1、第二节 两条直线的位置关系第二节 两条直线的位置关系 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 双基研习面对高考 双基研习面对高考 基础梳理 1平行(1)若两条直线的斜率k1、k2均存在，在y轴上的截 距 分 别 为 b1、b2，则 l1 l2 的 充 要 条 件 是_.(2)若两条直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则l1l2的充要条件为A1B2A2B10且A1C2A2C10(或B1C2B2C10)k1k2且b1b22垂直(1)若两条直线的斜率k1，k2均存在，则l1l2_.(2)若两条直线l1：A1xB1yC10和l2：A2xB2yC20，则l1l2_.思考感悟若直线l1、l
2、2平行，则它们的斜率相等，这种说法对吗？提示：不对l1与l2平行，可能两直线的斜率都不存在k1k21A1A2B1B203点到直线的距离(1)已知点 P 的坐标为(x0，y0)，直线 l 的方程是Ax By C 0，则 点 P 到 l 的 距离 d_.(2)设两条平行直线 l1：AxByC10，l2：AxByC20，则 l1 与 l2 的距离 d_.|Ax0By0C|A2B2|C1C2|A2B24直线系(1)与AxByC0平行的直线系为_.(2)与AxByC0垂直的直线系为_.(3)过两直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20交点的直线系_.AxByC0BxAyC0A1xB1yC1
3、(A2xB2yC2)01如果直线ax2y20与直线3xy20平行，则a_.答案：62(2011年镇江质检)原点到直线x2y50的距离为_课前热身答案：53两条直线l1：3x4y20，l2：3xy20的交点为_4已知直线ax4y20和2x5yb0垂直，交于点A(1，m)，则a_，b_，m_.答案：10 12 2答案：(109，43)考点探究挑战高考 考点突破 两条直线的平行与垂直 判断两条直线平行或垂直时，不要忘记考虑两条直线中有一条或两条直线无斜率的情形在两条直线l1、l2斜率都存在且不重合 的 条 件 下，才 有 l1 l2 k1 k2 与l1l2k1k21.(1)已知直线l1：2x(m1)
4、y40与直线l2：mx3y20平行，求m的值；(2)当a为何值时，直线l1：(a2)x(1a)y10与直线l2：(a1)x(2a3)y20互相垂直？例1【思路分析】判断直线的斜率是否存在 求斜率 直线平行或垂直的条件 字母系数的值【解】(1)法一：由 l1：2x(m1)y40.l2：mx3y20.当 m0 时，显然 l1 与 l2 不平行当 m0 时，l1l2，需2mm13 42.解得 m2 或 m3.m 的值为 2 或3.法二：令 23m(m1)，解得 m3 或 m2.当 m3 时，l1：xy20，l2：3x3y20，显然 l1 与 l2 不重合，l1l2.同理当 m2 时，l1：2x3y4
5、0，l2：2x3y20，l1 与 l2 不重合，l1l2，m 的值为 2 或3.(2)法一：由题意，直线 l1l2，若 1a0，即 a1 时，直线 l1：3x10与直线 l2：5y20，显然垂直若 2a30，即 a32时，直线 l1：x5y20 与直线 l2：5x40 不垂直若 1a0，且 2a30，则直线 l1，l2 的斜率 k1，k2 都存在，k1a21a，k2 a12a3，当 l1l2 时，k1k21，即(a21a)(a12a3)1，所以 a1，综上可知，当 a1 或 a1 时，直线 l1l2.法二：由直线l1l2，所以(a2)(a1)(1a)(2a3)0，解得a1.将a1代入方程，均满
6、足题意故当a1或a1时，直线l1l2.【名师点评】斜率存在是利用斜率判断两直线平行、相交、垂直的先决条件若两直线的斜率不存在，则两直线平行或重合；若两直线一条斜率存在，而另一条不存在，则两直线相交(其中，若斜率存在且为0，则两直线垂直)互动探究1 本例(2)题l2改为：(a21)x(a24)y20，其他条件不变，则其结果如何？解：由题意知 l1l2，若 a210，即 a1 或 a1，a1 时，l1：3x10，l2：3y20，l1l2.a1 时，l1：x2y10，l2：3y20，l1 与 l2 不垂直若 a240，即 a2 或 a2，a2 时，l1：4xy10，l2：3x20，l1与 l2 不垂
