1、9.3.2 向量坐标表示与运算第1课时 向量坐标表示及线性运算坐标表示课程标准1.借助平面直角坐标系,掌握平面向量的坐标表示2.会用坐标表示平面向量的线性运算基础认知自主学习【概念认知】1平面向量的坐标表示 建系选底在平面直角坐标系中,设与x轴,y轴方向相同的两个_分别为i,j作为基底线性表示对于平面内的任意一个向量a,有且只有一对实数x,y,使得a_单位向量xiyj定义坐标有序数对(x,y)叫作向量a的坐标,记作_,其中x叫作a在x轴上的坐标,y叫作a在y轴上的坐标叫作向量a的坐标表示特例i_,j_,0_a(x,y)1,0 0,1 (0,0)2.向量线性运算的坐标表示条件a(x1,y1),b
2、(x2,y2)结论ab_;ab_;a(x1,y1)(x1x2,y1y2)(x1x2,y1y2)3.向量坐标与点的坐标的联系(1)条件:O(0,0),A(x1,y1),B(x2,y2),(2)结论:OA _,OB _,AB _(3)语言表述:以原点为起点的向量的坐标等于其终点坐标;一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的_的坐标减去_的坐标(x1,y1)(x2,y2)(x2x1,y2y1)终点起点【自我小测】1设点A(1,2),B(3,5),将向量AB 按向量a(1,1)平移后得到AB 为()A(1,2)B(2,3)C(3,4)D(4,7)【解析】选B.因为A(1,2),B(3,5),所以AB(
3、2,3),将向量AB 按向量a(1,1)平移得到AB,知AB 与AB 的方向相同,大小也相等,只是位置不同,于是AB AB(2,3).2在平面直角坐标系内,设与x轴,y轴方向相同的两个单位向量分别为i,j,若a2ij,则此向量用坐标表示a_.【解析】由于i,j是两个互相垂直的单位向量,所以a(2,1).答案:(2,1)3(2021潍坊高一检测)在平面直角坐标系中,点A(2,3),B(3,4),如图所示,x轴,y轴正方向上的两个单位向量分别为i和j,则下列说法正确的是_(只填序号).OA 2i3j;OB 3i4j;AB 5ij;BA 5ij.【解析】i,j互相垂直,故可作为基底,由平面向量基本定
4、理,有OA 2i3j,OB 3i4j,AB OB OA 5ij,BA OA OB 5ij,故正确答案:4在下列各题中,已知向量a,b的坐标,分别求ba,ba的坐标:(1)a(3,5),b(2,1);(2)a(1,6),b(6,5).【解析】(1)ba(2,1)(3,5)(23,15)(1,6).ba(2,1)(3,5)(23,15)(5,4).(2)ba(6,5)(1,6)(61,56)(5,1).ba(6,5)(1,6)(61,5(6)(7,11).学情诊断课时测评【基础全面练】一、单选题1已知ab(2,8),ab(8,16),则a()A(3,4)B(5,12)C(1,4)D(4,8)【解析
5、】选A.联立ab(2,8),ab(8,16).得2a(2,8)(8,16)(6,8),所以a(3,4).2已知A(1,1),B(2,2),O是坐标原点,则OA AB()A(1,3)B(3,1)C(1,1)D(2,2)【解析】选D.因为B(2,2),O是坐标原点;所以OA AB OB(2,2).3在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,AB(2,4),AC(1,3),则DA()A(2,4)B(3,5)C(1,1)D(1,1)【解析】选C.DA AD BC(AC AB)(1,1).二、填空题4如图,正方形ABCD中,O为中心,且OA(1,1),试用基底向量i,j表示下列向量:OB _,OC _,
6、AB _,AC _【解析】如题图所示,OA(1,1)ij,所以OE i,EA j.所以OF OE i,FB EA j,FC FB j.所以OB OF FB ij;OC OF FC ij;AB OB OA ij(ij)2i.同理,BC OC OB ij(ij)2j,AC AB BC 2i(2j)2i2j.答案:ij ij 2i 2i2j5在平面直角坐标系xOy中,四边形ABCD的边ABDC,ADBC.已知点A(2,0),B(6,8),C(8,6),则D点的坐标为_【解析】方法一:由题意知,四边形ABCD是平行四边形,所以AB DC,设D(x,y),则(6,8)(2,0)(8,6)(x,y),所以
