1、1.3.1正弦函数的图象与性质(一)明目标、知重点1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦曲线.1.正弦函数图象的画法(1)几何法借助三角函数线；(2)描点法五点法.函数ysin x，x0,2的图象上起关键作用的点有以下五个：(0,0)，(，0)，(2，0).(3)利用五点法作函数yAsin x(A0)的图象时，选取的五个关键点依次是：(0,0)，(，0)，(2，0).2.正弦曲线的简单变换(1)函数ysin x的图象与ysin x的图象关于x轴对称；(2)函数ysin x与ysin xk图象间的关系：当k0时，把ys
2、in x的图象向上平移k个单位得到函数ysin xk的图象；当k0时，把ysin x的图象向下平移|k|个单位得到函数ysin xk的图象.情境导学遇到一个新函数，它总具有许多基本性质，要直观、全面了解基本特性，自然是从它的图象入手，画出它的图象，观察图象的形状，看看它有什么特殊点，并借助它的图象研究它的性质，如：值域、单调性、奇偶性、最值等.本节我们就学习正弦函数的图象.探究点一几何法作正弦曲线思考1在直角坐标系中，如何用正弦线比较精确地画出ysin x，x0,2内的图象？答作直角坐标系，并在直角坐标系y轴的左侧画单位圆，如图所示.把单位圆分成12等份(等份越多，画出的图象越精确).过单位圆
3、上的各分点作x轴的垂线，可以得到对应于0，2等角的正弦线.找横坐标：把x轴上从0到2(26.28)这一段分成12等份.找纵坐标：将正弦线对应平移，即可得到相应点的纵坐标.连线：用平滑的曲线将这些点依次从左到右连接起来，即得ysin x，x0,2的图象.思考2如何由ysin x，x0,2的图象得到ysin x，xR的图象？答因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数ysin x，x2k，2(k1)，kZ且k0的图象，与函数ysin x，x0,2)的图象的形状完全一致.于是我们只要将函数ysin x，x0,2)的图象向左、向右平行移动(每次2个单位长度)，就可以得到正弦函数ysin x，xR的图
4、象.探究点二五点法作正弦曲线思考1同学们观察， 在ysin x，x0,2的图象上，起关键作用的点有几个？答五个关键点(0,0)，(，0)，(2，0).思考2如何用描点法画出ysin x，x0,2的图象？答在精确度要求不太高时，ysin x，x0,2可以通过找出 (0,0)，(，0)，(2，0)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可得ysin x，x0,2的图象，这种方法简称“五点法”.小结描点法画正弦函数图象(ysin x)的关键：(1)列表时，自变量 x 的数值要适当选取在函数定义域内取值；由小到大的顺序取值；取的个数应分布均匀；应注意图形中的特殊点(如：端点，交点，顶点)；尽量取特殊
5、角.(2)描点连线时应注意：两坐标轴上的单位长度尽可能一致，以免改变图象的真实形状；变量x，y数值相差悬殊时，也允许采用不同长度单位；连线时一定要用光滑的曲线连接，防止画成折线.例1利用“五点法”作出函数y1sin x(0x2)的简图.解(1)取值列表：x02sin x010101sin x10121描点连线，如图所示.反思与感悟作正弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图.“五点”即ysin x的图象在0,2内的最高点、最低点和与x轴的交点.“五点法”是作简图的常用方法.跟踪训练1用“五点法”画出函数ysin x，x0,2的简图.解取值列表如下：x02sin x01010sin x描点、连线，
