1、22.3 实际问题与二次函数（3） 二次函数与建模问题（杜星兰）一、教学目标（一）学习目标1.初步让学生学会用二次函数知识解决实际问题；2.建立适当的直角坐标系，在问题转化，建摸的过程中，发展合情推理，体会；3.利用抛物线解析式求出与问题相关的点的坐标，从而使问题获解；4.通过实际问题，体验数学在生活实际的广泛运用.（二）学习重点建立适当的直角坐标系，在问题转化，建摸的过程中，发展合情推理，体会；利用抛物线解析式求出与问题相关的点的坐标，从而使问题获解.（三）学习难点建立适当的直角坐标系，建立二次函数数学模型二、教学设计（一）课前设计预习任务1. 二次函数的图象是一条抛物线,对称轴是_y轴_,
2、顶点坐标是_（0,0）,当_0时，开口向上.2. 抛物线的顶点坐标是（0,0）,对称轴是y轴_,开口向上;抛物线的顶点坐标是（0,0）,对称轴是y轴,开口向下.3. 已知抛物线的顶点坐标是（-1，-5），与y轴的交点坐标是（0， 5），则这条抛物线的解析式是 预习自测1二次函数与y轴的交点坐标为_，与x轴的交点坐标为_.【知识点】求二次函数与两轴的交点【解题过程】解：因为，所以令，解得.故与x轴的交点为；与y轴交点【思路点拨】求二次函数与x轴的交点，即令y=0即可；其与x轴交点即为；求二次函数与y轴的交点，即令x=0即可；其与x轴交点即为【答案】；【设计意图】复习任意一个二次函数的一般式与两轴
3、的交点,为解决实际问题准备计算工具.2已知二次函数，当时，的取值范围为_；当时，的取值范围为_；当时，的取值范围为_.【知识点】求区间最值【思路点拨】由上面可知对称轴是，需要判断区间和对称轴的位置关系，结合图象判断.【解题过程】解：开口向上，对称轴是当，可知当时，当时，当，可知此时对称轴在区间的右侧，此时此随x的增大而减小，因此当，.所以当时，当，可知此时对称轴在区间的左侧，此时此随x的增大而增大，因此当，.所以当时，.【答案】；【设计意图】复习给定区间求最值，有时区间包含对称轴，有时区间不包含对称轴, 从学生已有的知识储备出发，为解决实际问题准备计算工具. 3.教练对小明推铅球的录像进行技术
4、分析，发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为-3，由此可知铅球推出的距离是_m.【知识点】抛物线的实际应用【思路点拨】要求铅球推出的距离实际是求当y0时x的值，【解题过程】令，解得【答案】10【设计意图】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题4.隧道的截面是抛物线，且抛物线的解析式为,一辆车高3 m,宽4 m，该车_(填“能”或“不能”)通过该隧道.【知识点】通过函数值来求自变量的取值范围【解题过程】在中令，解得，因为，因此不能通过.【思路点拨】结合实际问题，把代入解析式计算对应的自变量，两个自变量之间的距离和4比较即可.【答案】不
5、能【设计意图】设计具有一定的挑战性目的是激发学生的探究欲望教师引导学生将实际问题转化成数学问题.（二）课堂设计1.知识回顾（1）利用已知点的坐标，求出抛物线的解析式：当已知三个点的坐标时，可用一般式y=ax2+bx+c求其解析式；当已知顶点坐标为(k，h)和另外一点的坐标时，可用顶点式求其解析式；当已知抛物线与x轴的两个交点坐标分别为、(时，可用交点式求其解析式；（2）对于任意一个二次函数的一般式，可以利用配方把它化为顶点式，进而写出顶点坐标和对称轴；（3）求二次函数与x轴的交点，即令y=0即可；其与x轴交点即为；求二次函数与y轴的交点，即令x=0即可；其与y轴交点即为；（4）将二次函数的一般
6、式转化成顶点式来求二次函数最值.2.问题探究探究一 利用二次函数解决抛物线形拱桥问题（）活动1 情景导入明确目标师问：现实生活中你一定见过各式各样的抛物线形拱桥吧？学生回答：见过.教师ppt展示： 教师引导：生活中有很多各种各样美丽、实用的桥梁，它们无不给我们以抛物线的形象感受，我们在本节课就来主要研究与桥有关的抛物线问题.活动2 自学互研生成能力阅读教材P51探究3，完成下列填空：1. 以拱桥的顶点为原点，以经过该点的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系时，可设这条抛物线的关系式为_生答：2一座拱桥为抛物线形，其函数解析式为_，当水位线在AB位置时，水面宽4 m，这时水面离桥顶的高度为_m；当桥拱
7、顶点到水面距离为2 m时，水面宽为_m，A点坐标为_，B点坐标为_，则函数解析式为_生答：；2；4；师问：如何根据图建立平面直角坐标系？不同的建立方式，求得抛物线解析式是否一样？各小组分别建立不同的平面直角坐标系求解后展示根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键【设计意图】本题中建立平面直角坐标系的方法有多种，但以抛物线的顶点为原点建立平面直角坐标系的方法较为简单， A点坐标为（-2，-2）代入解析式即可计算出横坐标老师带领学生提问总结：用二次函数知识解决抛物线形建筑问题的一般步骤是怎样的？生答：首先是审题，弄清已知和未知，再建立适当的平面直角坐标系后，合理的设出二次函数的解析