7、直，a2 时，l1：3y10，l2：3x20，l1 与l2 垂直当 a1 或 a2 时，直线 l1l2.点关于线、线关于点、线关于线的对称问题，最终都可转化为点与点的对称问题主要用到中点及斜率之间的关系光线通过点A(2,3)，在直线l：xy10上反射，反射光线经过点B(1,1)，试求入射光线和反射光线所在直线的方程对称问题 例2【思路分析】由于在反射光线和入射光线上各存在一个已知点，因此只要在两条直线上再分别求得一个点的坐标即可求出反射光线和入射光线所在直线的方程，可由反射光线和入射光线关于直线l的对称性来实现【解】设点 A(2,3)关于直线 l 的对称点为 A(x0，y0)，则 2x023y
8、0210y03x021，解得 A(4，3)由于反射光线经过点 A(4，3)和 B(1,1)，所以反射光线所在直线的方程为 y1(x1)1314，即 4x5y10.解方程组4x5y10 xy10，得反射点 P(23，13)所以入射光线所在直线的方程为y3(x2)313223，即 5x4y20.【名师点评】在对称问题中，点关于直线的对称是最基本也是最重要的对称，处理这种问题关键是抓住垂直与平分两个几何条件，转化为代数关系列方程求解；也可以先求出过点A与l垂直的直线方程，再求中点坐标变式训练2 已知直线l1：2x3y10，点A(1，2)，求：(1)点A关于直线l1的对称点A的坐标；(2)直线m：3x
9、2y60关于直线l1的对称直线l2的方程解：(1)设 A(x，y)由已知得y2x1231，2x12 3y22 10，解得x3313，y 413，故 A(3313，413)(2)在直线 m 上取一点，如 M(2,0)，则 M 关于 l1 的对称点必在 l2 上设对称点为 M(a，b)，则由2a22 3b02 10，b0a2231，得 M(613，3013)设 m 与 l1 的交点为 N(x，y)由2x3y10，3x2y60，得 N(4,3)又 l2 过 N 点，由两点式得直线 l2 的方程为9x46y1020.(1)点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式是常用的公式，应熟练掌握(2)点到几种特
10、殊直线的距离点P(x0，y0)到x轴的距离d|y0|.点P(x0，y0)到y轴的距离d|x0|.点P(x0，y0)到与x轴平行的直线ya的距离d|y0a|.点P(x0，y0)到与y轴平行的直线xb的距离d|x0b|.有关距离公式的应用问题 已知直线l过点P(3,1)且被两平行线l1：xy10，l2：xy60截得的线段长为5，求直线l的方程【思路分析】可设点斜式方程，求与两直线的交点利用两点间距离公式求解例3【解】法一：若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x3，此时与l1，l2的交点分别是A(3，4)，B(3，9)，截得的线段长AB|49|5，符合题意当直线l的斜率存在时，则设直线l的方程为y
11、k(x3)1，分别与直线l1，l2的方程联立由ykx31xy10，解得 A(3k2k1，14kk1)由ykx31xy60，解得 B(3k7k1，19kk1)由两点间的距离公式，得(3k2k1 3k7k1)2(14kk1 19kk1)225，解得 k0，即所求直线方程为 y1.所以综上可知，直线 l 的方程为 x3 或 y1法二：设直线 l 与 l1，l2 分别相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1y110，x2y260，两式相减，得(x1x2)(y1y2)5.又(x1x2)2(y1y2)225，联立可得x1x25y1y20或x1x20y1y25，由上可知，直线 l 的倾斜角分别为
12、0和 90，故所求的直线方程为 x3 或 y1.【名师点评】这类题一般有三种情况：被两条已知平行直线截得的线段定长为a的直线，当a小于两平行线间距离时无解，当ad时有惟一解；当ad时有且只有两解本题法一采取通法通解法二采用设而不求，先设交点坐标，利用整体思想求解方法技巧1判断两条直线l1、l2的位置关系时，先看两条直线的斜率是否存在(1)若两条不重合的直线的斜率均不存在，则有l1l2.(2)若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则有l1l2.(3)若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在但不为0，则两条直线既不平行也不垂直方法感悟(4)若两条直线的斜率均存在，则有：l1l2k1k2