7、x0,y2,即D(0,2).方法二:由题意知,四边形ABCD为平行四边形,所以AB DC,即OB OA OC OD,所以OD OA OC OB(2,0)(8,6)(6,8)(0,2),即D点的坐标为(0,2).答案:(0,2)三、解答题6.已知边长为2的正三角形ABC,顶点A在坐标原点,AB边在x轴上,C在第一象限,D为AC的中点,分别求向量AB,AC,BC,BD 的坐标【解析】正三角形ABC的边长为2,则顶点A(0,0),B(2,0),C(2cos 60,2sin 60),所以C(1,3),D12,32,所以AB(2,0),AC(1,3),BC(12,3 0)(1,3),BD 122,32
8、0 32,32.【加固训练】如图,取与x轴、y轴同向的两个单位向量i,j作为基底,分别用i,j表示OA,OB,AB,并求出它们的坐标【解析】由题图可知,OA 6i2j,OB 2i4j,AB 4i2j,它们的坐标表示为OA(6,2),OB(2,4),AB(4,2).【综合突破练】一、选择题1已知平行四边形ABCD的三个顶点A,B,C的坐标分别是(2,1),(1,3),(3,4),则向量BD 的坐标是()A(2,2)B(3,1)C(3,1)D(4,2)【解析】选B.因为平行四边形ABCD的三个顶点A,B,C的坐标分别是(2,1),(1,3),(3,4),所以BA(2,1)(1,3)(1,2),AD
9、 BC(3,4)(1,3)(4,1).所以BD BA AD(1,2)(4,1)(3,1).2已知M(2,1),N(0,5),且点P在MN的延长线上,|MP|2|PN|,则P点坐标为()A(2,11)B43,3C23,3D(2,12)【解析】选A.因为P在MN的延长线上且|MP|2|PN|,所以MP 2NP,则OP OM 2(OP ON),所以OP 2ON OM 2(0,5)(2,1),即OP(2,11).3(多选)已知向量i(1,0),j(0,1),对坐标平面内的任意一向量a,下列结论中正确的是()A存在唯一的一对实数x,y,使得a(x,y)B若x1,x2,y1,y2R,a(x1,y1)(x2
10、,y2),则x1x2,且y1y2C若x,yR,a(x,y),且a0,则a的起点是原点OD若x,yR,a的起点坐标是(1,1),且a的终点坐标是(x,y),则a(x1,y1)【解析】选AD.由平面向量基本定理知A正确;若a(1,0)(1,3),但11,故B错误;因为向量可以平移,所以a(x,y)与a的起点是不是原点无关,故C错误;根据向量坐标的计算方法可知D正确二、填空题4已知点A(1,1),B(1,3),C(x,5),若对于平面上任意一点O,都有OC OA(1)OB,R,则x_;若D(0,y),且AB CD,则x,y的值分别为_【解析】取O(0,0),由OC OA(1)OB 得,(x,5)(1
11、,1)(1)(1,3),所以x(1),53(1).解得12,x2.AB(2,4),CD(x,y5),因为AB CD,所以2x4y5,所以x2,y9.答案:2 2,95已知与x轴,y轴方向相同的两个单位向量分别为i,j,若AB 4i3j,BC i6j,O为坐标原点,向量OM 与AC 互为相反向量,则点M的坐标为_【解析】因为AB 4i3j,BC i6j,所以AB 4,3,BC 1,6,所以AC AB BC 4,3 1,6 3,3,又因为向量OM 与AC 互为相反向量,所以OM AC 3,3,所以点M的坐标为3,3.答案:3,3三、解答题6在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),(1)若OP AB AC,求点P的坐标;(2)若PA PB PC 0,求OP 的坐标【解析】(1)因为AB(1,2),AC(2,1),所以OP(1,2)(2,1)(3,3),即点P的坐标为(3,3).(2)设点P的坐标为(x,y),因为PA PB PC 0,又PA PB PC(1x,1y)(2x,3y)(3x,2y)(63x,63y).所以63x0,63y0,解得x2,y2,所以点P的坐标为(2,2),故OP(2,2).