8、式并求解出解析式，最后利用解析式求解得出实际问题的答案（教师随时引导）探究二 建立二次函数模型，解决其它实际问题例、小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分，如图所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L是多少？【知识点】实际问题与函数关系投球问题【数学思想】数形结合【思路点拨】将y=3.05代入可得出x的值，继而得出L【解题过程】解：当y=3.05时，+3.5=3.05，解得：所以L=3+1.5=4.5【答案】4.5m【设计意图】本题考查了二次函数的应用，涉及了将实际问题转化为数学模型，难度一般探究三 利用二次函数解决实际问题的训练活动 基础性例题例1如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m
9、时，水面宽4m，则水面下降1m时，水面宽度增加（）A1m B2m C（24）m D（2）m【知识点】利用二次函数解决拱桥问题【数学思想】数形结合【解题过程】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点.抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（2，0），代入到抛物线解析式得出：a=0.5，所以抛物线解析式为y=0.5x2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也
10、就是直线y=1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=1代入抛物线解析式得出：1=0.5x2+2，解得：x=，所以水面宽度增加到2米，比原先的宽度当然是增加了（24）米【思路点拨】建立适当的平面直角坐标系,根据题意找出已知点的坐标；求出抛物线解析式，直接利用二次函数的性质和图象解决实际问题【答案】C【设计意图】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键练习.有一抛物线形拱桥，其最大高度为16米，跨度为40米，把它的示意图放在如图所示的坐标系中，则抛物线的函数关系式为_ 【知识点】建立坐标系，根据图象利用交点式求二次函数解析式【数学思想】数形结合【
11、思路点拨】由图象可先设出二次函数的解析式，然后带值计算【解题过程】因为抛物线过点（0，0）和（40，0），y=ax（x-40）又函数过点（20，16）代入得20a（20-40）=16，解得抛物线的解析式为【答案】【设计意图】建立适当的平面直角坐标系,根据题意找出已知点的坐标；求出抛物线解析式；直接利用二次函数的性质和图象解决实际问题例2.如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20米，如果水位上升3米，则水面CD的宽是10米（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2）当水位在正常水位时，有一艘宽为6米的货船经过这里，船舱上有高出水面3.6米的长方体货物（货物与货船同宽
12、）问：此船能否顺利通过这座拱桥？【知识点】利用二次函数解决拱桥问题【数学思想】数形结合【思路点拨】（1）以拱桥最顶端为原点，建立直角坐标系，根据题目中所给的数据写出函数解析式（2）先求x=3米时y的值，用拱桥最大高度减去y，然后与3.6相比较即可得出答案【解题过程】（1）设抛物线解析式为y=ax2，因为抛物线关于y轴对称，AB=20，所以点B的横坐标为10，设点B（10，n），点D（5，n+3），n=10a=100a，n+3=5a=25a，即，解得，（2）货轮经过拱桥时的横坐标为x=3，当x=3时，（4）3.6在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥【答案】（1）（2）此船能顺利通过这座拱桥【设计
13、意图】此题考查了坐标系的建立，以及抛物线的性质与求值练习.如图，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB时宽20 m，水位上升3 m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10 m. (1)建立如图的坐标系，求抛物线的函数解析式； (2)若洪水到来时水位以0.2 m/h的速度上升，从正常水位开始，再过几小时就能到达桥面？【知识点】求二次函数解析式，利用二次函数解决拱桥问题.【数学思想】数形结合【思路点拨】根据题目的已知条件设出二次函数的解析式，进而进行求解.【解题过程】解：(1)由题意知点D的横坐标为5，点B的横坐标为10，EF3，设OEh，则OFh3，则点B(10，h)，D(5，3h)设抛物线的函数
