1、热点一利用导数解决函数的单调性热点二利用导数求解函数的极值、最值问题热点三利用导数解决与不等式有关的恒成立和存在性问题热点四利用导数研究方程解或图象交点问题结束放映返回目录第2页 热点一 利用导数解决函数的单调性问题函数的单调性是函数在定义域内的局部性质，因此利用导数讨论函数的单调性时，要先研究函数的定义域，再利用导数f(x)在定义域内的符号来判断函数的单调性这类问题主要有两种考查方式：(1)判断函数f(x)的单调性或求单调区间；(2)利用函数的单调性或单调区间，求参数的范围 热点突破结束放映返回目录第3页 热点一 利用导数解决函数的单调性问题解(1)因为当a1时，f(x)x2ex，f(x)2
2、xexx2ex(2xx2)ex，所以f(1)e，f(1)3e.从而yf(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程为ye3e(x1)，即y3ex2e.(5分)(2)f(x)2xeaxax2eax(2xax2)eax.当a0时，若x0，则f(x)0，若x0，则f(x)0.所以当a0时，函数f(x)在区间(，0)上为减函数，在区间(0，)上为增函数(7分)【例 1】(12 分)(2015济南模拟)已知函数 f(x)x2eax，aR.(1)当 a1 时，求函数 yf(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程(2)讨论 f(x)的单调性热点突破结束放映返回目录第4页 热点一 利用导数解决函数的单调性问题
3、当 a0 时，由 2xax20，解得 x0 或 x2a，由 2xax20，解得 0 x2a.【例 1】(12 分)(2015济南模拟)已知函数 f(x)x2eax，aR.(1)当 a1 时，求函数 yf(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程(2)讨论 f(x)的单调性所以当 a0 时，函数 f(x)在区间(，0)，2a，上为减函数，热点突破在区间0，2a 上为增函数(9 分)当 a0 时，由 2xax20，解得2ax0，由 2xax20，解得 x2a或 x0.结束放映返回目录第5页 热点一 利用导数解决函数的单调性问题所以，当 a0 时，函数 f(x)在区间，2a，(0，)上为增函数，【例
4、 1】(12 分)(2015济南模拟)已知函数 f(x)x2eax，aR.(1)当 a1 时，求函数 yf(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程(2)讨论 f(x)的单调性在区间2a，0 上为减函数(11 分)热点突破当 a0 时，f(x)在(，0)，2a，上单调递减，在0，2a 上单调递增；当 a0 时，f(x)在2a，0 上单调递减，综上所述，当a0时，f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增；在，2a，(0，)上单调递增(12 分)结束放映返回目录第6页 求函数 f(x)的定义域(根据已知函数解析式确定)求函数 f(x)的导数 f(x)根据参数分类讨论求解(令 f(x)0
5、或令 f(x)0)第一步第二步第三步第四步下结论第五步求含参函数f(x)的单调区间的一般步骤：热点一 利用导数解决函数的单调性问题热点突破结束放映返回目录第7页(1)判断函数的单调性，求函数的单调区间、极值等问题，最终归结到判断f(x)的符号问题上，而f(x)0或f(x)0，最终可转化为一个一元一次或一元二次不等式问题若含参数，则含参数的二次不等式的解法常常涉及到参数的讨论问题，只要把握好下面的四个“讨论点”，一切便迎刃而解分类标准一：二次项系数是否为零，目的是讨论不等式是否为二次不等式；分类标准二：二次项系数的正负，目的是讨论二次函数图象的开口方向；分类标准三：判别式的正负，目的是讨论二次方
6、程是否有解；分类标准四：两根差的正负，目的是比较根的大小(2)若已知f(x)的单调性，则转化为不等式f(x)0或f(x)0在单调区间上恒成立问题 热点一 利用导数解决函数的单调性问题热点突破结束放映返回目录第8页 解(1)f(x)exln xex1xaex【训练1】已知函数f(x)exln xaex(a0)(1)若函数f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线与直线xey10垂直，求实数a的值；(2)若函数f(x)在区间(0，)上是单调函数，求实数a的取值范围 f(1)(1a)e，(1xaln x)ex(x0)，由(1a)e1e1 得 a2.热点一 利用导数解决函数的单调性问题热点突破(2)由(
