1、第10章第三讲时间：60分钟满分：100分一、选择题(8540分) 1(2009浙江，4)在二项式(x2)5的展开式中，含x4的项的系数是()A10B10C5D5答案：B解析：Tr1Cx2(5r)(x1)r(1)rCx103r(r0,1，5)由103r4得r2.含x4的项为T3，其系数为C10，故选B.2(2009吉林长春一模)()6的展开式中常数项等于()A15 B15 C20 D20答案：A解析：通项Tr1C()6r()r(1)rCx，令63r0，得r2，所以常数项为：(1)2C15.3(2009北京，3)若(1)4ab(a，b为有理数)，则ab()A33 B29 C23 D19答案：B解
2、析：由二项式展开式定理可得(1)41CC()2C()3C()41412841712，a17，b12，ab29.故选B.4(2009江西，6)若CxCx2Cxn能被7整除，则x，n的值可能为()Ax4，n3 Bx4，n4Cx5，n4 Dx6，n5答案：C解析：CxCx2Cxn(1x)n1，代入验证选项可得C.5(2009陕西，6)若(12x)2009a0a1xa2009x2009，则的值为()A2 B0 C1 D2答案：C解析：由二项式展开式可得a01，C，C，C.(11)2009a01，故选C.6(2009河南调考)设(xb)8b0b1xb2x2b8x8，如果b5b86，则实数b的值为()A.
3、 B C2 D2答案：A解析：b5b8Cb3C6，b的值为，故选A.7(2009驻马店二模)已知(1x)(1x)2(1x)na0a1xa2x2anxn，若a1a2an1an30n，则自然数n等于()A6 B5 C4 D3答案：C解析：a0n，令x1，得a0a1a2an1an2n12，即2n12n30n,2n132n4.8定义kaiai1ai2an，其中i，nN，且in.若f(x)(1)kC(3x)kix2003i，则k的值为()A2 B0 C1 D2答案：D解析：f(x)1(3x)2003(x2)2003a0x2003a1x2002a2x2001a2003当x1时，a0a1a2a20031，又
4、a01，a1a2a20032.二、填空题(4520分)9(2009北京，11)若(x2)展开式的各项系数之和为32，则n_，其展开式中的常数项为_(用数字作答)答案：510解析：令x1得2n32，所以n5.由二项展开式得Tr1C(x2)5r(x3)rCx105r，令105r0得r2，所以常数项为T3C10.总结评述：本题考查二项式定理的相关知识，关键是学会用通项公式来解决10(2009全国，13)(xy)10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于_答案：240解析：T4Cx7y3，T8Cx3y7，则x7y3与x3y7的系数之和为2C240，故填240.11已知(1x)n的展开式中所
5、有项的系数的绝对值之和为32，则(1x)n的展开式中系数最小的项是_答案：10x3解析：(1x)n所有各项系数绝对值之和即为(1x)n所有各项系数之和，令x1得2n32，n5，因此(1x)5展开式中系数最小的项为第四项C(x)310x3.12已知n次二项式Pn(x)a0xna1xn1an1xan.如果在一种算法中，计算x(k2,3,4，n)的值需要k1次乘法，计算P3(x0)的值共需要9次运算(6次乘法，3次加法)，那么计算P10(x0)的值共需要_次运算；下面给出一种减少运算次数的算法：P0(x)a0，Pk1(x)xPk(x)ak1(k0,1,2，n1)利用该算法，计算P3(x0)的值共需要
6、6次运算，计算P10(x0)的值共需要_次运算答案：6520解析：计算P10(x0)需要乘法1098155次，加法10次，即65次运算P10x0x0P9(x0)a10共需运算6(103)220，即20次运算三、解答题(41040分)13(1)求(x2)9的展开式中的常数项；(2)已知()9的展开式中x3的系数为，求常数a的值；(3)求(x23x2)5的展开式中含x的项解析：(1)设第r1项为常数项，则Tr1C(x2)9r()r()rCx183r令183r0，得r6，即第7项为常数项T7()6C.常数项为.(2)设第r1项是含x3的项，则有C()9r()rx3，得：xr9xx3，故r93，即r8
7、.Ca()8，a4.(3)(x23x2)5(x1)5(x2)5，(x23x2)5的展开式中含x的项是(x1)5展开式中的一次项与(x2)5展开式中的常数项之积，(x1)5展开式中的常数项与(x2)5展开式中的一次项之积的代数和含x的项为CxC25C1Cx24240x.14已知n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列(1)证明展开式中没有常数项；(2)求展开式中所有有理项解析：依题意，前三项系数的绝对值是1，C，C2且2C1C2，即n29n80，所以n8(n1舍去)，所以Tr1C()8rrrCxx(1)rx(1)若Tr1为常数项，当且仅当0，即3r16，因为rZ，所以这不可能，所以展开式中
8、没有常数项(2)若Tr1为有理项，当且仅当为整数，因为0r8，rZ，所以r0,4,8，即展开式中的有理项共有三项，它们是：T1x4，T5x，T9x2.15若等差数列an，首项a1CA(mN*)，公差d是n展开式中的常数项，其中n为77775除以19的余数，求通项an.解析：且得m.又mN*则m2，a1CA100.77775(176)775(1C76C7677)576(CC76C7676)15.余数15，即n15.设通项Tr1C15rr(1)rC152rx15r.令r150，得r6.则dC3C，an100(n1)C.总结评述：本题体现了二项式定理在整除上的应用16若(x23x2)5a0a1xa2
9、x2a10x10.(1)求a2；(2)求a1a2a10；(3)求(a0a2a4a6a8a10)2(a1a3a5a7a9)2.解析：(1)方法一：(x23x2)5(x1)5(x2)5，(x1)5展开式的通项公式为C(1)rx5r(0r5)；(x2)5展开式的通项公式为C(2)sx5s(0s5)；所以(x23x2)5展开式的通项公式为CC(1)rs2sx10rs，令rs8，得或或，所以展开式中x2的系数为CC25CC24CC23800，即a2800.方法二：(x23x2)5的本质是5个x23x2相乘，由多项式的乘法法则，产生含x2的项有两种可能：5个x23x2中有一个取含x2的项，其它的取常数项，得到的系数是C2480；5个x23x2中有两个取x2的项，其它的取常数项，得到的系数是C(3)223720，展开式中含x2的项的系数是80720800，即a2800.(2)令f(x)(x23x2)5a0a1xa2x2a10x10，a0f(0)2532，a0a1a2a10f(1)0.a1a2a1032.(3)(a0a2a4a6a8a10)2(a1a3a5a7a9)2(a0a1a2a10)(a0a1a2a10)0.