14、解析式为y=ax2，则解得抛物线的函数解析式为yx2(2) B(10，4)，拱桥顶O到CD的距离为4，小时所以再过20 h就能到达桥面【答案】（1）（2）再过20h能到达桥面【设计意图】此题考查了坐标系的建立，以及抛物线的性质与求值活动2 提升型例题例3在一次羽毛球赛中，甲运动员在离地面米的P点处发球，球的运动轨迹PAN看作一个抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，其高度为3米，离甲运动员站立地点O的水平距离为5米，球网BC离点O的水平距离为6米，以点O为原点建立如图所示的坐标系，乙运动员站立地点M的坐标为（m，0）（1）求抛物线的解析式（不要求写自变量的取值范围）；（2）求羽毛球落地点N离球
15、网的水平距离（即NC的长）；（3）乙原地起跳后可接球的最大高度为2.4米，若乙因为接球高度不够而失球，求m的取值范围【知识点】实际问题与函数关系投球问题【数学思想】数形结合【思路点拨】（1）设抛物线解析式为y=a（x5）2+3，将点（0，）代入可得出a的值，继而得出抛物线解析式；（2）令y=0，可得出ON的长度，由NC=ONOC即可得出答案（3）先计算出刚好接到球时m的值，从而结合所给图形可得出运动员接球高度不够m的取值范围【解题过程】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x5）2+3，将点（0，）代入可得：=a（05）2+3，解得：a=，故抛物线的解析式为：y=（x5）2+3（2）当y=0时，（
16、x5）2+3=0，解得：x1=53（舍去），x2=5+3，即ON=5+3，OC=6，CN=31米（3）若运动员乙原地起跳到最大高度时刚好接到球，此时（m5）2+3=2.4，解得：m1=2，m2=8，运动员接球高度不够，2m8，OC=6，乙运动员接球时不能触网（接不到），m的取值范围为：6m8【答案】（1）y=（x5）2+3；（2）CN=31；（3）6m8.【设计意图】本题考查了二次函数的应用，涉及了利用待定系数法求二次函数解析式的知识，解答本题的关键是建立直角坐标系，将实际问题转化为数学模型，难度一般练习. 火箭被竖直向上发射时，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用公式表示经过_s，火箭
17、达到它的最高点【知识点】利用二次函数解决火箭发射的问题【数学思想】数形结合【思路点拨】可以把题目所给的一般式化为顶点式直接求解；【解题过程】解：配方可得因此当t=15秒时火箭达到最高点.【答案】15【设计意图】本题考查了二次函数的应用，涉及了将一个二次函数的一般式转化为顶点式，将实际问题转化为数学模型，难度一般例4某桥的部分横截面如图所示，上方可看作是一个经过A、C、B三点的抛物线，以桥面的水平线为x轴，经过抛物线的顶点C与x轴垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系已知此桥垂直于桥面的相邻两柱之间距离为2m（图中用线段AD、CO、BE等表示桥柱），CO=1m，FG=2m（1）求经过A、B、C三点
18、的抛物线相应的二次函数关系式；（2）求柱子AD的高度 【知识点】利用图象求函数解析式，已知自变量x的值求函数值y【数学思想】数形结合【思路点拨】可以把题目所给的一般式化为顶点式直接求解；【解题过程】解：(1)由题意可知：点C坐标为(0，1)，点F坐标为(4，2)，设抛物线解析式为yax2c，把这两个点代入函数解析式可以解得抛物线解析式yx21.(2)因为点A的横坐标为8，当x=8时，y5.所以柱子AD的高度为5米【答案】(1) yx21；(2) 柱子AD的高度为5米【设计意图】本题考查了求二次函数的解析式，需要设出适当的表达式，然后把线段的长度转化为点的坐标，再代入到解析式，进而求出二次函数的
19、解析式.将实际问题转化为数学模型难度一般练习.某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，求校门的高(精确到0.1米，水泥建筑物厚度忽略不计)【知识点】建立坐标系，求二次函数解析式【数学思想】数形结合【思路点拨】先建立坐标系，然后根据线段的长度写出点的坐标，再设出函数的解析式，利用点的坐标求出解析式【解题过程】解：以大门的地面为x轴，大门的正中间为y轴建立直角坐标系，由题意可知抛物线过(4，0)，(4，0)，(3，4)三点抛物线关于y轴对称，可设解析式为yax2c，则解得解析式为yx2，顶点坐标为(0，)，则校
20、门的高为9.1(米)【答案】9.1米【设计意图】本题考查了求二次函数的解析式，需要设出适当的表达式，然后把线段的长度转化为点的坐标，再代入到解析式，进而求出二次函数的解析式.将实际问题转化为数学模型难度一般活动3 探究型例题例5如图1，三孔桥截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同正常水位时，大孔水面宽度AB20米，顶点M距水面6米(即MO6米)，小孔顶点N距水面4.5米(NC4.5米)当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图2中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF.图1图2【知识点】求二次函数解析式，【数学思想】数形结合【思路点拨】根据线段的长度写出相关点的坐标，再设出函数的解析式，把点的