7、1)知 f(x)(1xaln x)ex(x0)，即1xaln x0，所以 a1xln x若f(x)在(0，)上为单调递减函数，则f(x)0，在(0，)上恒成立 结束放映返回目录第9页 令 g(x)1xln x(x0)，【训练1】已知函数f(x)exln xaex(a0)(2)若函数f(x)在区间(0，)上是单调函数，求实数a的取值范围由g(x)0得x1，故g(x)在(0，1上为单调递减函数，在1，)上为单调递增函数，此时g(x)有最小值为g(1)1，但g(x)无最大值 故f(x)不可能是单调递减函数 若f(x)在(0，)上为单调递增函数，则f(x)0在(0，)上恒成立，则 g(x)1x21xx
8、1x2(x0)，即1xaln x0，所以 a1xln x，热点一 利用导数解决函数的单调性问题热点突破由上述推理可知此时a1.故a的取值范围是(，1 结束放映返回目录第10页 热点突破热点二 利用导数求解函数的极值、最值问题用导数研究函数的极值或最值是高考命题的重要题型之一对于此类问题的求解，首先，要理解函数极值的概念，需要清楚导数为零的点不一定是极值点，只有在该点两侧导数的符号相反，即函数在该点两侧的单调性相反时，该点才是函数的极值点；其次，要区分极值与最值，函数的极值是一个局部概念，而最值是某个区间的整体性概念 结束放映返回目录第11页【例 2】已知函数 f(x)(ax2bxc)ex 在0
9、，1上单调递减且满足f(0)1，f(1)0.(1)求 a 的取值范围(2)设 g(x)f(x)f(x)，求 g(x)在0，1上的最大值和最小值热点突破热点二 利用导数求解函数的极值、最值问题解(1)由f(0)1，f(1)0，得c1，ab1，则f(x)ax2(a1)x1ex，f(x)ax2(a1)xaex，依题意对于任意x0，1，有f(x)0.当a0时，因为二次函数yax2(a1)xa的图象开口向上，而f(0)a0，所以需f(1)(a1)e0，即0a1；当a1时，对于任意x0，1，有f(x)(x21)ex0，且只在x1时f(x)0，f(x)符合条件；当a0时，对于任意x0，1，f(x)xex0，
10、且只在x0时，f(x)0，f(x)符合条件；当a0时，因f(0)a0，f(x)不符合条件 故a的取值范围为0a1.结束放映返回目录第12页【例 2】已知函数 f(x)(ax2bxc)ex 在0，1上单调递减且满足f(0)1，f(1)0.(1)求 a 的取值范围(2)设 g(x)f(x)f(x)，求 g(x)在0，1上的最大值和最小值热点突破热点二 利用导数求解函数的极值、最值问题(2)因g(x)(2ax1a)ex，g(x)(2ax1a)ex，当a0时，g(x)ex0，g(x)在x0处取得最小值g(0)1，在x1处取得最大值g(1)e.当a1时，对于任意x0，1有g(x)2xex0，g(x)在x
11、0处取得最大值g(0)2，在x1处取得最小值g(1)0.当 0a1 时，由 g(x)0 得 x1a2a 0.若1a2a 1，即 0a13时，结束放映返回目录第13页【例 2】已知函数 f(x)(ax2bxc)ex 在0，1上单调递减且满足f(0)1，f(1)0.(1)求 a 的取值范围(2)设 g(x)f(x)f(x)，求 g(x)在0，1上的最大值和最小值热点突破热点二 利用导数求解函数的极值、最值问题g(x)在0，1上单调递增，g(x)在x0处取得最小值g(0)1a，在x1处取得最大值g(1)(1a)e.若1a2a 1，即13a1 时，g(x)在 x1a2a 处取得最大值 g1a2a2ae
12、1a2a，在x0或x1处取得最小值，而g(0)1a，g(1)(1a)e，由g(0)g(1)1a(1a)e(1e)a1e0，得 ae1e1.结束放映返回目录第14页【例 2】已知函数 f(x)(ax2bxc)ex 在0，1上单调递减且满足f(0)1，f(1)0.(1)求 a 的取值范围(2)设 g(x)f(x)f(x)，求 g(x)在0，1上的最大值和最小值热点突破热点二 利用导数求解函数的极值、最值问题g(0)g(1)0，g(x)在x0处取得最小值g(0)1a；则当13ae1e1时，当e1e1a1 时，g(0)g(1)0，g(x)在x1处取得最小值g(1)(1a)e.结束放映返回目录第15页
13、热点突破含参函数的最值问题是高考的热点题型，解此类题的关键是极值点与给定区间位置关系的讨论，此时要注意结合导函数图象的性质进行分析另外，最值在两点处都有可能取到时，应作差比较两函数值的大小热点二 利用导数求解函数的极值、最值问题结束放映返回目录第16页【训练 2】(2013福建卷)已知函数 f(x)xaln x(aR)(1)当 a2 时，求曲线 yf(x)在点 A(1，f(1)处的切线方程；(2)求函数 f(x)的极值热点突破解 函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)1ax.热点二 利用导数求解函数的极值、最值问题f(x)12x(x0)，(1)当a2时，f(x)x2ln x，因而f(1)1，
