1、2020届高三模拟考试试卷数学 (满分160分，考试时间120分钟)20206参考公式：柱体的体积公式：V柱体Sh，其中S为柱体的底面积，h为高锥体的体积公式：V锥体Sh，其中S为锥体的底面积，h为高一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1. 已知集合A1，0，1，B0，2，则AB_2. 设复数z满足(3i)z，其中i为虚数单位，则z的模是_3. 如图是一个算法流程图，则输出k的值是_4. 某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为443.为了解学生对防震减灾知识的掌握情况，现采用分层抽样的方法抽取n名学生进行问卷检测若高一年级抽取了20名学生，则n的值是_5. 今年我国中医药选出
2、的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方若某医生从“三药三方”中随机选出2种，则恰好选出1药1方的概率是_6. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y24x的准线是双曲线1(a0)的左准线，则实数a的值是_7. 已知cos()，sin ，均为锐角，则sin 的值是_8. 公园里设置了一些石凳供游客休息，这些石凳是经过正方体各棱的中点截去8个一样的四面体得到的(如图)设石凳的体积为V1，正方体的体积为V2，则的值是_9. 已知x1，y1，xy10，则的最小值是_10. 已知等比数列a
3、n的前n项和为Sn.若4S2，S4，2S3成等差数列，且a2a32，则a6的值是_11. 海伦(Heron，约公元1世纪)是古希腊亚历山大时期的数学家，以他的名字命名的“海伦公式”是几何学中的著名公式，它给出了利用三角形的三边长a，b，c计算其面积的公式SABC，其中p.若a5，b6，c7，则借助“海伦公式”可求得ABC的内切圆的半径r的值是_12. 如图，ABC为等边三角形，分别延长BA，CB，AC到点D，E，F，使得ADBECF.若2，且DE，则的值是_13. 已知函数f(x)若函数g(x)f(x)f(x)有且仅有四个不同的零点，则实数k的取值范围是_14. 在平面直角坐标系xOy中，过点
4、P(2，6)作直线交圆O：x2y216于A，B两点， C(x0，y0)为弦AB的中点，则的取值范围是_二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15. (本小题满分14分)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若.(1) 求cos C的值；(2) 若AC，求sin B的值16. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，点D，E分别是A1B1，BC的中点求证：(1) 平面ACD平面BCC1B1；(2) B1E平面ACD.17. (本小题满分14分)某单位科技活动纪念章的结构如图所示，O是半径分别为1 cm，2
5、cm的两个同心圆的圆心，等腰三角形ABC的顶点A在外圆上，底边BC的两个端点都在内圆上，点O，A在直线BC的同侧若线段BC与劣弧 所围成的弓形面积为S1，OAB与OAC的面积之和为S2，设BOC2.(1) 当时，求S2S1的值；(2) 经研究发现当S2S1的值最大时，纪念章最美观，求当纪念章最美观时，cos 的值求导参考公式：(sin 2x)2cos 2x，(cos 2x)2sin 2x18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线交椭圆于M，N两点已知椭圆的短轴长为2，离心率为.(1) 求椭圆的标准方程；(2) 当
6、直线MN的斜率为 时，求F1MF1N的值；(3) 若以MN为直径的圆与x轴相交的右交点为P(t，0)，求实数t的取值范围19. (本小题满分16分)已知an是各项均为正数的无穷数列，数列bn满足bnanank(nN*)，其中常数k 为正整数(1) 设数列an前n项的积Tn2，当k2时，求数列bn的通项公式；(2) 若an是首项为1，公差d为整数的等差数列，且b2b14，求数列的前2 020 项的和；(3) 若bn是等比数列，且对于任意的nN*，anan2ka，其中k2，试问：an是等比数列吗？请证明你的结论20. (本小题满分16分)已知函数f(x)，g(x)，其中e是自然对数的底数(1) 若
7、函数f(x)的极大值为，求实数a的值；(2) 当ae时，若曲线yf(x)与yg(x)在xx0处的切线互相垂直，求x0的值；(3) 设函数h(x)g(x)f(x)，若h(x)0对任意的x(0，1)恒成立，求实数a的取值范围2020届高三模拟考试试卷数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A，B，C三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分若多做，则按作答的前两题计分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤A. (选修42：矩阵与变换)已知mR，是矩阵M的一个特征向量，求M的逆矩阵M1.B. (选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，圆C的方程为2rsin (r0
8、)以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为(t为参数)若直线l与圆C恒有公共点，求r的取值范围C. (选修45：不等式选讲)已知x1，y1，且xy4，求证：8.【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤22. 某“芝麻开门”娱乐活动中，共有5扇门，游戏者根据规则开门，并根据打开门的数量获取相应奖励已知开每扇门相互独立，且规则相同开每扇门的规则是：从给定的6把钥匙(其中有且只有1把钥匙能打开门)中，随机地逐把抽取钥匙进行试开，钥匙使用后不放回若门被打开，则转为开下一扇门；若连续4次未能打开，则放弃这扇门，转为开
9、下一扇门；直至5扇门都进行了试开，活动结束(1) 设随机变量X为试开第一扇门所用的钥匙数，求X的分布列及数学期望E(X)；(2) 求恰好成功打开4扇门的概率23. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，准线与x轴的交点为E.过点F的直线与抛物线相交于A，B两点，EA，EB分别与y轴相交于M，N两点当ABx轴时，EA2.(1) 求抛物线的方程；(2) 设EAB的面积为S1，EMN的面积为S2，求 的取值范围2020届高三模拟考试试卷(南通、扬州、泰州等七市)数学参考答案及评分标准1. 1，0，1，22. 13. 54. 555. 6. 7. 8. 9. 910.
