3D4C面的重心类比几何体的重心，平面类比空间，2类比3，故选C.10甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则()A乙
3、可以知道四人的成绩B丁可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩D乙、丁可以知道自己的成绩D由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀，1个良好”乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩故选D.11如图所示，第n个图形是由正n2边形“扩展”而来(n1,2,3，)，则第n个图形中顶点个数为 ()A(n1)(n2)B(n2)(n3)Cn2DnB第一个图形共有1234个顶点，第二个图形共有2
4、045个顶点，第三个图形共有3056个顶点，第四个图形共有4267个顶点，故第n个图形共有(n2)(n3)个顶点12已知可导函数f (x)(xR)满足f (x)f (x)，则当a0时，f (a)和eaf (0)的大小关系为()Af (a)eaf (0)Cf (a)eaf (0)Df (a)eaf (0)B令g(x)exf (x)，则g(x)exf (x)f (x)0.所以g(x)在(，)上为增函数，g(a)g(0)eaf (a)e0f (0)，即f (a)eaf (0)，故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13已知a，bR，i是虚数单位若(ai)(
5、1i)bi，则|abi|_.由(ai)(1i)a1(a1)ibi，得解方程组，得a1，b2，则abi12i.|abi|.14由抛物线yx2，直线x1，x3和x轴所围成的图形的面积是_如图所示，Sx2dxx3(3313).15观察下列不等式1，1，1，照此规律，第五个不等式为_1左边的式子的通项是1，右边式子的分母依次增加1，分子依次增加2，还可以发现右边分母与左边最后一项分母的关系，所以第五个不等式为1.16设x3axb0，其中a，b均为实数下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是_(写出所有正确条件的编号)a3，b3；a3，b2；a3，b2；a0，b2；a1，b2.令f (x)x3axb，
6、求导得f (x)3x2a，当a0时，f (x)0，所以f (x)单调递增，且至少存在一个数使f (x)0，所以f (x)x3axb必有一个零点，即方程x3axb0仅有一根，故正确；当a0时，若a3，则f (x)3x233(x1)(x1)，易知，f (x)在(，1)，(1，)上单调递增，在1,1上单调递减，所以f (x)极大f (1)13bb2，f (x)极小值f (1)13bb2，要使方程仅有一根，则f (x)极大值b20，解得b2，故正确所以使得三次方程仅有一个实根的是.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知a0，b0，用分
7、析法证明：.证明因为a0，b0，要证，只要证，(ab)24ab，只要证(ab)24ab0，即证a22abb20，而a22abb2(ab)20恒成立，故成立18(本小题满分12分)已知zC，且|z|i23i(i为虚数单位)，求复数的虚部解设zxyi(x，yR)，代入方程|z|i23i，得出ixyi23i(x2)(3y)i，故有解得z34i，复数2i，虚部为1.19(本小题满分12分)设函数f (x)x3x2(m21)x(xR)，其中m0.(1)当m1时，求曲线yf (x)在点(1，f (1)处的切线的斜率；(2)求函数f (x)的单调区间与极值解(1)当m1时，f (x)x3x2，f (x)x2
8、2x，故f (1)1.所以曲线yf (x)在点(1，f (1)处的切线的斜率为1.(2)f (x)x22xm21.令f (x)0，解得x1m或x1m.因为m0，所以1m1m.当x变化时，f (x)，f (x)的变化情况如下表：x(，1m)1m(1m,1m)1m(1m，)f (x)00f (x)极小值极大值所以f (x)在(，1m)，(1m，)内是减函数，在(1m,1m)内是增函数函数f (x)在x1m处取得极小值f (1m)，且f (1m)m3m2.函数f (x)在x1m处取得极大值f (1m)，且f (1m)m3m2.20(本小题满分12分)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状
9、是正四棱锥PA1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCDA1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍(1)若AB6 m，PO12 m，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？解(1)由PO12知O1O4PO18.因为A1B1AB6，所以正四棱锥PA1B1C1D1的体积V锥A1BPO162224(m3)正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积V柱AB2O1O628288(m3)所以仓库的容积VV锥V柱24288312(m3)(2)设A1B1a m，PO1h m，则0h6，O1O4h，如图，连接O1B1.因为在R
10、tPO1B1中，O1BPOPB，所以h236，即a22(36h2)于是仓库的容积VV柱V锥a24ha2ha2h(36hh3)，0h6，从而V(363h2)26(12h2)令V0，得h2.当0h0，V是增函数；当2h6时，V0，所以f (x)在(0，)上单调递增若a0，则当x时，f (x)0；当x时，f (x)0时，f (x)在x处取得最大值，最大值为f ln aln aa1.因此f 2a2等价于ln aa10.令g(a)ln aa1，则g(a)在(0，)上单调递增，g(1)0.于是，当0a1时，g(a)1时，g(a)0.因此a的取值范围是(0,1)22(本小题满分12分)在各项为正的数列an中，数列的前n项和Sn满足Sn.(1)求a1，a2，a3；(2)由(1)猜想数列an的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想解(1)由S1a1得a1，an0，a11.由S2a1a2得a2a210.a21.由S3a1a2a3得a2a310.a3.(2)猜想an(nN*)证明如下：n1时，a1命题成立假设nk时，ak成立，则nk1时，ak1Sk1Sk，即ak1，a2ak110.ak1.即nk1时，命题成立，由知，nN*，an.8
