1、基础诊断考点突破课堂总结 最新考纲 1.了解数学归纳法的原理；2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题第3讲 数学归纳法及其应用 基础诊断考点突破课堂总结1数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取_时命题成立；(2)(归纳递推)假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当_时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立知 识 梳 理第一个值n0(n0N*)nk1基础诊断考点突破课堂总结2数学归纳法的框图表示基础诊断考点突破课堂总结1判断正误(请在括号中打“”或“”)精彩PPT展示(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是
2、验证当n1时结论成立()(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明()(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用()(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由nk到nk1时，项数都增加了一项()诊 断 自 测基础诊断考点突破课堂总结A1 B1aC1aa2D1aa2a3答案 C2用数学归纳法证明 1aa2an11an21a(a1，nN*)，在验证 n1 时，等式左边的项是()基础诊断考点突破课堂总结3用数学归纳法证明等式：123n2n4n22(nN*)，则从 nk 到 nk1 时，左边应添加的项为()Ak21B(k1)2C.（k1）4（k1）22D(k21)(k22)(k
3、23)(k1)2基础诊断考点突破课堂总结解析 nk时，等式左边123k2，nk1时，等式左边123k2(k21)(k22)(k1)2.比较上述两个式子，nk1时，等式的左边是在假设nk时等式成立的基础上，等式的左边加上了(k21)(k22)(k1)2.答案 D基础诊断考点突破课堂总结4用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”，当第二步假设n2k1(kN)命题为真时，进而需证n_时，命题亦真解析 因为n为正奇数，所以与2k1相邻的下一个奇数是2k1.答案 2k1基础诊断考点突破课堂总结答案 3 4 5 n15(人教 A 选修 22P94 例 2 改编)已知an满足 an1a2nn
4、an1，nN*，且 a12.则 a2_，a3_，a4_猜想 an_基础诊断考点突破课堂总结考点一 用数学归纳法证明等式【例1】用数学归纳法证明：124 146 16812n（2n2）n4（n1）(nN*)证明(1)当 n1 时，左边121（212）18，右边14（11）18，左边右边，所以等式成立基础诊断考点突破课堂总结(2)假设 nk(kN*)时等式成立，即有124 146 16812k（2k2）k4（k1），则当 nk1 时，124 146 16812k（2k2）12（k1）2（k1）2k4（k1）14（k1）（k2）k（k2）14（k1）（k2）（k1）24（k1）（k2）k14（k2）
5、k14（k11）.基础诊断考点突破课堂总结所以当nk1时，等式也成立，由(1)(2)可知，对于一切nN*等式都成立规律方法 用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式时，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由nk到nk1时等式的两边变化的项，然后正确写出归纳证明的步骤，使问题得以证明基础诊断考点突破课堂总结【训练1】求证：(n1)(n2)(nn)2n135(2n1)(nN*)证明(1)当n1时，等式左边2，右边2112，等式成立(2)假设当nk(kN*)时，等式成立，即(k1)(k2)(kk)2k135(2k1)当nk1时，左边(k2)(k
6、3)2k(2k1)(2k2)2(k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)22k135(2k1)(2k1)2k1135(2k1)(2k1)这就是说当nk1时，等式成立根据(1)(2)知，对nN*，原等式成立基础诊断考点突破课堂总结考点二 用数学归纳法证明不等式【例2】等比数列an的前n项和为Sn.已知对任意的nN*，点(n，Sn)均在函数ybxr(b0，且b1，b，r均为常数)的图象上(1)求r的值；(2)当b2时，记bn2(log2an1)(nN*)证明：对任意的nN*，不等式b11b1 b21b2 bn1bn n1成立基础诊断考点突破课堂总结(1)解 由题意，Snbnr，当 n2 时，Sn1
