1、山东省寿光市圣都中学2020-2021学年高二数学上学期期末备考卷(A)注意事项:1答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。第卷一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1已知全集,集合,则( )ABCD
2、【答案】C【解析】因为,所以2已知直线和互相平行,则实数等于( )A或BCD或【答案】A【解析】两条直线和互相平行,解得或,若,则与平行,满足题意;若,则与平行,满足题意3等差数列的前项和为,且,则( )ABCD【答案】C【解析】因为,所以,所以,所以4在平面直角坐标系中,为坐标原点双曲线的右焦点为,则以为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆方程为( )ABCD【答案】D【解析】由双曲线,得,所以,则焦点,双曲线的渐近线方程为,由题意可得到渐近线的距离为,即圆的半径为,圆心为,则所求圆的方程为,可化为5设是直线,是两个不同的平面,下列命题正确的是( )A若,则B若,则C若,则D若,则【答案】D【解析
3、】A若,则与可能平行,也可能相交,所以不正确;B若,则与可能的位置关系有相交、平行或,所以不正确;C若,则可能,所以不正确;D若,由线面平行的性质过的平面与相交于,则,又,所以,所以有,所以正确6若关于的方程恰有两个实数根,则实数的取值范围是( )ABCD【答案】B【解析】因为关于的方程恰有两个实数根,所以函数与函数的图象恰有两个交点,即直线与半圆恰有两个交点,如图,直线经过定点,当直线与半圆切于时,解得,当直线经过点时,所以满足函数与函数的图象恰有两个交点的的范围为7已知双曲线(,)点是直线上任意一点,若圆与双曲线的右支没有公共点,则双曲线的离心率取值范围为( )ABCD【答案】A【解析】双
4、曲线的一条渐近线方程为,因为点是直线上任意一点,又直线与直线的距离为,即圆心到直线的距离为,因为圆与双曲线的右支没有公共点,所以,即,又,所以双曲线的离心率的取值范围为8已知数列的各项均为正数,若数列的前项和为,则( )ABCD【答案】C【解析】由题意,数列的各项均为正数,可得,所以数列是以首项,公差为的等差数列,所以,可得,又由,前项和,令,解得二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分9已知直线和直线平行,则( )ABCD【答案】AD【解析】直线和直线平行,直线的斜率为,直线的斜率为,则,即,
5、解得或,经检验成立10已知圆和圆相交于、两点,下列说法正确的为( )A两圆有两条公切线B直线的方程为C线段的长为D圆上点,圆上点,的最大值为【答案】AD【解析】因为两圆相交,所以两圆有两条公切线,故A正确;因为圆,圆,两圆作差得,即,所以直线的方程为,故B错误;圆的圆心为,半径为,则圆心到直线的距离,所以,故C错误;圆的圆心,半径为,所以,故D正确11如图,是双曲线与椭圆的公共焦点,点是在第一象限的公共点,设方程为,则有( )AB的内切圆与轴相切于点C若,则的离心率为D若,则椭圆方程为【答案】BCD【解析】由双曲线的方程可知,所以,故A不正确;由双曲线的定义可知,如图,由内切圆的性质可得,由,
6、所以,故的内切圆与轴相切于点,故B正确;因为,所以;结合椭圆的定义可知,所以,离心率为,故C正确;若,则,又,所以,即,所以,所以,所以,又,所以,椭圆的方程为12已知数列,下列结论正确的有( )A若,则B若,则C若,则数列是等比数列D若,则【答案】AB【解析】选项A由,即,则,故A正确;选项B由,得,所以数列是以为首项,为公比的等比数列,则,即,所以,故B正确;选项C由,可得当时,当时,得,当时,得,显然,所以数列不是等比数列,故C错误;由,可得,所以数列是以为首项,为公差的等差数列,所以,则,即,故D错误第卷三、填空题:本大题共4小题,每小题5分13已知两条平行直线与间的距离为3,则的值为
7、_【答案】或【解析】由题意,两条平行直线与间的距离为,根据两平行线间的距离公式,可得,解得或,即的值为或14若为直线上一个动点,从点引圆的两条切线,(切点为,),则的最小值是_【答案】【解析】如图,由题可知圆的圆心为,半径要使的长度最小,即要最小,则最小因为,所以当最小时,最小因为,所以当最小时,最小因为,所以,所以,由于,所以15已知是椭圆与双曲线的公共焦点,是它们的一个公共点,且,线段的垂直平分线过,若椭圆的离心率为,双曲线的离心率为,则的最小值为_【答案】【解析】设椭圆对应的参数为,;双曲线对应的参数为,由于线段的垂直平分线过,所以有根据双曲线和椭圆的定义有,两式相减得到,即所以,当且仅
8、当取等号,则的最小值为16已知在数列中,且,设,则_,数列前项和_【答案】,【解析】(1),两边同时除以,得,即,数列是首项为,公差为的等差数列,即(2)由(1)知,四、解答题:本大题共6个大题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(10分)设数列的前项和为,在,成等差数列,成等差数列中任选一个,补充在下列的横线上,并解答在公比为的等比数列中, (1)求数列的通项公式;(2)若,求数列的前项和【答案】(1)见解析;(2)【解析】(1)选:因为,成等差数列,所以,所以,解得,所以选:因为,成等差数列,所以,即,所以,解得,所以(2)因为,所以,所以,所以18(12分)求经过直线,
9、的交点,且满足下列条件的直线的方程(1)经过点;(2)与直线平行【答案】(1);(2)【解析】(1)联立,解得,即点,直线的斜率为,所以,直线的方程为,即(2)直线的斜率为,因此,所求直线的方程为,即19(12分)已知正三棱柱的边长均为,分别是线段和的中点(1)求证:平面;(2)求三棱锥的体积【答案】(1)证明见解析;(2)【解析】证明:(1)取的中点为,连结,在中,为中位线,所以,又因为,为的中点,所以,所以为平行四边形,所以,又平面,平面,所以平面(2)因为,因为为的中点,所以到底面的距离是到底面的距离的一半,即三棱锥的高,又的面积为,所以20(12分)已知椭圆经过,(1)求椭圆的方程;(
10、2)若直线:交椭圆于不同两点,是坐标原点,求的面积【答案】(1);(2)【解析】(1)由题意得,解得,即轨迹的方程为(2)记,故可设的方程为,由,消去,得,所以,设直线与轴交于点,21(12分)正项数列的前项和满足:(1)求数列的通项公式;(2)令,数列的前项和为,证明:对于任意的,都有【答案】(1);(2)证明见解析【解析】(1)由,得由于是正项数列,所以,当时,当时,综上可知,数列的通项公式(2)证明:由于,所以,22(12分)已知椭圆的长轴的一个端点是抛物线的焦点,离心率是(1)求椭圆的标准方程;(2)已知动直线与椭圆相交于、两点,且在轴上存在点,使得与的取值无关,试求点的坐标【答案】(1);(2)【解析】(1)的焦点为,根据条件可知椭圆的焦点在轴上,且,离心率,故,故所求的方程为(2)将代入,得设,则,要使上式与无关,则有,解得,点的坐标为