21、坐标代入解析式求出解析式，可以算出EF的宽度.【解题过程】解：设大孔对应的抛物线所对应的函数关系式为依题意，得B(10，0)a1060.解得a0.06.即当y4.5时，解得DF5，EF10.即水面宽度为10米 【答案】水面宽度为10米【设计意图】本题考查了求二次函数的解析式，需要设出适当的表达式，然后把线段的长度转化为点的坐标，再代入到解析式，进而求出二次函数的解析式.将实际问题转化为数学模型难度一般练习.某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图所示（1）以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，求该抛物线对应的函数关系式；（2）某卡车空车时能通过此隧道，现
22、装载一集装箱箱宽3m，车与箱共高4.5m，此车能否通过隧道？并说明理由【知识点】求二次函数解析式，【数学思想】数形结合【思路点拨】根据线段的长度写出相关点的坐标，再设出函数的解析式，把点的坐标代入解析式求出解析式，可以算出相应的宽度.【解题过程】解：（1）设抛物线对应的函数关系式为因为抛物线的顶点为原点，隧道宽6m，高5m，矩形的高为2m，所以抛物线过点A（-3，-3），代入得-3=9a，解得所以函数关系式为（2）如果此车能通过隧道，集装箱处于对称位置，将x=1.5代入抛物线方程，得y=-0.75，此时集装箱角离隧道的底为5-0.75=4.25米，不及车与箱总高4.5米，即4.254.5从而此
23、车不能通过此隧道【答案】此车不能通过此隧道【设计意图】：本题对学生的动手能力，观察能力都有一定的要求，对培养学生灵活的思维，提高学生解决实际问题的能力都有重要的意义.让学生树立数学建模的思想.例6为备战奥运会，中国女排的姑娘们刻苦训练，为国争光，如图，已知排球场的长度OD为18米，位于球场中线处球网的高度AB为2.43米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方1.8米的C点向正前方飞出，当排球运行至离点O的水平距离OE为7米时，到达最高点G，建立如图所示的平面直角坐标系(1)当球上升的最大高度为3.2米时，求排球飞行的高度y(单位：米)与水平距离x(单位：米)的函数关系式(不要求写自变量x的
24、取值范围)(2)在(1)的条件下，对方距球网0.5米的点F处有一队员，她起跳后的最大高度为3.1米，问这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明(3)若队员发球既要过球网，又不出边界，问排球飞行的最大高度h的取值范围是多少？(排球压线属于没出界)【知识点】求二次函数解析式，求自变量的取值范围；判断函数值的范围【数学思想】数形结合【思路点拨】利用题目给的已知条件可以求出函数解析式，再根据解析式分别来计算自变量和函数值得取值范围.【解题过程】解： (1)根据题意知此时抛物线的顶点G的坐标为(7，3.2)，设抛物线解析式为ya(x7)23.2将点C(0，1.8)代入得49a3.21.8，解得a，y(x7
25、)2(2)由题意当x9.5时，y(9.57)23.023.1，故这次她可以拦网成功(3)设抛物线解析式为ya(x7)2h，将点C(0，1.8)代入得49ah1.8，a，此时抛物线解析式为y(x7)2h，根据题意得解得h3.025，则排球飞行的最大高度h的取值范围是h3.025【答案】（1）y(x7)2；（2）故这次她可以拦网成功； (3)排球飞行的最大高度h的取值范围是h3.025.【设计意图】：本题对学生的动手能力，观察能力都有一定的要求，对培养学生灵活的思维，提高学生解决实际问题的能力都有重要的意义.让学生树立数学建模的思想.练习.如图，杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶
26、端椅子B处，其身体(看成一点)的路线是抛物线的一部分（1）求演员弹跳离地面的最大高度；（2）已知人梯高BC3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由【知识点】求二次函数解析式，求自变量的取值范围；判断函数值的范围【数学思想】数形结合【思路点拨】利用题目给的已知条件可以求出函数解析式，再根据解析式分别来计算自变量和函数值得取值范围.【解题过程】解：(1)配方得y(x)2，当x时，y有最大值，演员弹跳离地面的最大高度是4.75米.(2)表演成功理由：把x4代入解析式得y3.4，即点B(4，3.4)在抛物线上，表演成功.【答案】（1）演员弹跳离地面的最大高
