1、题目 第二章函数二次函数高考要求 1要掌握二次函数的图象和性质，有单调性，对称轴，顶点，二次函数的最值讨论方法，二次方程根的分布的讨论方法，特别是韦达定理的应用2能利用二次函数研究一元二次方程的实根分布条件；能求二次函数的区间最值知识点归纳二次函数是高中最重要的函数，它与不等式、解析几何、数列、复数等有着广泛的联系1二次函数的图象及性质:二次函数的图象的对称轴方程是，顶点坐标是2二次函数的解析式的三种形式：用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即，和（顶点式）3 根分布问题: 一般地对于含有字母的一元二次方程ax2+bx+c=0 的实根分布问题，用图象求解，有如下结论：令f
2、(x)=ax2+bx+c (a0) (1)x1,x2,x2,则(3)x1b,x2b,则 (4)x1b (0(0(0(0)的解集为或者是题型讲解 例1函数是单调函数的充要条件是（）A B C D解：函数的对称轴，函数是单调函数，故选A例2已知二次函数的对称轴为，截轴上的弦长为，且过点，求函数的解析式解：二次函数的对称轴为，可设所求函数为，又截轴上的弦长为，过点和，又过点， ，例3已知函数的最大值为，求的值 分析：令，问题就转二次函数的区间最值问题解：令，对称轴为，（1）当，即时，得或（舍去）（2）当，即时，函数在单调递增，由，得（3）当，即时，函数在单调递减，由，得（舍去）综上可得：的值为或例4
3、 已知函数与非负轴至少有一个交点，求的取值范围解法一：由题知关于的方程至少有一个非负实根，设根为则或，得解法二：由题知或，得解法三：当函数与非负轴没有交点时，则或，得或函数与非负轴至少有一个交点时的取值范围为例5设二次函数，已知不论，为何实数，恒有（1）求证：（2）求证：（3）若函数的最大值为8，求b，c的值解：（1）由产生b+c，只要消除差异，这可令 从而知 （2）由即， 又因为 （3） 当 由 解得 点评注意：且, 这是用不等式证明等式的有效方法，很是值得重视例6设f(x)=ax2+bx+c(abc),f(1)=0,g(x)=ax+b （1）求证：函数y=f(x)与y=g(x)的图象有两个
4、交点；（2）设f(x)与g(x)的图象交点A、B在x轴上的射影为A1、B1，求A1B1的取值范围；证明（1）：f(x)=ax2+bx+c,f(1)=0 f(1)=a+b+c=0又abc3aa+b+c3c a0,c0由 =(ba)24a(cb)(b+a)24ac0故函数y=f(x)与y=g(x)的图象有两个交点；解（2）：设A、B的坐标分别为（x1,y1）、（x2，y2），则x1、x2是方程（*）的两根故x1+x2=,x1x2=,由题意，A1B1=x1x2=abc,a+b+c=0a(a+c)c 2A1B1的取值范围是（，2）例7是否存在实数a,b,c使函数f(x)=ax2+bx+c (a0)，的
5、图像经过M(-1,0)，且满足条件“对一切实数x，都有xf(x) ” 解：因为图像经过M(-1,0)，所以a-b+c=0 又因为xf(x) 当x1时，1f(1) 1 ， 所以f(1) =1即a+b+c=1 从而 所以b= xax2+对一切实数x恒成立即的解集为Ra=0或a=,所以a=c=,b=例8设f(x)是定义在-1，1上的奇函数，g(x)的图象与f(x)的图象关于直线x=1对称，而当（1）求f(x)的表达式（2）对于任意解：（1）设P（x,y）是f(x) 图象上的任意点，则P（x,y）关于直线x=1的对称点为Q (2-x ,y)必在g(x)图像上，且22-x3即x-1，0x-1，0f(x)
6、是定义在-1，1上的奇函数，f(0)=0, c= 当（2）当时，例9设函数f(x)=|xa|ax，其中0a1为常数（1）解不等式f(x)0;（2）试推断函数f(x)是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，说明理由解：（1）由f(x)0得，|xa|ax，即axxaax,不等式的解集是（2）内是增函数，内是减函数例10对于函数，若存在，使，则称是的一个不动点，已知函数，（1）当时，求函数的不动点；（2）对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围；（3）在（2）的条件下，若的图象上两点的横坐标是的不动点，且两点关于直线对称，求的最小值解：（1），是的不动点，则，得或，函数的不动点为和
7、（2）函数恒有两个相异的不动点，恒有两个不等的实根，对恒成立，得的取值范围为（3）由得，由题知，设中点为，则的横坐标为，当且仅当，即时等号成立，的最小值为学生练习 1设x,y是关于m的方程m2-2am+a+6=0的两个实根，则(x-1)2+(y-1)2的最小值是（ ）(A)-1225 (B)18 (C) 8 (D)无最小值2函数f(x)=2x2-mx+3,当x(-,-1时是减函数，当x-1,+)时是增函数，则f(2)= 3方程x2+bx+c=0有两个不同正根的充要条件是 ；有一正根，一负根的充要条件是 _ ；至少有一根为零的充要条件 _ 4如果方程x2+2ax+a+1=0的两个根中，一个比2大
