1、考点突破夯基释疑考点一考点三考点二例 1训练1例 2训练2例 3训练3第 2 讲 导数在研究函数中的应用 概要课堂小结结束放映返回目录第2页 判断正误(在括号内打“”或“”)(1)f(x)0是f(x)为增函数的充要条件()(2)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的()(3)函数的极大值不一定比极小值大()(4)对可导函数f(x)，f(x0)0是x0点为极值点的充要条件()夯基释疑结束放映返回目录第3页 考点突破所以曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线方程为x2y10.考点一 利用导数研究函数的单调性【例 1】(2014山东卷)设函数 f(x)aln xx1x1，其中 a 为常数(1)若 a
2、0，求曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)讨论函数 f(x)的单调性解(1)由题意知 a0 时，f(x)x1x1，x(0，)首先要确定函数的定义域此时 f(x)2(x1)2.可得 f(1)12，又f(1)0，利用导数研究结束放映返回目录第4页 考点突破考点一 利用导数研究函数的单调性【例 1】(2014山东卷)设函数 f(x)aln xx1x1，其中 a 为常数(1)若 a0，求曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)讨论函数 f(x)的单调性f(x)ax2（x1）2ax2（2a2）xax（x1）2.当 a12时，0，f(x)12(x1)2x(x1)2 0，(2
3、)函数f(x)的定义域为(0，)当a0时，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递增当a0时，令g(x)ax2(2a2)xa，由于(2a2)24a24(2a1)，函数f(x)在(0，)上单调递减结束放映返回目录第5页 考点突破考点一 利用导数研究函数的单调性【例 1】(2014山东卷)设函数 f(x)aln xx1x1，其中 a 为常数(1)若 a0，求曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)讨论函数 f(x)的单调性当 a12时，0，g(x)0，当12a0 时，0.设x1，x2(x1x2)是函数g(x)的两个零点，所以x(0，x1)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调
4、递减；f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递减则 x1（a1）2a1a，x2（a1）2a1a.由 x1a12a1a a22a12a1a0，结束放映返回目录第6页 考点突破考点一 利用导数研究函数的单调性【例 1】(2014山东卷)设函数 f(x)aln xx1x1，其中 a 为常数(1)若 a0，求曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)讨论函数 f(x)的单调性当 a12时，函数 f(x)在(0，)上单调递减；当12a0 时，f(x)在0，（a1）2a1a，x(x1，x2)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递增；x(x2，)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)
5、单调递减 综上可得：当a0时，函数f(x)在(0，)上单调递增；（a1）2a1a，上单调递减，在（a1）2a1a，（a1）2a1a上单调递增结束放映返回目录第7页 考点突破规律方法(1)利用导数研究函数单调性的关键在于准确判定导数的符号，当 f(x)含参数时，需要根据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论(2)若可导函数 f(x)在指定的区间 D 上单调递增（减），求参数范围问题，可转化为f(x)0（或f(x)0）恒成立问题，从而构建不等式，要注意“”是否可以取到 考点一 利用导数研究函数的单调性结束放映返回目录第8页 考点突破令f(x)0，得ex1或ex2，【训练 1】(2015嘉兴质检)已
6、知函数 f(x)ex21exax(aR)(1)当 a32时，求函数 f(x)的单调区间；(2)若函数 f(x)在1，1上为单调函数，求实数 a 的取值范围解(1)当 a32时，f(x)ex21ex32x，f(x)12ex(ex)23ex2考点一 利用导数研究函数的单调性 12ex(ex1)(ex2)，即x0或xln 2；令f(x)0，则x0或xln 2；令f(x)0，则0 xln 2.f(x)的递增区间是(，0)，(ln 2，)；递减区间是(0，ln 2)结束放映返回目录第9页 考点突破令ext，由于x1，1，【训练 1】(2015嘉兴质检)已知函数 f(x)ex21exax(aR)(1)当
