1、2015-2016学年广东省中山一中高二（上）第一次段考数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1若a、b、cR，ab，则下列不等式成立的是( )ABa2b2CDa|c|b|c|2已知等比数列an满足a1+a2=3，a2+a3=6，则a7=( )A64B81C128D2433已知等差数列an满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=( )A138B135C95D234等比数列an中，a2=9，a5=243，an的前4项和为( )A81B120C168D1925在ABC中，若，则ABC的面积为
2、( )ABC5D6已知f（x）为R上的减函数，则满足的实数x的取值范围是( )A（，1）B（1，+）C（，0）（0，1）D（，0）（1，+）7在ABC中，若sinC+sin（BA）=sin2A，则ABC的形状为( )A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形8已知数列an的前n项和为Sn，若Sn=3n+2n+1，则an=( )Aan=Ban=23n1Can=23n1+2Dan=9在ABC中，a=x，b=2，B=45，若此三角形有两解，则x的取值范围是( )Ax2Bx2CD10设Sn是等差数列an的前n项和，若=( )A1B1C2D11对一切实数x，不等式x4+ax2+10
3、恒成立，则实a的取值范围是( )A（，2）B2，+）C0，2D0，+）12数列an的首项为a1=1，数列bn为等比数列且bn=，若b10b11=2015，则a21=( )A2014B2015C2016D2017二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13若数列an的前n项和Sn=n2+2n+1，则a3+a4+a5+a6=_14已知A，B，则2AB的取值范围为_15在一座20 m高的观测台顶测得地面一水塔塔顶仰角为60，塔底俯角为45，那么这座塔的高为_16如图，它满足第n行首尾两数均为n，则第7行第2个数是_第n行（n2）第2个数是_三、解答题：（本大题共6小题，满分70分解答须
4、写出文字说明、证明过程和演算步骤）17已知数列an是各项均为正数的等比数列，且a1a2=2，a3a4=32，求数列an的通项公式18等差数列an的前n项和记为Sn已知a10=30，a20=50（）求通项an；（）若Sn=242，求n19如图，在四边形ABCD中，已知ADCD，AD=10，AB=14，BDA=60，BCD=135 求BC的长20在ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，C=（）若ABC的面积等于，求a，b；（）若sinC+sin（BA）=2sin2A，求ABC的面积21在海岸A处，发现北偏东45方向，距A处（1）海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75方向
5、，距A处2海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30的方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的时间22数列an的首项为a（a0），前n项和为Sn，且Sn+1=tSn+a（t0）设bn=Sn+1，（）求数列an的通项公式；（）当t=1时，若对任意nN+，|bn|b3|恒成立，求a的取值范围2015-2016学年广东省中山一中高二（上）第一次段考数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1若a、b、cR，ab，则下列不等式成立的是(
6、)ABa2b2CDa|c|b|c|【考点】不等关系与不等式 【专题】计算题【分析】本选择题利用取特殊值法解决，即取符合条件的特殊的a，b的值，可一一验证A，B，D不成立，而由不等式的基本性质知C成立，从而解决问题【解答】解：对于A，取a=1，b=1，即知不成立，故错；对于B，取a=1，b=1，即知不成立，故错；对于D，取c=0，即知不成立，故错；对于C，由于c2+10，由不等式基本性质即知成立，故对；故选C【点评】本小题主要考查不等关系与不等式、不等关系与不等式的应用、不等式的基本性质等基础知识，属于基础题2已知等比数列an满足a1+a2=3，a2+a3=6，则a7=( )A64B81C128
7、D243【考点】等比数列 【分析】由a1+a2=3，a2+a3=6的关系求得q，进而求得a1，再由等比数列通项公式求解【解答】解：由a2+a3=q（a1+a2）=3q=6，q=2，a1（1+q）=3，a1=1，a7=26=64故选A【点评】本题主要考查了等比数列的通项及整体运算3已知等差数列an满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=( )A138B135C95D23【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和 【专题】计算题【分析】本题考查的知识点是等差数列的性质，及等差数列前n项和，根据a2+a4=4，a3+a5=10我们构造关于基本量（首项及公差）的方程组，解方程组