10、 3211. 12. 13. (27，)14. ，)15. 解：(1) 在ABC中，因为，所以由正弦定理，得5(bc)(cb)a(5a8b)，即a2b2c2ab，(4分)所以由余弦定理得cos C.(7分)(2) 因为cos C，C(0，)，所以sin C，(9分)所以sin 2C2sin Ccos C.(12分)因为AC，所以sin Bsin(AC)sin(AC)sin 2C.(14分)注：(1) 正弦定理与，写一个不扣分，两者都不写，扣2分；余弦定理同样；(2) 只要有sin Bsin(AC)，就不扣分，否则扣2分16. 证明：(1) 在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面ABC.因为
11、AC平面ABC，所以CC1AC.(2分)因为ACBC，BCCC1C，BC，CC1平面BCC1B1，所以AC平面BCC1B1.(4分)因为AC平面ACD，所以平面ACD平面BCC1B1.(6分)(2) (证法1)取AC的中点F，连结DF，EF.因为在ABC中，点E是BC的中点，点F是AC的中点，所以EFAB，且EFAB.(8分)因为点D是A1B1的中点，所以B1DA1B1.因为在棱柱ABCA1B1C1中，ABA1B1，且ABA1B1，所以EFDB1，且EFDB1，(10分)所以四边形EFDB1是平行四边形，所以B1EFD.(12分)因为B1E平面ADC，FD平面ADC，所以B1E平面ACD.(1
12、4分)(证法2)取AB的中点G，连结EG，B1G.因为在ABC中，点E是BC的中点，点G是AB的中点，所以EGAC.因为GE平面ACD，AC平面ACD，所以EG平面ACD.(8分)在棱柱ABCA1B1C1中，ABA1B1，且ABA1B1.因为点D是A1B1的中点，点G是AB的中点，所以AGDB1，且AGDB1，所以四边形AGB1D是平行四边形，所以B1GAD.因为B1G平面ACD，AC平面ACD，所以B1G平面ACD.(10分)因为EG平面ACD，BG，GE平面B1GE，B1GGEG，所以平面B1GE平面ACD.(12分)因为B1E平面B1GE，所以B1E平面ACD.(14分)注：少一个条件2
13、分全扣；(1)中没有“在直三棱柱ABCA1B1C1中”全扣17. 解：过点O作ODBC于点D，则点D为BC的中点又ABC为等腰三角形，所以A，O，D三点共线，所以AOBAOC.所以S121212sin 2sin 2，(2分)S2212sin()2sin ，(0，)(4分)注：只要有S1结果的就给2分；同样，只要有S2结果的就给2分(1) 当时，S2S12sin (sin 2)2sin (sin ).答：当时，S2S1的值为()cm2.(6分)(2) 设f()S2S12sin sin 2，(0，)，所以f()2cos 1cos 22(cos2cos 1)(8分)令f()0，得cos ，cos (
14、舍去)，记cos 0，002，所以(x1t，y1)，(x2t，y2)因为点P在以MN为直径的圆上，所以，所以(x1t)(x2t)y1y20，所以x1x2t(x1x2)t2y1y20.(10分)当直线MN倾斜角为0时，N(，0)，M(，0)，所以t.当直线MN倾斜角不为0时，设直线MN的方程为xmy2.由消去x，得(m23)y24my20，所以所以x1x2(my12)(my22)m2y1y22m(y1y2)4，x1x2m(y1y2)4.(12分)所以(m21)y1y2(2mtm)(y1y2)44tt20，所以m20，(14分)解得t2或t2(舍去)综合得，实数t的取值范围是，2(16分)19.