7、a32时，求函数 f(x)的单调区间；(2)若函数 f(x)在1，1上为单调函数，求实数 a 的取值范围(2)f(x)ex21exa，t1e，e.考点一 利用导数研究函数的单调性令 h(t)t21tt1e，e，当 t1e，2 时，h(t)0，函数 h(t)为单调减函数；当 t(2，e时，h(t)0，函数 h(t)为单调增函数故 h(t)在1e，e 上的极小值点为 t 2.又 h(e)e21eh 1e 12ee，2h(t)e 12e.结束放映返回目录第10页 考点突破函数f(x)在1，1上为单调函数，【训练 1】(2015嘉兴质检)已知函数 f(x)ex21exax(aR)(1)当 a32时，求
8、函数 f(x)的单调区间；(2)若函数 f(x)在1，1上为单调函数，求实数 a 的取值范围则 at21t对 t1e，e 恒成立，则 at21t对 t1e，e恒成立，考点一 利用导数研究函数的单调性所以 a 2；所以 ae 12e，综上可得 a 的取值范围是(，2e 12e，.若函数f(x)在1，1上单调递增，若函数f(x)在1，1上单调递减，结束放映返回目录第11页 考点突破考点二 利用导数研究函数的极值【例 2】(2014重庆卷)已知函数 f(x)x4axln x32，其中 aR，且曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线 y12x.(1)求 a 的值；(2)求函数 f(x)的
9、单调区间与极值解(1)对 f(x)求导得 f(x)14 ax21x，由 f(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线 y12x，知 f(1)34a2，解得 a54.结束放映返回目录第12页 考点突破考点二 利用导数研究函数的极值(2)由(1)知 f(x)x4 54xln x32，则 f(x)x24x54x2.令f(x)0，解得x1或x5.因为x1不在f(x)的定义域(0，)内，故舍去 当x(0，5)时，f(x)0，故f(x)在(0，5)内为减函数；当x(5，)时，f(x)0，故f(x)在(5，)内为增函数 由此知函数f(x)在x5时取得极小值f(5)ln 5.【例 2】(2014重庆卷)已知函
10、数 f(x)x4axln x32，其中 aR，且曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线 y12x.(1)求 a 的值；(2)求函数 f(x)的单调区间与极值结束放映返回目录第13页 考点突破考点二 利用导数研究函数的极值规律方法(1)可导函数yf(x)在x0处取得极值的充要条件是f(x0)0，且在 x0 左侧与右侧f(x)的符号不同(2)若函数yf(x)在区间(a，b)内有极值，那么yf(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值结束放映返回目录第14页 考点突破解 由题得f(x)3ax24x1.(1)函数图象过(0，1)时，有f(0)c1.当a1时，f(x)
11、3x24x1.【训练 2】设函数 f(x)ax32x2xc(a0)(1)当 a1，且函数图象过(0，1)时，求函数的极小值；(2)若 f(x)在 R 上无极值点，求 a 的取值范围考点二 利用导数研究函数的极值令 f(x)0，解得 x13或 x1；令 f(x)0，解得13x1.所以函数在，13 和(1，)上单调递增；在13，1 上单调递减，故函数f(x)的极小值是f(1)13212111.结束放映返回目录第15页 考点突破(2)若f(x)在R上无极值点，则f(x)在R上是单调函数，即f(x)0或f(x)0恒成立 当a0时，f(x)4x1，显然不满足条件；当a0时，f(x)0或f(x)0恒成立的
12、充要条件是(4)243a10，【训练 2】设函数 f(x)ax32x2xc(a0)(1)当 a1，且函数图象过(0，1)时，求函数的极小值；(2)若 f(x)在 R 上无极值点，求 a 的取值范围考点二 利用导数研究函数的极值即 1612a0，解得 a43.综上，a 的取值范围是43，.结束放映返回目录第16页 考点突破考点三 利用导数研究函数的最值【例 3】(2014江西卷)已知函数 f(x)(4x24axa2)x，其中 a0.(1)当 a4 时，求 f(x)的单调递增区间；(2)若 f(x)在区间1，4上的最小值为 8，求 a 的值解(1)当 a4 时，由 f(x)2(5x2)(x2)x0
13、得 x25或 x2，由 f(x)0 得 x0，25 或 x(2，)，故函数 f(x)的单调递增区间为0，25 和(2，)结束放映返回目录第17页 考点突破考点三 利用导数研究函数的最值【例 3】(2014江西卷)已知函数 f(x)(4x24axa2)x，其中 a0.(1)当 a4 时，求 f(x)的单调递增区间；(2)若 f(x)在区间1，4上的最小值为 8，求 a 的值(2)f(x)(10 xa)(2xa)2 x，a0，由 f(x)0 得 x a10或 xa2.当 x0，a10 时，f(x)单调递增；当 x a10，a2 时，f(x)单调递减；当 xa2，时，f(x)单调递增易知 f(x)(
