1、三 空间向量基本定理(15 分钟 30 分)1以下命题正确的是()A两个共线向量是指在同一直线上的两个向量 B共线的两个向量是相等向量 C共面的三个向量是指在同一平面内的三个向量 D共面的三个向量是指平行于同一平面的三个向量【解析】选 D.根据共面与共线向量的定义可以判定 2在下列条件中使 M 与 A，B，C 一定共面的是()AOM OA OB OC BOM 15 OA 13 OB 12 OC CMA MB MC 0 DOM OA OB OC 0【解析】选 C.在 C 中，由MA MB MC 0，得MA MB MC，则MA、MB、MC 为共面向量，即 M、A、B、C 四点共面；对于 A，由OM
2、 OA OB OC，其系数和 11111，不能得出 M、A、B、C 四点共面；对于 B，由OM 15 OA 13 OB 12 OC，其系数和15 13 12 1，所以 M、A、B、C 四点不共面；对于D，由OM OA OB OC 0，得OM(OA OB OC)，其系数和不为 1，所以 M、A、B、C 四点不共面【补偿训练】点 O 为空间任意一点，若OP 34 OA 18 OB 18 OC，则 A，B，C，P 四点()A一定不共面 B一定共面 C不一定共面 D无法判断【解析】选 B.因为点 O 为空间任意一点，OP 34 OA 18 OB 18 OC，34 18 18 1，所以由共面向量基本定理
3、得 A，B，C，P 四点一定共面 3若a，b，c是空间的一组基底，则下列各组中不能构成空间一组基底的是()Aa，2b，3c Bab，bc，ca Ca2b，2b3c，3a9c Dabc，b，c 【解析】选 C.对于 A 中 a，2b，3c，B 中 ab，bc，ca，D 中 abc，b，c，每组都是不共面的向量，能构成空间的一组基底；对于 C，a2b，2b3c，3a9c，满足 3a9c3(a2b)(2b3c)，是共面向量，不能构成空间的一组基底 4已知两非零向量 e1，e2，且 e1与 e2不共线，若 a e1 e2(，R，且220)，则下列结论有可能正确的是_(填序号)a 与 e1共线；a 与
4、e2共线；a 与 e1，e2共面【解析】当0 时，ae2，故 a 与 e2共线，同理当0 时，a 与 e1共线，由ae1e2，知 a 与 e1，e2共面 答案：5已知正方体 ABCDABCD，点 E 是 AC的中点，点 F 是 AE 的三等分点，且 AF12 EF，以AA、AB、AD 为基底表示AF.【解析】由条件 AF12 EF 知，EF2AF，所以 AEAFEF3AF，所以AF 13 AE 13(AAA E)13(AA A C)13 AA16(A D A B)13 AA 16 AD 16 AB.(30 分钟 60 分)一、单选题(每小题 5 分，共 20 分)1若向量MA，MB，MC 的起
5、点 M 和终点 A，B，C 互不重合且无三点共线，则能使向量MA，MB，MC 成为空间一组基底的关系是()AOM 13 OA 13 OB 13 OC BMA MB MC COM OA OB OC DMA 2MB MC 【解析】选 C.对于 A，由结论OM xOA yOB zOC(xyz1)M，A，B，C四点共面知，MA，MB，MC 共面；对于 B，D，易知MA，MB，MC 共面，故只有C 中MA，MB，MC 不共面 2已知 V 为矩形 ABCD 所在平面外一点，且 VAVBVCVD，VP 13 VC，VM 23 VB，VN 23 VD.则()AVA 平面 PMN BVA平面 PMN CVA平面
6、 PMN D无法判断 VA 与平面 PMN 的位置关系【解析】选 B.如图，设VA a，VB b，VC c，则VD acb，由题意知PM 23 b13 c，PN 23 VD 13 VC 23 a23 b13 c.因此VA 32 PM 32 PN，所以VA，PM，PN 共面 又 VA平面 PMN，所以 VA平面 PMN.3给出下列命题：若a，b，c可以作为空间的一组基底，d 与 c 共线，d0，则a，b，d也可作为空间的基底；已知向量 ab，则 a，b 与任何向量都不能构成空间的一组基底；A，B，M，N 是空间四点，若BA，BM，BN 不能构成空间的一组基底，那么 A，B，M，N 共面；已知向量
7、组a，b，c是空间的一组基底，若 mac，则a，b，m也是空间的一组基底其中正确命题的个数是()A1 B2 C3 D4【解析】选 D.根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一组基底，否则就不能构成空间的一组基底显然正确，中由BA、BM、BN 共面且过相同点 B，故 A，B，M，N 共面 假设 d 与 a，b 共面，则存在实数，使 dab，因为 d 与 c 共线，c0，所以存在实数 k，使 dkc，因为 d0，所以 k0，从而 ck ak b，所以 c 与 a，b 共面与条件矛盾所以 d 与 a，b 不共面 同理可证也是正确的 4已知正方体 ABCDA1B1C1D1中，P，M
8、 为空间任意两点，如果有PM 1PB 7BA 61AA 411A D，那么 M 必()A在平面 BAD1内 B在平面 BA1D 内 C在平面 BA1D1内 D在平面 AB1C1内【解析】选 C.由于PM 1PB 7BA 61AA 411A D 1PB BA 61BA 411A D1PB 11B A 61BA 411A D 1PA 6(1PA PB)4(1PD 1PA)111PA6PB 41PD，于是 M，B，A1，D1四点共面 二、多选题(每小题 5 分，共 10 分，全部选对得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0 分)5下列命题为真命题的是()A若 pxayb，则 p 与 a、b