14、f(1)1，所以曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程为y1(x1)，即xy20.结束放映返回目录第17页【训练 2】(2013福建卷)已知函数 f(x)xaln x(aR)(1)当 a2 时，求曲线 yf(x)在点 A(1，f(1)处的切线方程；(2)求函数 f(x)的极值热点突破(2)由 f(x)1axxax，x0 知：热点二 利用导数求解函数的极值、最值问题当a0时，f(x)0，函数f(x)为(0，)上的增函数，函数f(x)无极值；当a0时，由f(x)0，解得xa.又当x(0，a)时，f(x)0；当x(a，)时，f(x)0，从而函数f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)a
15、aln a，无极大值 综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)在xa处取得极小值aaln a，无极大值 结束放映返回目录第18页 热点突破热点三 利用导数解决与不等式有关的恒成立和存在性问题“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即f(x)g(a)对于xD恒成立，应求f(x)的最小值；若存在xD，使得f(x)g(a)成立，应求f(x)的最大值在具体问题中究竟是求最大值还是最小值，可以先联想“恒成立”是求最大值还是最小值，这样也就可以解决相应的“存在性”问题是求最大值还是最小值特别需要关注等号是否成立问题，以免细节出错 结束放映返回目录第19页 热点三 利用导数解决与不
16、等式有关的恒成立和存在性问题【例3】(2014陕西卷节选)设函数f(x)ln(1x)，g(x)xf(x)，x0，其中f(x)是f(x)的导函数(1)令g1(x)g(x)，gn1(x)g(gn(x)，nN*，求gn(x)的表达式(不需证明)；(2)若f(x)ag(x)恒成立，求实数a的取值范围 热点突破解 由题设得，g(x)x1x(x0)(1)由已知，g1(x)x1x，g2(x)g(g1(x)x1x1 x1xx12x，可得 gn(x)x1nx.g3(x)x13x，结束放映返回目录第20页 热点三 利用导数解决与不等式有关的恒成立和存在性问题【例3】(2014陕西卷节选)设函数f(x)ln(1x)
17、，g(x)xf(x)，x0，其中f(x)是f(x)的导函数(1)令g1(x)g(x)，gn1(x)g(gn(x)，nN*，求gn(x)的表达式(不需证明)；(2)若f(x)ag(x)恒成立，求实数a的取值范围 热点突破(2)已知 f(x)ag(x)恒成立，即 ln(1x)ax1x恒成立设(x)ln(1x)ax1x(x0)，则(x)11xa(1x)2x1a(1x)2，a1 时，ln(1x)ax1x恒成立(仅当 x0 时等号成立)当a1时，(x)0(仅当x0，a1时等号成立)，(x)在0，)上单调递增又(0)0，(x)0在0，)上恒成立，结束放映返回目录第21页 热点三 利用导数解决与不等式有关的
18、恒成立和存在性问题【例3】(2014陕西卷节选)设函数f(x)ln(1x)，g(x)xf(x)，x0，其中f(x)是f(x)的导函数(1)令g1(x)g(x)，gn1(x)g(gn(x)，nN*，求gn(x)的表达式(不需证明)；(2)若f(x)ag(x)恒成立，求实数a的取值范围 热点突破故知 ln(1x)ax1x不恒成立当a1时，对x(0，a1有(x)0，(x)在(0，a1上单调递减，(a1)1时，存在x0，使(x)0，综上可知，a的取值范围是(，1结束放映返回目录第22页 求解不等式恒成立时参数的取值范围问题，一般常用分离参数的方法，但是如果分离参数后对应的函数不便于求解其最值，或者求解
19、其函数最值繁琐时，可采用直接构造函数的方法求解 热点突破 热点三 利用导数解决与不等式有关的恒成立和存在性问题结束放映返回目录第23页 解(1)f(x)ax(1a)xb.【训练 3】(2014新课标全国卷)设函数 f(x)aln x1a2 x2bx(a1)，曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为 0.(1)求 b；(2)若存在 x01，使得 f(x0)aa1，求 a 的取值范围(2)f(x)的定义域为(0，)，热点突破 热点三 利用导数解决与不等式有关的恒成立和存在性问题由(1)知，f(x)aln x1a2 x2x，f(x)ax(1a)x11ax x a1a(x1)若 a12，则 a
20、1a1，由题设知f(1)0，解得b1.故当x(1，)时，f(x)0，f(x)在(1，)上单调递增结束放映返回目录第24页 所以，存在 x01，使得 f(x0)aa1的充要条件为 f(1)aa1，【训练 3】(2014新课标全国卷)设函数 f(x)aln x1a2 x2bx(a1)，曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为 0.(1)求 b；(2)若存在 x01，使得 f(x0)aa1，求 a 的取值范围热点突破 热点三 利用导数解决与不等式有关的恒成立和存在性问题即1a2 1 aa1，解得 21a 21.若12a1，则 a1a1，故当 x1，a1a 时，f(x)0；当 xa1a，时，f