14、2xa)2 x0，且 f a2 0.深度思考 对于第(2)小问已知函数f(x)在某个闭区间上的最值，求参数值，一般解法你了解吗？(先求f(x)的最值再解方程求参数)结束放映返回目录第18页 考点突破考点三 利用导数研究函数的最值【例 3】(2014江西卷)已知函数 f(x)(4x24axa2)x，其中 a0.(1)当 a4 时，求 f(x)的单调递增区间；(2)若 f(x)在区间1，4上的最小值为 8，求 a 的值当a21，即2a0 时，f(x)在1，4上的最小值为 f(1)，由 f(1)44aa28，得 a2 22，均不符合题意当 1a24，即8a2 时，f(x)在1，4上的最小值为 fa2
15、 0，不符合题意当a24，即 a8 时，f(x)在1，4上的最小值可能在x1或x4处取得，结束放映返回目录第19页 考点突破考点三 利用导数研究函数的最值【例 3】(2014江西卷)已知函数 f(x)(4x24axa2)x，其中 a0.(1)当 a4 时，求 f(x)的单调递增区间；(2)若 f(x)在区间1，4上的最小值为 8，求 a 的值而f(1)8，由f(4)2(6416aa2)8得a10或a6(舍去)，当a10时，f(x)在(1，4)上单调递减，f(x)在1，4上的最小值为f(4)8，符合题意 综上，a10.接上一页 f(x)在1，4上的最小值可能在x1或x4处取得，结束放映返回目录第
16、20页 考点突破规律方法(1)求解函数的最值时，要先求函数yf(x)在a，b内所有使f(x)0的点，再计算函数yf(x)在区间内所有使f(x)0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得(2)已知函数的最值求参数，一般先求出最值，利用待定系数法求解 考点三 利用导数研究函数的最值结束放映返回目录第21页 考点突破解(1)f(x)ln x1，x0，【训练 3】已知函数 f(x)xln x.(1)求函数 f(x)的极值点；(2)设函数 g(x)f(x)a(x1)，其中 aR，求函数 g(x)在区间1，e上的最小值(其中 e 为自然对数的底数)由 f(x)0 得 x1e，所以 f(x)在区间0，1e 上
17、单调递减，考点三 利用导数研究函数的最值在区间1e，上单调递增所以，x1e是函数 f(x)的极小值点，极大值点不存在结束放映返回目录第22页 考点突破(2)g(x)xln xa(x1)，则g(x)ln x1a，由g(x)0，得xea1，所以，在区间(0，ea1)上，g(x)为递减函数，在区间(ea1，)上，g(x)为递增函数当ea11，即a1时，在区间1，e上，g(x)为递增函数，所以g(x)的最小值为g(1)0.考点三 利用导数研究函数的最值【训练 3】已知函数 f(x)xln x.(1)求函数 f(x)的极值点；(2)设函数 g(x)f(x)a(x1)，其中 aR，求函数 g(x)在区间1
18、，e上的最小值(其中 e 为自然对数的底数)结束放映返回目录第23页 考点突破当1ea1e，即1a2时，g(x)的最小值为g(ea1)aea1.当ea1e，即a2时，在区间1，e上，g(x)为递减函数，所以g(x)的最小值为g(e)aeae.综上，当a1时，g(x)的最小值为0；当1a2时，g(x)的最小值为aea1；当 a2时，g(x)的最小值为aeae.考点三 利用导数研究函数的最值【训练 3】已知函数 f(x)xln x.(1)求函数 f(x)的极值点；(2)设函数 g(x)f(x)a(x1)，其中 aR，求函数 g(x)在区间1，e上的最小值(其中 e 为自然对数的底数)结束放映返回目
19、录第24页 1利用导数研究函数的单调性、极值、最值可列表观察函数的变化情况，直观而且条理，减少失分2求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小3求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论一个函数在其定义域内最值是唯一的，可以在区间的端点取得思想方法课堂小结结束放映返回目录第25页 易错防范课堂小结1注意定义域优先的原则，求函数的单调区间和极值点必须在函数的定义域内进行 2解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好f(x)0时的情况；区分极值点和导数为0的点 3f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)内的任一非空子区间上f(x)0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解 结束放映返回目录第26页（见教辅）