7、bn1r，所以 anSnSn1bn1(b1)，由于 b0，且 b1，所以 n2 时，an是以 b 为公比的等比数列，又 a1br，a2b(b1)，a2a1b，即b（b1）brb，解得 r1.(2)证明 由(1)知 an2n1，因此 bn2n(nN*)，所证不等式为212 414 2n12n n1.基础诊断考点突破课堂总结当 n1 时，左式32，右式 2，左式右式，所以结论成立假设 nk 时结论成立，即212 414 2k12k k1，则当nk1时，212 414 2k12k 2k32（k1）k1 2k32（k1）2k32 k1，要证当 nk1 时结论成立，只需证 2k32 k1 k2，基础诊断
8、考点突破课堂总结即证2k32（k1）（k2），由均值不等式可得2k32（k1）（k2）2（k1）（k2）成立，故 2k32 k1 k2成立，所以，当 nk1 时，结论成立由可知，nN*时，不等式b11b1 b21b2 bn1bn n1成立基础诊断考点突破课堂总结规律方法 用数学归纳法证明不等式的关键是由nk时命题成立证nk1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化基础诊断考点突破课堂总结【训练 2】用数学归纳法证明：对一切大于 1 的自然数 n，不等式113 115 112n1 2n12均成立证明
9、(1)当 n2 时，左边11343；右边 52.左边右边，不等式成立(2)假设 nk(k2，且 kN*)时不等式成立，即 113115 112k1 2k12.则当 nk1 时，基础诊断考点突破课堂总结113115112k1112（k1）1 2k122k22k1 2k22 2k1 4k28k42 2k1 4k28k32 2k1 2k3 2k12 2k1 2（k1）12.当 nk1 时，不等式也成立由(1)(2)知，对于一切大于 1 的自然数 n，不等式都成立基础诊断考点突破课堂总结考点三 归纳猜想证明(1)求a1，a2，a3，并猜想an的通项公式；(2)证明通项公式的正确性【例 3】已知数列an
10、的前 n 项和 Sn 满足：Snan2 1an1，且 an0，nN*.基础诊断考点突破课堂总结(1)解 当 n1 时，由已知得 a1a12 1a11，a212a120.a1 31(a10)当 n2 时，由已知得 a1a2a22 1a21，将 a1 31 代入并整理得 a222 3a220.a2 5 3(a20)同理可得 a3 7 5.猜想 an 2n1 2n1(nN*)基础诊断考点突破课堂总结(2)证明 由(1)知，当 n1，2，3 时，通项公式成立假设当 nk(k3，kN*)时，通项公式成立，即 ak 2k1 2k1.由于 ak1Sk1Skak12 1ak1ak2 1ak，将 ak 2k1
11、2k1代入上式，整理得a2k12 2k1ak120，ak1 2k3 2k1，即 nk1 时通项公式成立由可知对所有 nN*，an 2n1 2n1都成立基础诊断考点突破课堂总结规律方法“归纳猜想证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式，这种方法在解决探索性问题、存在性问题时起着重要作用，它的模式是先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理证明结论的正确性基础诊断考点突破课堂总结【训练3】设数列an的前n项和为Sn，且方程x2anxan0有一根为Sn1(nN*)(1)求a1，a2；(2)猜想数列Sn的通项公式，并给出证明解(1)当 n1 时，方程 x2a1xa10 有一根为 S11a1
12、1，(a11)2a1(a11)a10，解得 a112.当 n2 时，方程 x2a2xa20 有一根为 S21a1a21a212，基础诊断考点突破课堂总结a2122a2a212 a20，解得 a216.(2)由题意知(Sn1)2an(Sn1)an0，当 n2 时，anSnSn1，代入上式整理得SnSn12Sn10，解得 Sn12Sn1.由(1)得 S1a112，S2a1a2121623.猜想 Sn nn1(nN*)基础诊断考点突破课堂总结下面用数学归纳法证明这个结论当 n1 时，结论成立假设 nk(kN*，k1)时结论成立，即 Sk kk1，当 nk1 时，Sk112Sk12 kk1k1k2k1
13、（k1）1.即当 nk1 时结论成立由知 Sn nn1对任意的正整数 n 都成立基础诊断考点突破课堂总结思想方法1数学归纳法证明中的两个步骤体现了递推思想，第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，两个步骤缺一不可，否则就会导致错误有一无二，是不完全归纳法，结论不一定可靠；有二无一，第二步就失去了递推的基础2归纳假设的作用在用数学归纳法证明问题时，对于归纳假设要注意以下两点：基础诊断考点突破课堂总结(1)归纳假设就是已知条件；(2)在推证nk1时，必须用上归纳假设3利用归纳假设的技巧在推证nk1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设此时既要看准目标，又要掌握nk与nk1之间的关系在推证时，分析法、综合法、反证法等方法都可以应用基础诊断考点突破课堂总结易错防范1数学归纳法证题时初始值n0不一定是1.2推证nk1时一定要用上nk时的假设，否则不是数学归纳法3解“归纳猜想证明”题的关键是准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基础否则将会做大量无用功