8、，另一个比2小，则实数a的取值范围是 5设方程x2-mx+1=0的两个根为,b,且01,1b2,则实数m的取值范围是 _ 6直线y=kx+1与双曲线x2-y2=1的左支相交，则k的取值范围是 7已知关于x的不等式ax2+bx+c0的解集是 8方程x2+(m-2)x+2m-1=0在(0,1)内有一根，则m ;或m=6-2)在(0,1)内至少有一根，则m 9线段AB的两个端点分别为A(3,0),B(0,3),若抛物线y=x2-2ax+a2+1与线段AB有两个不同交点，试求实数a的取值范围10已知f(x)=(m-2)x2-4mx+2m-6=0的图象与x轴的负半轴有交点，求实数m的取值范围11已知二次
9、函数f(x),f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x对任意实数x都成立，试求f(1-)的值12已知函数f(x)=mx2+(m-3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m的取值范围13根据市场调查，某商品在最近40天内的价格与时间t满足关系：销售量g(t)与时间t满足关系g(t)= -t/3 +43/3 (0t40),tN),求这种商品日销售量的最大值14已知函数f(x)=lg(x2-2mx+m+2)(1)若f(x)的定义域为R，求实数m的取值范围； (2)若f(x)的值域为R，求实数m的取值范围 15若二次函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间-1,1内
10、至少存在一点c使f(c)0,求实数p的取值范围16已知而二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)= -bx,其中a,b,c满足abc,a+b+c=0,(a,b,cR)(1)求证：两函数的图象相交于不同两点A，B；(2)求线段AB在x轴上的射影A1B1之长的取值范围17设 2sin2x+acosx13a对xR恒成立，求实数a的取值范围18在平行四边形ABCD中，已知AB=a,BC=b(ab),A=60,在AB,AD,CB,CD上分别取AE,AH,CF,CG都等于x(0xb),求x取何值时，四边形EFGH面积最大？最大值为多少？19已知函数f(x)=ax2+(2a-1)x-3 (a0)
11、在区间-3/2,2上的最大值为1，求实数a的值20已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根，证明：()如果2，2，那么2a4+b且b4；()如果2a4+b且b4，那么2，221已知a、b、c是实数,函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,当-1x1时,f(x)1()证明:bl;()证明:当-1x1时,g(x)2;22已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足f(-1)=0,对于任意实数x，都有f(x)-x0,并且x(0,2)时，f(x)=(x+1)2/4,(1)求f(1); (2)求f(x)23若对任意实数x，sin2x+2kcosx-2k-20,b0，c0，c=0
12、4 a-15 2m5/26 -k-17 (-3,2) (用韦达定理可得b=a,c= -6a,a0,代入不等式即可）8 1/2m2/3， m(1/2,6-2 有一根，分为四种情况讨论：(i)f(0)f(1)01/2m2/3;(ii)=0,0(2-m)/21m=6-2;(iii) f(0)=0,则m=1/2,另一根为3/2不合条件; (iv) f(1)=0,m=2/3,另一根为1/3符合题意有两根，则m (2/3,6-2)另法：可以观察二次函数y=x2-2x-1与y= -m(x+2)的图象得到结果9 a9/410 (1)m=2时，交点为(-1/4,0),m2时，(i)一正一负，(m-2)(2m-6
13、)0, 2m3,(ii)两负，1m2,(iii)一根为零，一根为负，无解，综合得1m311 f(x)=x2-2x-1, f(1-)=012若m=0，满足要求；若m0,原点两侧各一个根，x1x2=/1m0, m0,x1x20,解得 0m1,综合可得：m(-,113当0t20时，日销售额S=(t/2+11)(-t/3+43/3)= -(t2-21t-2243)/6故当t=10或11时，Smax=176,当20t40时，S=(t-41)(t-43)/3,故t=20时，Smax=161综上，日销售额的最大值是17614 (1)-1m0,f或(1)0,即2p2-p-10,或2p2+3p-90, -1/2
14、p1或-3p3/2, -30bc,a0,c0,所以两函数的图象有两个不同交点；(2)设方程的两根为x1,x2,则|A1B1|2=/a2=4()2+,a+b+c=0,abc,a-(a+c)c ,ao,c/a (-2,-1/2),此时|A1B1|2(3,12),|A1B1|()17解法一：原不等式可变形为2cos2x-acosx+3a-10,令t=cosx-1,1,由对称轴分三种情况讨论;解法二：原不等式可变形为-a(2cos2x-1)/(3-cosx),令3-cosx=t,则a2t+17/t-12 (t2,4,a12-2 18 S= (0xb)(1)当a3b时,S的最大值为;(2)当a3b时,S的最大值为19最大值点只可能是端点或顶点讨论f(-3/2)=1,f(2)=1,或顶点处的函数值为1, a=3/4或a= -3/2 -20证明要点：a= -(+b), b=b ,分析转化条件2|+b|4+b,|b|1-24 a9/4（消去y可得：）课前后备注