8、求出基本量（首项及公差），进而代入前n项和公式，即可求解【解答】解：（a3+a5）（a2+a4）=2d=6，d=3，a1=4，S10=10a1+=95故选C【点评】在求一个数列的通项公式或前n项和时，如果可以证明这个数列为等差数列，或等比数列，则可以求出其基本项（首项与公差或公比）进而根据等差或等比数列的通项公式，写出该数列的通项公式，如果未知这个数列的类型，则可以判断它是否与某个等差或等比数列有关，间接求其通项公式4等比数列an中，a2=9，a5=243，an的前4项和为( )A81B120C168D192【考点】等比数列的性质 【专题】计算题【分析】根据等比数列的性质可知等于q3，列出方程
9、即可求出q的值，利用即可求出a1的值，然后利用等比数列的首项和公比，根据等比数列的前n项和的公式即可求出an的前4项和【解答】解：因为=q3=27，解得q=3又a1=3，则等比数列an的前4项和S4=120故选B【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的性质及等比数列的前n项和的公式化简求值，是一道中档题5在ABC中，若，则ABC的面积为( )ABC5D【考点】余弦定理 【专题】计算题；解三角形【分析】依题意可求得cosC，从而可求得sinC，利用三角形的面积公式即可求得答案【解答】解：在ABC中，a=10，b=8，cos（A+B）=cosC=，cosC=，又C（0，），sinC=，SABC=ab
10、sinC=108=故选A【点评】本题考查正弦定理，考查三角函数的诱导公式，考查利用正弦定理求解三角形面积的方法，属于中档题6已知f（x）为R上的减函数，则满足的实数x的取值范围是( )A（，1）B（1，+）C（，0）（0，1）D（，0）（1，+）【考点】函数单调性的性质 【分析】由函数的单调性可直接得到的大小，转化为解分式不等式，直接求解或特值法均可【解答】解：由已知得解得x0或x1，故选D【点评】本题考查利用函数的单调性解不等式，属基本题7在ABC中，若sinC+sin（BA）=sin2A，则ABC的形状为( )A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形【考点】三角形的
11、形状判断 【专题】解三角形【分析】由两角和与差的三角函数公式结合三角形的知识可得cosA=0或sinA=sinB进而可作出判断【解答】解：sinC+sin（BA）=sin2A，sin（A+B）+sin（BA）=sin2AsinAcosB+cosAsinB+sinBcosAcosBsinA=2sinAcosA2sinBcosA=2sinAcosAcosA（sinAsinB）=0，cosA=0或sinA=sinB0A，B，A=或A=BABC为直角三角形或等腰三角形故选：D【点评】本题考查三角形形状的判断，涉及两角和与差的三角函数公式，属基础题8已知数列an的前n项和为Sn，若Sn=3n+2n+1，
12、则an=( )Aan=Ban=23n1Can=23n1+2Dan=【考点】数列递推式 【专题】等差数列与等比数列【分析】利用当n=1时，a1=S1，当n2时，an=SnSn1，即可得出【解答】解：Sn=3n+2n+1，当n=1时，a1=S1=3+2+1=6，当n2时，an=SnSn1=3n+2n+13n1+2（n1）+1=23n1+2，an=故选：D【点评】本题考查了递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9在ABC中，a=x，b=2，B=45，若此三角形有两解，则x的取值范围是( )Ax2Bx2CD【考点】正弦定理的应用 【专题】计算题【分析】利用正弦定理和b和sinB求得a和s
13、inA的关系，利用B求得A+C；要使三角形两个这两个值互补先看若A45，则和A互补的角大于135进而推断出A+B180与三角形内角和矛盾；进而可推断出45A135若A=90，这样补角也是90，一解不符合题意进而可推断出sinA的范围，利用sinA和a的关系求得a的范围【解答】解：=2a=2sinAA+C=18045=135A有两个值，则这两个值互补若A45，则C90，这样A+B180，不成立45A135又若A=90，这样补角也是90，一解所以sinA1a=2sinA所以2a2故选C【点评】本题主要考查了正弦定理的应用考查了学生分析问题和解决问题的能力10设Sn是等差数列an的前n项和，若=(
14、)A1B1C2D【考点】等差数列的性质 【专题】计算题【分析】充分利用等差数列前n项和与某些特殊项之间的关系解题【解答】解：设等差数列an的首项为a1，由等差数列的性质可得a1+a9=2a5，a1+a5=2a3，=1，故选A【点评】本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前n项和公式以及等差中项的综合应用，已知等差数列an的前n项和为Sn，则有如下关系S2n1=（2n1）an11对一切实数x，不等式x4+ax2+10恒成立，则实a的取值范围是( )A（，2）B2，+）C0，2D0，+）【考点】函数最值的应用 【专题】计算题【分析】讨论x是否为零，然后将a分离出来，使得a恒小于不等式另一侧的最小值