27、度是4.75米；（2）表演成功；【设计意图】：本题对学生的动手能力，观察能力都有一定的要求，对培养学生灵活的思维，提高学生解决实际问题的能力都有重要的意义.让学生树立数学建模的思想.3. 课堂总结：本节课是将实际问题抽象成二次函数模型，通过建立适当的坐标系，求解二次函数的解析式，再利用二次函数的知识解决相关的问题知识梳理1.解拱桥问题、投球时球的运动轨迹、弹道轨迹、跳水时人体的运动轨迹的二次函数应用问题时，一般分为以下五个步骤：（1）建立适当的直角坐标系(若题目中给出，不用重建)；（2）确定解析式的类型，若顶点在原点上，一般设二次函数的解析式为；若顶点不在原点上，一般设二次函数的解析式为；(3
28、)根据给定的条件，找出抛物线上已知的点，并写出坐标；(4)利用已知点的坐标，求出抛物线的解析式：当已知三个点的坐标时，可用一般式求其解析式；当已知顶点坐标为(k，h)和另外一点的坐标时，可用顶点式求其解析式；当已知抛物线与x轴的两个交点坐标分别为、(，时，可用交点式求其解析式；(5)利用抛物线解析式求出与问题相关的点的坐标，从而使问题获解.2.建立坐标系之后，根据线段的长度写出点的坐标，把点的坐标代入到相关的解析式中求出解析式，利用解析式求解相关问题.重难点归纳1.根据实际问题，建立适当的直角坐标系.2.根据给定的条件,确定二次函数的解析式，求出与问题相关的点的坐标.3.数形结合思想特别重要，
29、在思考的过程中需要结合题意画出满足条件的图形，尤其是动态问题中画出图形是解题的关键.（三）课后作业基础型 自主突破1.小红家门前有一座抛物线形拱桥，如图，当水面在如图所示情况时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m，水面下降1 m时，水面宽度增加多少? 【知识点】建立坐标系求相应的值【数学思想】数形结合【解题过程】如图，建立直角坐标，可设这条抛物线为，把点（2，2）代入，解得，因此该抛物线的解析式为当时，解得所以水面下降1米，水面的宽度增加米【思路点拨】结合题意，建立适当的坐标是是解决本题的关键【答案】米2.有一座抛物线拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20 m，拱顶距离水面4 m.（1）如图所示的直角
30、坐标系中，求出该抛物线的解析式； （2）在正常水位的基础上，当水位上升h(m)时，桥下水面的宽度为d(m)，求出将d表示为h的函数解析式；（3）设正常水位时桥下的水深为2 m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18 m，求水深超过多少m时就会影响过往船只在桥下顺利航行.【知识点】利用图象求函数解析式【数学思想】数形结合【解题过程】（1）如上图建立坐标系，可设这条抛物线为，又函数过点（10，-4）代入上面的式子解得抛物线的解析式为（2）把点代入函数解析式，解得（3）把代入解析式中，解得，当水深超过时，超过了正常水位，就会影响过往船只在桥下顺利航行.【思路点拨】以桥面所在直线为x轴，以
31、桥拱的对称轴所在直线为y轴建立坐标系.设抛物线线解析式为y=ax2，然后点B的坐标为(10，-4)，即可求出解析式.【答案】（1）；（2）；（3）当水深超过时就会影响过往船只在桥下顺利航行.3.某公司草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距0.4 m加设不锈钢管如图所示的立柱，为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员测得如图所示的数据. （1）求该抛物线的解析式；（2）计算所需不锈钢管的总长度.【知识点】利用图象求函数解析式【数学思想】数形结合【解题过程】（1）在如图所示的直角坐标系中，设解析式为y=ax2+c，B（0，0.5），C（1，0），分别代入y=ax
32、2+c得，抛物线的解析式为y=-0.5x2+0.5；（2）分别过AC的五等分点C1、C2、C3、C4作x轴的垂线交抛物线于B1、B2、B3、B4，则C1B1、C2B2、C3B3、C4B4的长就是一段护栏的四根立柱的长，点C3、C4的坐标为（0.2，0），（0.6，0），则B3、B4的横坐标分别为x3=0.2，x4=0.6，将x3=0.2和x4=0.6 分别代入y=-0.5x2+0.5得y3=0.48，y4=0.32，由对称性知，B1、B2的纵坐标y1=0.32，y2=0.48，则四条立柱的长为C1B1=C4B4=0.32m，C2B2=C3B3=0.48m，所需不锈钢立柱总长为（0.32+0.4
33、8）250=80（m），答：所需不锈钢立柱的总长为80m.【思路点拨】本题可以通过建立不同的平面直角坐标系，求出不同的抛物线的解析式，但对计算总长度没有影响.【答案】（1）y=-0.5x2+0.5；（2）所需不锈钢立柱的总长为80m4.校运会上，小明参加铅球比赛，若某次试掷，铅球飞行的高度 y (m) 与水平距离 x (m) 之间的函数关系式为，求小明这次试掷的成绩及铅球的出手时的高度.【知识点】利用函数解析式求y的值【数学思想】数形结合【解题过程】当y=0时解得（舍去）当x=0时，小明这次试掷的成绩为10米，铅球出手时的高度为米.【思路点拨】分别令y=0，x=0即可得出答案.【答案】（1）小