15、解：(1) n2时，an2n1，n1时，a1T11，符合上式(没有验证的，扣1分)，(2分)所以an2n1，nN*，所以bnanan24n，所以数列bn的通项公式为bn4n.(3分)(2) 因为b1a1a1k1kd，b2a2a2k(1d)1(k1)d，b2b14，所以4b2b1(k1)d22dd(k1)d2因为kN*，d0，且dZ，所以d0.由bnanank，bnkankan2k，得qk.因为anan2ka，所以，即()2qk，所以q(正常数)(12分)由bnanank，bn1an1ank1，得q(*)(14分)因为q，所以，将代入(*)式，得()2q，即q(正常数)，所以an为公比为q的等比
16、数列(16分)20. 解：(1) 因为f(x)，则f(x)，(1分)令f(x)0，得xe.因为a0，列表如下：x(0，e)e(e，)f(x)0f(x)极大值所以f(x)极大值f(e)，所以a1.(3分)(2) 当ae时，f(x)，则f(x)，g(x)，则g(x).曲线yf(x)与yg(x)在xx0处的切线互相垂直，所以f(x0)g(x0)1，即1，(5分)整理得x0ex0eln x0e0.设r(x)xexeln xe，则r(x)(x1)ex.因为x0，所以r(x)0，所以r(x)xexeln xe在(0，)上单调递增(7分)因为r(1)0，且r(x0)0，所以x01.(8分)(3) h(x)，
17、设m(x)exex，则m(x)exe.令m(x)0，得x1.列表如下：x(，1)1(1，)m(x)0m(x)极小值所以m(x)最小值m(1)0.所以exex，所以ln exln ex，即x1ln x，即ln xx1.(10分)注：主要出现上面一行内容，就给2分 a时，ln a1.因为0x1，所以ln x0.h(x)h(1)0.(14分)当0a时，h(1)0，ln a1，所以h(a)ln a0.又h(x)在(0，1)上图象不间断，所以存在t(0，1)，使h(t)0，不合题意综上，a的取值范围是，)(16分)2020届高三模拟考试试卷(二十)(南通、扬州、泰州等七市)数学附加题参考答案及评分标准2
18、1. A. 解：设是矩阵M的一个特征向量，所以存在非零实数，使得M，所以，即解得，则M.(5分)设M1，则MM1E，即，所以解得a，b，c，d，所以M1.(10分)B. 解：将直线l的参数方程为(t为参数)化为普通方程为xy20.(3分)由2rsin (r0)，得22rsin ，所以圆C的直角坐标方程为x2(yr)2r2.(6分)因为直线l与圆C恒有公共点，所以r，解得r2.所以实数r的取值范围是2，)(10分)C. 证明：因为x1，y1，且xy4，由柯西不等式得()(x1)(y1)()2(xy)216，(8分)即()216，所以8.(10分)22. 解：(1) X的可能取值为1，2，3，4，
19、P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4)，(每个1分)所以X的分布列为X1234P所以随机变量X的数学期望E(X)12343.(5分)(2) (解法1)记成功打开1扇门的事件为A，则P(A).(8分)记恰好成功打开4扇门的事件为B，则P(B)C()4().答：恰好成功打开4扇门的概率为.(10分)(解法2)记成功打开1扇门的事件为A，则P(A)1.(8分)记恰好成功打开4扇门的事件为B，则P(B)C()4().答：恰好成功打开4扇门的概率为.(答案不写扣1分)(10分)23. 解：(1) 当ABx轴时，AFp，EFp，所以EAp2，即p，所以抛物线的方程为y22x.(2分)(2) 设直线AB的方程为xmy，由得y22my20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1y22m，y1y22，则直线AE的方程为y(x)令x0，得yM，同理yN，(4分)所以|yMyN|，(6分)其中m2y1y2m(y1y2)2|2m24m22|2m22，则 4m244，因此的取值范围是4，)(10分)16