15、即可，求出a的范围即为所求【解答】解：对一切实数x，不等式x4+ax2+10x4+1ax2在R上恒成立当x=0时不等式恒成立当x0时，a在R上恒成立而2a2即a2故选B【点评】本题主要考查了恒成立问题，以及参数分离法和利用基本不等式求函数的最值，属于中档题12数列an的首项为a1=1，数列bn为等比数列且bn=，若b10b11=2015，则a21=( )A2014B2015C2016D2017【考点】数列递推式 【专题】计算题；转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】由已知结合bn=，得到a21=b1b2b20，结合b10b11=2015，以及等比数列的性质求得答案【解答】解：由bn=
16、，且a1=1，得b1=，b2=，a3=a2b2=b1b2，b3=，a4=a3b3=b1b2b3，an=b1b2bn1a21=b1b2b20数列bn为等比数列，a21=（b1b20）（b2b19）（b10b11）=故选：B【点评】本题考查了数列递推式，考查了等比数列的性质，是中档题二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13若数列an的前n项和Sn=n2+2n+1，则a3+a4+a5+a6=40【考点】数列的求和 【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】利用a3+a4+a5+a6=S6S2，即可得出【解答】解：数列an的前n项和Sn=n2+2n+1，则a3+a4+a
17、5+a6=S6S2=（62+26+1）（22+22+1）=40故答案为：40【点评】本题考查了递推关系、数列前n项和公式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题14已知A，B，则2AB的取值范围为（）【考点】不等式比较大小 【专题】不等式的解法及应用【分析】根据A，B，分别求出2A、B的取值范围，进而求出2AB的取值范围即可【解答】解：根据A，B，可得2A、B，所以2AB，所以2AB的取值范围为 （）故答案为：（）【点评】本题主要考查了不等式的基本性质的运用，解答此题的关键是分别求出2A、B的取值范围15在一座20 m高的观测台顶测得地面一水塔塔顶仰角为60，塔底俯角为45，那么这座塔的高
18、为20（1+）m【考点】解三角形的实际应用 【专题】计算题【分析】在直角三角形ABD中根据BD=ADtan60求得BD，进而可得答案【解答】解析：如图，AD=DC=20BD=ADtan60=20塔高为20（1+）m【点评】本题主要考查解三角形在实际中的应用属基础题16如图，它满足第n行首尾两数均为n，则第7行第2个数是22第n行（n2）第2个数是【考点】进行简单的合情推理 【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】设第7行第2个数是x，由斜列：2，4，7，11，16，可知42=2，74=3，117=4，1611=5，x16=6，解得x由a2=2，a3=4，a4=7，a5=11，可
19、得：a3a2=2，a4a3=3，a5a4=4，利用“累加求和”方法即可得出【解答】解：设第7行第2个数是x，由斜列：2，4，7，11，16，可知42=2，74=3，117=4，1611=5，x16=6，解得x=22由a2=2，a3=4，a4=7，a5=11，可得：a3a2=42=2，a4a3=74=3，a5a4=117=4，an=a2+（a3a2）+（a4a3）+（anan1）=2+2+3+（n1）=1+=故答案分别为：22；【点评】本题考查了“累加求和”方法、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题：（本大题共6小题，满分70分解答须写出文字说明、证明过程和演算
20、步骤）17已知数列an是各项均为正数的等比数列，且a1a2=2，a3a4=32，求数列an的通项公式【考点】等比数列的通项公式 【专题】导数的综合应用【分析】由题意可得首项和公比的方程组，解方程组易得通项公式【解答】解：设等比数列an的公比为q，则q0，由已知可得，解方程组可得数列an的通项公式an=2n1【点评】本题考查等比数列的通项公式，求出数列的首项和公比是解决问题的关键，属基础题18等差数列an的前n项和记为Sn已知a10=30，a20=50（）求通项an；（）若Sn=242，求n【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和 【专题】等差数列与等比数列【分析】（1）利用等差数列的通项