34、明这次试掷的成绩为10米；（2）铅球出手时的高度为米.5.一个涵洞成抛物线形，它的截面如右图所示，现测得，当水面宽AB1.6 m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4 m这时，离开水面1.5 m处，涵洞宽ED是多少？是否会超过1 m？【知识点】建立坐标系，利用解析式解题【数学思想】数形结合【解题过程】以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立直角坐标系这时，涵洞的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为 (a0) 因为AB与y轴相交于C点，所以CB0.8（m），又OC2.4 m，所以点B的坐标是(0.8，2.4)因为点B在抛物线上，将它的坐标代入
35、，得2.4a0.82 所以a因此，函数关系式是OC2.4 m，FC1.5 m，OF2.41.50.9（m）将y0.9代入式得解得涵洞宽【思路点拨】根据已知条件，要求ED的宽，只要求出FD的长度在如右图的直角坐标系中，即只要求出D点的横坐标因为点D在涵洞所成的抛物线上，又由已知条件可得到点D的纵坐标，所以利用抛物线的函数关系式可以进一步算出点D的横坐标【答案】涵洞宽6.某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A处安装一个喷头向外喷水连喷头在内，柱高为0.8m水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如左图所示根据设计图纸已知：如右图中所示直角坐标系中，水流喷出的高度
36、y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是（1）喷出的水流距水平面的最大高度是多少?（2）如果不计其他的因素，那么水池至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内? 【知识点】利用函数解析式求y的值【数学思想】数形结合【解题过程】（1）答：喷出的水流距水面的最大高度为1.8米（2）当y=0时，解得（舍去）水池半径至少为米.【思路点拨】求函数顶点的纵坐标，令y=0求出相关的x的值.【答案】（1）喷出的水流距水面的最大高度为1.8米；（2）水池半径至少为米.能力型 师生共研7.一座拱桥的轮廓是抛物线（如图所示），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图所
37、示），其关系式的形式（1）请根据所给的数据求出a、c的值；（2）求支柱MN的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m，高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由【知识点】求函数解析式【数学思想】数形结合【解题过程】（1）根据题目条件，的坐标分别是抛物线的解析式为， 将的坐标代入，得 解得； 所以抛物线的表达式是.（2）可设，代入抛物线的表达式是解得 从而支柱的长度是米.（3）设是隔离带的宽，是三辆车的宽度和，则 过G点作GH垂直AB交抛物线于H， 则. 根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车【思路点拨
38、】通过点的坐标求解析式，利用解析式解决问题【答案】（1）；（2）支柱的长度是米.（3）可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车8.如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m （1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km（桥长忽略不计）货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶1小时时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行），试问：如果货车按原
39、来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？【知识点】求函数解析式【解题过程】（1）设抛物线的解析式为桥拱最高点O到水面CD的距离为h米，由题意可知，代入函数解析式解得：抛物线的解析式为（2）水位由CD处涨到点O的时间为：10.25=4（小时）货车按原来速度行驶的路程为：401+404=200280货车按原来速度行驶不能安全通过此桥设货车速度提高到x千米/时当4x+401=280时，x=60要使货车安全通过此桥，货车的速度应超过60千米/时【数学思想】数形结合【思路点拨】由题目给的已知条件求出函数解析式即可解决.【答案】（1）抛物线的
