1、4.7正弦定理和余弦定理考纲展示1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题2能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题考点1利用正、余弦定理解三角形 正、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理公式_2Ra2_；b2_；c2_续表定理正弦定理余弦定理常见变形(1)a2Rsin A，b_，c_；(2)sin A，sin B_，sin C；(3)abc_；(4)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin Acos A_；cos B_；cos C_答案：b
2、2c22bccos Ac2a22cacos Ba2b22abcos C2Rsin B2Rsin Csin Asin Bsin C(1)教材习题改编在ABC中，已知a5，b7，c8，则AC()A90 B120 C135 D150答案：B(2)教材习题改编在ABC中，已知A60，B75，c20，则a_.答案：10解三角形的一般类型：已知两边及一角；已知两角及一边；已知三边(1)在ABC中，已知a5，b2，C30，则c_.答案：解析：由余弦定理，得c2a2b22abcos C52(2)2252cos 307，所以c.(2)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B，sin A，b，则a_
3、.答案：解析：由正弦定理，得a.(3)在ABC中，已知abc243，则cos C_.答案：解析：设a2k，b4k，c3k(k0)，则cos C.典题12017山师大附中一模设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin Aacos B.(1)求角B的大小；(2)若b3，sin C2sin A，求a，c的值解(1)bsin Aacos B，由正弦定理得sin Bsin Asin Acos B.在ABC中，sin A0，即得tan B，B.(2)sin C2sin A，由正弦定理得c2a，由余弦定理b2a2c22accos B，即9a24a22a2acos ，解得a，c2a2.点石成金
4、1.解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到2三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ac6，b2，cos B.(1)求a，c的值；(2)求sin(AB)的值解：(1)由余弦定理，得cos B，即a2c24ac.(ac)22ac4ac，ac9.由得ac3.(2)在ABC中，cos B，sin
5、 B.由正弦定理，得，sin A.又AC，0A，cos A，sin(AB)sin Acos Bcos Asin B. 考点2利用正弦、余弦定理判定三角形的形状 三角形中的角的关系判断误区：角的大小比较的误区；角的个数的误区(1)在ABC中，若sin Asin B，则A与B的大小关系是_答案：AB解析：由正弦定理，得sin A，sin B.若sin Asin B，则，即ab，故AB.(2)在ABC中，若A60，a4，b4，则B等于_答案：45解析：由正弦定理，有，则sin B.又ab，所以AB，故B45.注意挖掘题中隐含条件，以便确定满足条件的角的情况判断三角形的形状利用正、余弦定理判断三角形的
6、形状，一般都可以通过两种途径实现：(1)把角的条件转化为边，通过边的关系判断；(2)把边的条件转化为角，通过计算角的大小进行判断典题2(1)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c22a22b2ab，则ABC是()A钝角三角形 B直角三角形C锐角三角形 D等边三角形答案A解析由2c22a22b2ab，得a2b2c2ab，所以cos C0，所以90C180，即ABC为钝角三角形(2)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不确定答案B解析依据题设条件的特点，由正弦定理，
7、得sin Bcos Ccos Bsin Csin2A，有sin(BC)sin2A，A(0，)，sin A0.从而sin(BC)sin Asin2A，解得sin A1，A，故选B.题点发散1若将本例条件改为“若2sin Acos Bsin C”，那么ABC一定是()A直角三角形 B等腰三角形C等腰直角三角形 D等边三角形答案：B解析：解法一：由已知得2sin Acos Bsin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B，即sin(AB)0，因为AB，所以AB.解法二：由正弦定理，得2acos Bc，再由余弦定理得2aca2b2ab.题点发散2若将本例条件改为“若a2b2c2ab，
8、且2cos Asin Bsin C”，确定ABC的形状解：解法一：利用边的关系来判断：由正弦定理，得，由2cos Asin Bsin C，有cos A.又由余弦定理，得cos A，即c2b2c2a2，a2b2，ab.又a2b2c2ab.2b2c2b2，b2c2，bc，abc.ABC为等边三角形解法二：利用角的关系来判断：ABC180，sin Csin(AB)，又2cos Asin Bsin C，2cos Asin Bsin Acos Bcos Asin B，sin(AB)0.又A与B均为ABC的内角，所以AB，又由a2b2c2ab，由余弦定理，得cos C，又0C0)，由余弦定理可得cos C
9、0，又C(0，)，C，ABC为钝角三角形题点发散4若将本例条件改为“(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)”，试判断三角形的形状解：(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，b2sin(AB)sin(AB)a2sin(AB)sin(AB)，2sin Acos Bb22cos Asin Ba2，即a2cos Asin Bb2sin Acos B.解法一：由正弦定理知a2Rsin A，b2Rsin B，sin2Acos Asin Bsin2Bsin Acos B，又sin Asin B0，sin Acos Asin Bcos B，sin 2Asin 2B.在ABC中，02
10、A2，02B2，2A2B或2A2B，AB或AB.ABC为等腰三角形或直角三角形解法二：由正弦定理、余弦定理，得a2bb2a，a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)，(a2b2)(a2b2c2)0，a2b20或a2b2c20.即ab或a2b2c2.ABC为等腰三角形或直角三角形题点发散5若将本例条件改为：“2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C，且sin Bsin C1”，试判断ABC的形状解：由已知，根据正弦定理，得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc，cos A，sin A，则sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C.解得sin Bsin C.故BC