21、公式，根据a10和a20的值建立方程组，求得a1和d，则通项an可得（2）把等差数列的求和公式代入Sn=242进而求得n【解答】解：（）由an=a1+（n1）d，a10=30，a20=50，得方程组解得a1=12，d=2所以an=2n+10（）由得方程解得n=11或n=22（舍去）【点评】本小题主要考查等差数列的通项公式、求和公式，考查运算能力19如图，在四边形ABCD中，已知ADCD，AD=10，AB=14，BDA=60，BCD=135 求BC的长【考点】解三角形；三角形中的几何计算 【专题】数形结合【分析】由余弦定理求得BD，再由正弦定理求出BC的值【解答】解：在ABD中，设BD=x，则B
22、A2=BD2+AD22BDADcosBDA，即142=x2+102210xcos60，整理得：x210x96=0，解之：x1=16，x2=6（舍去）由正弦定理得：，【点评】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，一元二次方程的解法，求出BD的值，是解题的关键20在ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，C=（）若ABC的面积等于，求a，b；（）若sinC+sin（BA）=2sin2A，求ABC的面积【考点】余弦定理的应用 【分析】（）先通过余弦定理求出a，b的关系式；再通过正弦定理及三角形的面积求出a，b的另一关系式，最后联立方程求出a，b的值（）通过C=（A+B）及二倍角公
23、式及sinC+sin（BA）=2sin2A，求出sinBcosA=2sinAcosA当cosA=0时求出a，b的值进而通过absinC求出三角形的面积；当cosA0时，由正弦定理得b=2a，联立方程解得a，b的值进而通过absinC求出三角形的面积【解答】解：（）c=2，C=，c2=a2+b22abcosCa2+b2ab=4，又ABC的面积等于，ab=4联立方程组，解得a=2，b=2（）sinC+sin（BA）=sin（B+A）+sin（BA）=2sin2A=4sinAcosA，sinBcosA=2sinAcosA当cosA=0时，求得此时当cosA0时，得sinB=2sinA，由正弦定理得b
24、=2a，联立方程组解得，所以ABC的面积综上知ABC的面积【点评】本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力21在海岸A处，发现北偏东45方向，距A处（1）海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75方向，距A处2海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30的方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的时间【考点】解三角形的实际应用 【专题】应用题【分析】设缉私船追上走私船需t小时，进而可表示出CD和BD，进而在ABC中利用余弦定理求得BC，进而在BCD中，根据正弦定理可
25、求得sinBCD的值，进而求得BDC=BCD=30进而求得BD，进而利用BD=10t求得t【解答】解：如图所示，设缉私船追上走私船需t小时，则有CD=，BD=10t在ABC中，AB=1，AC=2，BAC=45+75=120根据余弦定理可求得BC=CBD=90+30=120在BCD中，根据正弦定理可得sinBCD=，CBD=120，BCD=30，BDC=30，BD=BC=，则有10t=，t=0.245（小时）=14.7（分钟）所以缉私船沿北偏东60方向，需14.7分钟才能追上走私船【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用考查了运用三角函数的基础知识解决实际的问题22数列an的首项为a（a0），前
26、n项和为Sn，且Sn+1=tSn+a（t0）设bn=Sn+1，（）求数列an的通项公式；（）当t=1时，若对任意nN+，|bn|b3|恒成立，求a的取值范围【考点】数列递推式 【专题】等差数列与等比数列【分析】（1）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出；（2）当t=1时，an=a，Sn=na，bn=na+1，由对任意nN+，|bn|b3|恒成立，得|na+1|3a+1|，两边平方化为（n3）a（n+3）a+20，对a分类讨论即可得出【解答】解：（1）Sn+1=tSn+a（t0） 当n2时，Sn=tSn1+a ，得，an+1=tan，又由S2=tS1+a，得a2=ta1，数列an是首项为a，公比为t的等比数列，an=atn1（nN*）（2）当t=1时，an=a，Sn=na，bn=na+1，由对任意nN+，|bn|b3|恒成立，得|na+1|3a+1|，化为（n3）a（n+3）a+20 （*）当a0时，n3时，（*）不成立；当a0时，（*）等价于（n3）（n+3）a+20 （*）n=3时，（*）成立n4时，有（n+3）a+20，即an恒成立，n=1时，有4a+20，n=2时，有5a+20，综上，a的取值范围是【点评】本题考查了递推关系的应用、含绝对值数列问题、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