13、且b1b2；l1l2k1k21.此时注意平行的条件中不能漏掉b1b2这一条件2根据两直线的一般式方程判定两直线平行的方法：(1)判定斜率是否存在，若存在，化成斜截式后则k1k2，且b1b2；若都不存在则还要判定不重合(2)可直接采用如下方法：一般地，设直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20.l1l2A1B2A2B10，且B1C2B2C10，或A1C2A2C10.这种判定方法避开了斜率存在和不存在两种情况的讨论，可以减小因考虑不周造成失误的可能性3根据两直线的一般式方程判定两直线垂直的方法：(1)若一个斜率为零，另一个不存在则垂直若两个都存在斜率，化成斜截式后则k1k21.(2)
14、一般地，设l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，l1l2A1A2B1B20，第二种方法可避免讨论，减小失误4常见的对称问题：(1)中心对称若点 M(x1，y1)及 N(x，y)关于点 P(a，b)对称，则由中点坐标公式得x2ax1，y2by1.直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用 l1l2，由点斜式得到所求直线方程(2)轴对称点关于直线的对称若两点 P1(x1，y1)与 P2(x2，y2)关于直线 l：AxByC0 对称，则线段 P1P2 的中点在对称轴 l 上，而
15、且连结 P1P2 的直线垂直于对称轴 l，由方程组Ax1x22By1y22C0，Ay1y2Bx1x2，可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中A0，x1x2)直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行失误防范1由斜率判断直线的位置关系时，易忘记讨论斜率不存在的情况2求两平行线间的距离时，直线方程x、y的系数应相同，不然会得出错误结果考向瞭望把脉高考 考情分析 从近几年的江苏高考试题来看，两条直线的位置关系、点到直线的距离、两条平行线间的距离、两点间的距离是高考的热点，题型既有填空题，又有解答题，难度
16、不是太大客观题主要考查距离公式的应用；主观题主要是在知识交汇点处命题，全面考查基本概念、基本运算能力 预测2012年江苏高考仍将以点到直线的距离、两点间的距离为主要考点，重点考查运算能力与对概念的理解能力(2010 年高考山东卷)已知圆 C 过点(1,0)，且圆心在 x 轴的正半轴上，直线 l：yx1 被圆C 所截得的弦长为 2 2，则过圆心且与直线 l 垂直的直线的方程为_真题透析例【解析】设圆心(a,0)，(a0)，(|a12)2(2)2|a1 2.a3.圆心(3,0)所求直线方程为 xy30.【答案】xy30【名师点评】本小题考查直线与圆相交时弦长问题的求解方法、利用点斜式求直线方程以及
17、运算求解能力，求解时应注意弦心距、半径与弦长的一半构成直角三角形1如果直线l：xay20平行于直线2xy30，则直线l在两坐标轴上截距之和是_名师预测解析：两直线平行，k1k2，1a2，a12，即 x12y20，当 x0 时，y4，当 y0 时，x2，两截距之和是 2.答案：22“a3”是“直线ax2y10与直线6x4yc0平行”的_条件解析：a3时，直线ax2y10为3x2y10，而直线6x4yc0中c不确定，两直线不一定平行，若两直线平行这两直线的斜率相等，a3，即a3是两直线平行的必要不充分条件答案：必要不充分3已知直线l1：y2x3，直线l2与l1关于直线yx对称，直线l3l2，则l3
18、的斜率为_解析：由于直线 l1 与 l2 关于 yx 对称，则直线 l2 的方程为 x2y3.即 y12x32，kl212.又 l3l2，kl3 1kl22.答案：24已知a0，直线a2xy20与直线bx(a21)y10互相垂直，则ab的最小值为_解析：令直线 l1：a2xy20，直线 l2：bx(a21)y10，注意到直线 l1 的斜率k1 存在，当 k10 时有 a0，直线 l2 的斜率k2 存在，此时，两直线不垂直从而知 l1l2 时，k1，k2 都存在且 k1k21 即(a2)ba211，ba21a2，a0，abaa21a2 a1a2a1a2(当且仅当 a1 且 b2 时取等号)，所以 ab 的最小值是 2.答案：2本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用