6、如图所示.探究点三正弦函数图象的应用例2求函数f(x)lg sin x的定义域.解由题意，得x满足不等式组即作出ysin x的图象，如图所示.结合图象可得：x4，)(0，).反思与感悟一些三角函数的定义域可以借助函数图象直观地观察得到，同时要注意区间端点的取舍.跟踪训练2求函数f(x)lg cos x的定义域.解由题意，x满足不等式组，即，作出ycos x的图象，如图所示.结合图象可得：x.例3在同一坐标系中，作函数ysin x和ylg x的图象，根据图象判断出方程sin xlg x的解的个数.解建立坐标系xOy，先用五点法画出函数ysin x，x0,2的图象，再依次向左、右连续平移2个单位，
7、得到ysin x的图象.描出点，(1,0)，(10,1)并用光滑曲线连接得到ylg x的图象，如图所示.由图象可知方程sin xlg x的解有3个.反思与感悟三角函数的图象是研究函数的重要工具，通过图象可较简便地解决问题，这正是数形结合思想方法的应用.跟踪训练3若方程sin x在x，上有两个实数解，求a的取值范围.解设y1sin x，x，y2.y1sin x，x，的图象如图.由图象可知，当1，即1a1时，ysin x，x，的图象与y的图象有两个交点，即方程sin x在x，上有两个实数解.1.方程2xsin x的解的个数为()A.1 B.2 C.3 D.无穷多答案D2.函数ysin x，x0，2
8、的图象与直线y的交点有 个.答案2解析如图所示.3.(1)已知f(x)的定义域为0,1)，求f(cos x)的定义域；(2)求函数ylg sin(cos x)的定义域.解(1)0cos x02kcos x2k(kZ).又1cos x1，0cos x1.故所求函数定义域为x(2k，2k)，kZ.4.利用“五点法”作出y1sin x (x0,2)的简图.解按五个关键点列表：x02sin x010101sin x10121描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图所示).呈重点、现规律1.正弦曲线在研究正弦函数的性质中有着非常重要的应用，是运用数形结合思想解决三角函数问题的基础.2.五点法是画三角函数图
9、象的基本方法，要熟练掌握，与五点法作图有关的问题是常考知识点之一.一、基础过关1.函数ysin x(xR)图象的一条对称轴是()A.x轴 B.y轴C.直线yx D.直线x答案D2.函数ysin x，x的简图是()答案D3.在同一坐标系中，函数ysin x，x0,2与ysin x，x2，4的图象()A.重合B.形状相同，位置不同C.关于y轴对称D.形状不同，位置相同答案B4.观察正弦函数的图象，以下四个命题：(1)关于原点对称；(2)关于x轴对称；(3)关于y轴对称；(4)有无数条对称轴.其中正确的是()A.(1)(2) B.(1)(3)C.(1)(4) D.(2)(3)答案C5.直线y与函数y
10、sin x，x0,2的交点坐标是 .答案(，)，(，)6.函数f(x)sin x|sin x|的值域是 .答案0,2解析f(x)图象如图所示：f(x)0,2.7.利用“五点法”画出函数y2sin x，x0,2的简图.解(1)取值列表如下：x02sin x01010y2sin x21232(2)描点连线，图象如图所示：二、能力提升8.函数yxsin x的部分图象是()答案A9.方程sin x的根的个数是()A.7 B.8C.9 D.10答案A解析在同一坐标系内画出y和ysin x的图象如图所示：根据图象可知方程有7个根.10.如果方程sin xa在x上有两个不同的解，则实数a的取值范围是 .答案
11、解析画出ysin x，x的图象，如图所示.当a1时，直线ya与ysin x，x交于两点，故a1.11.求函数y的定义域.解由题意得x满足不等式组，即，作出ysin x的图象，如图所示.结合图象可得x，0，5.12.根据ysin x，x，的图象，求满足sin x的x的取值范围.解将ysin x，x，和y的图象画在同一坐标系中，如图所示，观察在，内的情形，满足sin x的x的取值范围是，.三、探究与拓展13.函数f(x)sin x2|sin x|，x0,2的图象与直线yk有且仅有两个不同的交点，求k的取值范围.解f(x)sin x2|sin x|图象如图，若使f(x)的图象与直线yk有且仅有两个不同的交点，根据图可得k的取值范围是(1，3).