9、 共面 B若 p 与 a、b 共面，则 pxayb C若MP xMA yMB，则 P，M，A，B 共面 D若 P，M，A，B 共面，则MP xMA yMB 【解析】选 AC.若 pxayb，则 p 与 a，b 肯定在同一平面内，故 A 对；若MP xMA yMB，则MP、MA、MB 三向量在同一平面内，所以 P、M、A、B 共面故C 对；MP xMA yMB，若 p 与 a、b 共面，但如果 a，b 共线，p 就不一定能用a、b 来表示，故 B 不对；同理 D 也不对 6下列命题错误的是()A若向量 a，b 共线，则向量 a，b 所在的直线重合 B若向量 a，b 所在的直线为异面直线，则向量
10、a，b 一定不共面 C若三个向量 a，b，c 两两共面，则向量 a，b，c 共面 D已知空间的三个不共面向量 a，b，c，则对于空间的任意一个向量 p 总存在实数 x，y，z 使得 pxaybzc【解析】选 ABC.a 与 b 共线，a，b 所在的直线也可能平行，故 A 不正确，符合题意；根据自由向量的意义知，空间任意两向量 a，b 都共面，故 B 不正确，符合题意；三个向量 a，b，c 中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故 C 不正确，符合题意；D 选项为空间向量基本定理，故正确，不符合题意 三、填空题(每小题 5 分，共 10 分)7已知 O 是空间任一点，A，B，C，D 四点满
11、足任意三点均不共线，但四点共面，且OA 2xBO 3yCO 4zDO，则 2x3y4z_【解析】OA(2x)OB(3y)OC(4z)OD，由 A，B，C，D 四点共面，得2x3y4z1，即 2x3y4z1.答案：1 8已知空间向量PA，PB，PC 的模长分别为 1，2，3，且两两夹角均为 60.点 G 为ABC 的重心，若PG xPA yPB zPC，x，y，zR，则 xyz_，|PG|_【解题指南】运用共线向量和共面向量的知识可解决【解析】根据题意得，点 G 为ABC 的重心，设 BC 中点为 D，则AG 23 AD 13(AB AC)，所以PG PA 13(PB PA PC PA)，所以P
12、G 13 PA 13 PB 13 PC，所以 xyz13，所以 xyz1；|PG|213 2 122232212122131222312 259 ，所以|PG|53.答案：1 53 四、解答题(每小题 10 分，共 20 分)9如图所示，平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，E、F 分别在 B1B 和 D1D 上，且|BE|13|BB1|，|DF|23|DD1|.(1)求证：A、E、C1、F 四点共面；(2)若EF xAB yAD z1AA，求 xyz 的值【解析】(1)因为1AC AB AD 1AA AB AD 13 1AA 23 1AA AB 13 1AA AD 23 1AA(AB BE
13、)(AD DF)AE AF.所以 A、E、C1、F 四点共面(2)因为EF AF AE AD DF(AB BE)AD 23 1DD AB 13 1BB AB AD 13 1AA，所以 x1，y1，z13，所以 xyz13.10如图所示，在空间几何体 ABCDA1B1C1D1中，各面为平行四边形，设1AA a，AB b，AD c，M，N，P 分别是 AA1，BC，C1D1的中点，试用 a，b，c 表示以下各向量：(1)AP.(2)MP NC1【解析】(1)因为 P 是 C1D1的中点，所以AP 1AA 11A D 1D PaAD 12 11D C ac12 AB ac12 b.(2)因为 M 是
14、 AA1的中点，所以MP MA AP 12 1A AAP 12 aac12b 12 a12 bc.又1NC NC 1CC 12 BC 1AA 12 AD 1AA 12 ca，所以MP 1NC 12a12bc a12c 32 a12 b32 c.1设 e1，e2，e3不共面，则下列向量组不共面的是_(填序号).ae13e2e3，b2e13e210e3，ce12e26e3；a2e1e23e3，b2e1e24e3，c3e1e22e3.【解析】因为 e1，e2，e3不共面，ae13e2e3，b2e13e210e3，ce12e26e3，所以若 a，b，c 共面，则设 cxayb，所以e12e26e3xe
15、13xe2xe32ye13ye210ye3(x2y)e1(3x3y)e2(x10y)e3，所以x2y1，3x3y2，x10y6，无解，所以 a，b，c 不共面 因为 e1，e2，e3不共面，a2e1e23e3，b2e1e24e3，c3e1e22e3，所以若 a，b，c 共面，则设 cxayb，所以 3e1e22e32xe1xe23xe32ye1ye24ye3(2x2y)e1(xy)e2(3x4y)e3，所以2x2y3，xy1，3x4y2，无解，所以 a，b，c 不共面 答案：2.如图所示，已知斜三棱柱 ABCA1B1C1，点 M，N 分别在 AC1和 BC 上，且满足AM k1AC，BN kB
16、C(0k1).(1)向量MN 是否与向量AB，1AA 共面？(2)直线 MN 是否与平面 ABB1A1平行？【解析】(1)因为AM k1AC，BN kBC，所以MN MA AB BN k1C A AB kBC k(1C A BC)AB k(1C A 11B C)AB k1B A AB AB k1AB AB k(1AA AB)(1k)AB k1AA，所以由共面向量定理知向量MN 与向量AB，1AA 共面(2)当 k0 时，点 M，A 重合，点 N，B 重合，MN 在平面 ABB1A1内，当 0k1 时，MN 不在平面 ABB1A1内，又由(1)知MN 与AB，1AA 共面，所以 MN平面 ABB1A1.综上，当 k0 时，MN 在平面 ABB1A1内；当 0k1 时，MN平面 ABB1A1.