40、解析式为；（2）要使货车安全通过此桥，货车的速度应超过60千米/时探究型 多维突破9.如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1m的A处飞出(A在y轴上)，运动员乙在距O点6m的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4m高球第一次落地后又弹起据试验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半(取，)（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；（2）足球第一次落地点C距守门员多少米？（3）运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米?【知识点】求函数解析式【数学思想】数形结合【解题过程】（1）设足球第一次落地前的抛物线的表达式
41、为由已知：当x=0时y=l，即1=36a+4所求抛物线的表达式为即（1） 令y=0，即（x-6）2=48（舍去）足球的第一次落地点C距守门员约13米.（3）第一次足球落地点到第二次足球落地点的距离为CD根据题意，CD=EF（即相当于将抛物线AEMFC向下平移了2个单位长度）由解得：CD=10BD13-6+10=17即运动员乙应再向前跑约17米.【思路点拨】由图象求出该函数解析式，利用解析式结合题意解决问题【答案】（1）；（2）足球的第一次落地点C距守门员约13米（3）即运动员乙应再向前跑约17米.10.已知：在平面直角坐标系xOy中，二次函数yax2bx3(a0)的图象与x轴交于A，B两点，点
42、A在点B的左侧，与y轴交于点C，且OCOB3OA(1)求这个二次函数的解析式；(2)设点D是点C关于此抛物线对称轴的对称点，直线AD，BC交于点P，试判断直线AD，BC是否垂直，并证明你的结论；(3)在(2)的条件下，若点M，N分别是射线PC，PD上的点，问：是否存在这样的点M，N，使得以点P，M，N为顶点的三角形与ACP全等?若存在请求出点M，N的坐标；若不存在，请说明理由【知识点】求函数解析式，代数与几何相结合【数学思想】数形结合【解题过程】(1) 交点C的坐标(0,-3)，则OC=3=OB=3OA，OA=1，a0，二次函数y=axbx3的开口向上，图象与x轴交于A，B两点，点A在点B的左
43、侧，点A (-1,0)，点B (3，0)，C (0，-3)代入抛物线解析式解得，a=1， b=-2，二次函数的解析式： (2)点D坐标为(2,-3)，容易得到直线AD的解析式：yAD=-x-1，直线BC的解析式yBC=x-3，因为两直线交于P点，则由两个解析可得P（1，-2）所以，AP=，BP=，AB=4，根据勾股定理的逆定理可得：APB=90，即ADBC，（当然，我们也可以直接利用两个解析式中，得到直线AD，BC垂直） (3)点P坐标(1,-2)，射线PC，PD垂直且PA=PB，PC=PD，当N点与A点关于PC对称且点M与C点重合时，点P，M，N为顶点的三角形与ACP全等，此时点M(0,-3
44、)，点N(3,-4)，当PM=PA且点N与D点重合时，点P，M，N为顶点的三角形与ACP全等，此时点M(-1,-4)，点N(2,-3).【思路点拨】抛物线与几何相结合画出图形是解决问题的关键.【答案】（1）二次函数的解析式：；（2）直线AD，BC垂直(3) M(0,-3)，点N(3,-4)或者M(-1,-4)，点N(2,-3).自助餐1图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y=（x80）2+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有ACx轴，若OA=10米，则桥面离水面的高度AC为（）A16米 B米
45、C16米 D米【知识点】二次函数的应用【数学思想】数形结合【解题过程】解：ACx轴，OA=10米，点C的横坐标为10，当x=10时，y=（x80）2+16=（1080）2+16=，C（10，），桥面离水面的高度AC为m【思路点拨】先确定C点的横坐标，然后根据抛物线上点的坐标特征求出C点的纵坐标，从而可得到AC的长【答案】B2.河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y=x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（）A20m B10m C20m D10m【知识点】二次函数的应用【数学思想】数形结合【解题过程】解：根据题意B的纵坐标为