11、，所以ABC是等腰钝角三角形点石成金1.判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是不是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别2判断三角形形状主要有以下两种途径：(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cos A，则ABC为()A钝角三角形 B直角三角形C锐角三角形 D等边三角形答案：A解析：依题意得cos A，s
12、in Csin Bcos A，所以sin(AB)sin Bcos A，即sin Bcos Acos Bsin Asin Bcos A0，所以cos Bsin A0，于是有cos B0，B为钝角，ABC是钝角三角形考点3与三角形面积有关的问题 三角形中常用的面积公式(1)Sah(h表示边a上的高)；(2)Sbcsin Aacsin Babsin C；(3)Sr(abc)(r为三角形的内切圆半径)教材习题改编在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2，b3，SABC，则角C的值为_答案：60或120解析：由SABCabsin C23sin C，得sin C，因为C为三角形ABC的内角
13、，所以C60或C120.三角形面积公式利用正余弦定理三角形的面积还可以写成：S2R2sin Asin Bsin C，S. 典题32017河北衡水模拟如图，在ABC中，sin ABC，AB2，点D在线段AC上，且AD2DC，BD.(1)求BC的长；(2)求DBC的面积解(1)因为sin ABC，所以cosABC12.在ABC中，设BCa，AC3b，则由余弦定理可得，9b2a24a，在ABD和DBC中，由余弦定理可得，cosADB，cosBDC.因为cosADBcosBDC，所以有，所以3b2a26.由可得，a3，b1，即BC3.(2)由(1)得ABC的面积为S232，所以DBC的面积为.点石成金
14、三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式(2)与面积有关的问题，一般要用正弦定理或余弦定理进行边和角的转化. 2017湖北武汉质量预测在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a2b2c2bc0,2bsin Aa，BC边上中线AM的长为.(1)求角A和角B的大小；(2)求ABC的面积解：(1)由a2b2c2bc0，得b2c2a2bc，cos A，A，由2bsin Aa，得ba，BA.(2)设ACBCx，由余弦定理，得AM2x22x()2，解得x2，故SABC222. 真题演练集训 12014新课标全国
15、卷钝角三角形ABC的面积是，AB1 ，BC，则AC()A5 B. C2 D1答案：B解析：由题意可得ABBCsin B，又AB1 ，BC，所以sin B，所以B45或B135.当B45时，由余弦定理可得AC1，此时ACAB1，BC，易得A90，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去所以B135.由余弦定理可得AC.22014新课标全国卷已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，a2，且(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，则ABC面积的最大值为_答案：解析：2R，a2，又(2b)(sin Asin B)(cb)sin C可化为(ab)(ab)(cb)c，a2b2c2bc，b2c
16、2a2bc.cos A，A60.ABC中，4a2b2c22bccos 60b2c2bc2bcbcbc(当且仅当bc时等号成立)，SABCbcsin A4.32016新课标全国卷ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A，cos C，a1，则b_.答案：解析：解法一：因为cos A，cos C，所以sin A，sin C，从而sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C.由正弦定理，得b.解法二：因为cos A，cos C，所以sin A，sin C，从而cos Bcos(AC)cos Acos Csin Asin C.由正弦定理，得c.由余弦定理b2a2c2
17、2accos B，得b.解法三：因为cos A，cos C，所以sin A，sin C，由正弦定理，得c.从而bacos Cccos A.解法四：如图，作BDAC于点D，由cos C，aBC1，知CD，BD.又cos A，所以tan A，从而AD.故bADDC.42016新课标全国卷ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos Bbcos A)c.(1)求C；(2)若c，ABC的面积为，求ABC的周长解：(1)由已知及正弦定理，得2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C，2cos Csin(AB)sin C，故2sin Ccos Csin
18、C，C(0，)可得cos C，所以C.(2)由已知，absin C.又C，所以ab6.由已知及余弦定理，得a2b22abcos C 7，故a2b213，从而(ab)225.所以ABC的周长为5. 课外拓展阅读 转化与化归思想在解三角形中的应用典例2016新课标全国卷ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos Bbcos A)c.(1)求C；(2)若c，ABC的面积为，求ABC的周长审题视角(1)利用正弦定理进行边角互化求解；(2)利用三角形的面积公式得出ab，再结合余弦定理联立方程求出ab，进而求得ABC的面积解(1)由已知及正弦定理得，2cos Csin(AB)sin C故2sin Ccos Csin C.可得cos C，所以C.(2)由已知，得absin C.又C，所以ab6.由已知及余弦定理得，a2b22abcos C7.故所以ABC的周长为5.满分心得1(1)题中处不能利用正弦定理将边化为角，使已知条件中的式子转化为同类(2)题中处不能结合余弦定理将(ab)视为整体进行求解而走入误区2转化与化归思想在解三角形中的应用主要体现在边角之间利用正、余弦定理统一的转化化简上，使关系式中的量达到统一性提醒 完成课时跟踪检测(二十四)