21、(x)0.f(x)在1，a1a 上单调递减，在a1a，上单调递增结束放映返回目录第25页 所以，存在 x01，使得 f(x0)aa1的充要条件为 fa1a aa1.【训练 3】(2014新课标全国卷)设函数 f(x)aln x1a2 x2bx(a1)，曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为 0.(1)求 b；(2)若存在 x01，使得 f(x0)aa1，求 a 的取值范围热点突破 热点三 利用导数解决与不等式有关的恒成立和存在性问题而 fa1a aln a1aa22(1a)aa1 aa1，所以不合题意若 a1，则 f(1)1a2 1a12 aa1.综上，a 的取值范围是(21，21)
22、(1，)结束放映返回目录第26页 热点突破热点四 利用导数研究方程解或图象交点问题利用导数研究方程的解或图象交点问题，是高考题的典型题型，该类问题一般可通过导数研究函数的单调性和极值，描绘出草图，然后分析观察，列出相应不等式(或方程)求解该类问题充分体现了数形结合这一重要思想方法 结束放映返回目录第27页 热点四 利用导数研究方程解或图象交点问题由f(x)0，得xe.当x(0，e)，f(x)0，f(x)在(0，e)上单调递减，当x(e，)，f(x)0，f(x)在(e，)上单调递增，热点突破【例 4】设函数 f(x)ln xmx，mR.(1)当 me(e 为自然对数的底数)时，求 f(x)的极小
23、值；(2)讨论函数 g(x)f(x)x3零点的个数解(1)由题设，当 me 时，f(x)ln xex，则 f(x)xex2，当 xe 时，f(x)取得极小值 f(e)ln eee2，f(x)的极小值为2.结束放映返回目录第28页 热点四 利用导数研究方程解或图象交点问题则(x)x21(x1)(x1)，当x(0，1)时，(x)0，(x)在(0，1)上单调递增；当x(1，)时，(x)0，(x)在(1，)上单调递减 x1是(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此x1也是(x)的最大值点 热点突破【例 4】设函数 f(x)ln xmx，mR.(2)讨论函数 g(x)f(x)x3零点的个数(2)由题设 g
24、(x)f(x)x31xmx2x3(x0)，令 g(x)0，得 m13x3x(x0)设(x)13x3x(x0)，(x)的最大值为(1)23.结束放映返回目录第29页 热点四 利用导数研究方程解或图象交点问题又(0)0，结合y(x)的图象(如图)，可知 热点突破【例 4】设函数 f(x)ln xmx，mR.(2)讨论函数 g(x)f(x)x3零点的个数当 m23时，函数 g(x)无零点；当 m23时，函数 g(x)有且只有一个零点；当 0m23时，函数 g(x)有两个零点；当 m0 时，函数 g(x)有且只有一个零点综上所述，当 m23时，函数 g(x)无零点；当 m23或 m0 时，函数 g(x
25、)有且只有一个零点；当 0m23时，函数 g(x)有两个零点结束放映返回目录第30页 用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决 热点突破 热点四 利用导数研究方程解或图象交点问题结束放映返回目录第31页 由题设得2a2，所以 a1.热点突破(1)解 f(x)3x26xa，f(0)a.曲线yf(x)在点(0，2)处的切线方程为yax2.(2)证明 由(1)知，f(x)x33x2x2.设g(x)f(x)kx2x33x2(1k)x4.由题设知1k0.当x0时，g(x)3x26x1k0，g(x)单调
26、递增，g(1)k10，g(0)4，所以g(x)0在(，0上有唯一实根 热点四 利用导数研究方程解或图象交点问题【训练4】(2014新课标全国卷)已知函数f(x)x33x2ax2，曲线yf(x)在点(0，2)处的切线与x轴交点的横坐标为2.(1)求a；(2)证明：当k1时，曲线yf(x)与直线ykx2只有一个交点 结束放映返回目录第32页 热点突破当x0时，令h(x)x33x24，则g(x)h(x)(1k)xh(x)h(x)3x26x3x(x2)，h(x)在(0，2)单调递减，在(2，)上单调递增，所以g(x)h(x)h(2)0.所以g(x)0在(0，)上没有实根 综上，g(x)0在R上有唯一实根，即曲线yf(x)与直线ykx2只有一个交点.热点四 利用导数研究方程解或图象交点问题【训练4】(2014新课标全国卷)已知函数f(x)x33x2ax2，曲线yf(x)在点(0，2)处的切线与x轴交点的横坐标为2.(1)求a；(2)证明：当k1时，曲线yf(x)与直线ykx2只有一个交点 结束放映返回目录第33页（见教辅）