46、4，把y=4代入y=x2，得x=10，A（10，4），B（10，4），AB=20m即水面宽度AB为20m故选C【思路点拨】根据题意，把y=4直接代入解析式即可解答【答案】C3.如图，有一座抛物线型拱桥，已知桥下在正常水位AB时，水面宽20m，水位上升3m， 就达到警戒水位CD，这时水面宽10m，若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，求水过警戒水位后几小时淹到桥拱顶【知识点】利用函数解析式求相关时间【数学思想】数形结合【解题过程】设该抛物线的解析式为，把B,D两点代入函数解析式解得抛物线的解析式为所以拱桥O到CD的距离为1，所以所以再持续5小时到达拱桥顶.【思路点拨】建立坐标系求解析式解
47、决问题.【答案】所以再持续5小时到达拱桥顶.4如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=x2+bx+c表示，且抛物线的点C到墙面OB的水平距离为3m时，到地面OA的距离为m（1）求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？【知识点】二次函数的应用【数学思想】数形结合【解题过程】解：（1）根
48、据题意得B（0，4），C（3，），把B（0，4），C（3，）代入y=x2+bx+c得，解得所以抛物线解析式为y=x2+2x+4，则y=（x6）2+10，所以D（6，10），所以拱顶D到地面OA的距离为10m；（2）由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为（2，0）或（10，0），当x=2或x=10时，y=6，所以这辆货车能安全通过；（3）令y=8，则，解得，则，所以两排灯的水平距离最小是4m【思路点拨】（1）先确定B点和C点坐标，然后利用待定系数法求出抛物线解析式，再利用配方法确定顶点D的坐标，从而得到点D到地面OA的距离；（2）由于抛物线的对称轴为直线x=6，而隧道内设双向行车道，车宽为4m
49、，则货运汽车最外侧与地面OA的交点为（2，0）或（10，0），然后计算自变量为2或10的函数值，再把函数值与6进行大小比较即可判断；（3）抛物线开口向下，函数值越大，对称点之间的距离越小，于是计算函数值为8所对应的自变量的值即可得到两排灯的水平距离最小值【答案】（1）拱顶D到地面OA的距离为10m；（2）这辆货车能安全通过；（3）两排灯的水平距离最小是4m5如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出（点A在y轴上），足球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间满足函数关系y=at2+5t+c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m（1）足
50、球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？（2）若足球飞行的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系x=10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？【知识点】二次函数的应用【数学思想】数形结合【解题过程】解：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），解得：，抛物线的解析式为：y=t2+5t+，当t=时，y最大=4.5；（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，当t=2.8时，y=2.82+52.8+=2.252.44，他能将球直接射入球门【思路点拨
51、】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的应用，正确求得解析式是解题的关键【答案】（1）当t=时，y最大=4.5；（2）他能将球直接射入球门6.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润S（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t 个月的利润总和S与t 之间的关系），根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润S（万元）与时间t （月）之间的函数关系式； （2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；（3）求第8 个月公司所获利润是多少万元？【知识点】求函数解析式；【数学思想】数形结合【解题过程】（1）设S 与t 的函数关系式为S=at2+bt+c ，由题意得， 解得（2）把S=30代入，得解得，（舍），答：截止到10月末公司累积利润可达到30万元；（3）把t=7代入，得S=10.5，把t=8代入，得S=16，16-10.5=5.5，答：第8个月公司获利润5.5万元.【思路点拨】分别令y=0，x=0即可得出答案.【答案】（1）；（2）截止到10月末公司累积利润可达到30万元；（3）第8个月公司获利润5.5万元.第 30 页
