1、山东省威海荣成市2020-2021学年高一数学上学期期中试题(含解析)一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 设集合,则( )A. B. C. D. D分析:解方程化简集合,再求并集.解答:,则故选:D2. 由实数,所组成的集合,最多含元素个数为( )A. 2B. 3C. 4D. 5A分析:根据集合元素的互异性,讨论、情况下已知元素为不同元素的个数,即可知集合元素最多有几个.解答:,当时,集合元素最多有1个;当时,所以集合元素最多有2个;当时,所以集合元素最多有2个;故选:A3. 设命题,则命题否定为( )A. ,B. ,
2、C. ,D. ,C分析:根据含有量词的命题的否定即可得到结论.解答:命题为全称量词命题,则命题的否定为,故选:C.4. 设函数的定义域为,已知为上的减函数,则是的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件A分析:根据函数单调性与充分必要条件定义判断即可.解答:若函数是R上的单调递减函数,则,反之不成立,所以是的的充分不必要条件故选:A5. 函数的图像( )A. 关于直线对称B. 关于轴对称C. 关于原点对称D. 关于轴对称B分析:利用分离常数法化简函数式,可知函数为偶函数,进而判断对称性.解答:解:因为,易知为偶函数,所以函数的图象关于轴对称.故选:
3、B.6. 为净化水质,向游泳池加入某种化学药品,加药后池水中该药品的浓度(单位:)随时间(单位:小时)的变化关系为(为常数,),当时池水中药品的浓度为,当小时池水中药品的浓度为,则池水中药品达到最大浓度需要( )A. 小时B. 小时C. 小时D. 小时A分析:由题意求出解析式,再由定义证明的单调性得出其最小值,进而得出池水中药品达到最大浓度需要的时间.解答:由题意可得,解得当时,当时,令任取,且,则当时,即;当时,即则函数在上单调递减,在上单调递增,即,即当时,故选:A点拨:关键点睛:解决本题的关键是由定义证明函数的单调性进而得出其最小值.7. 九章算术第九章“勾股”问题十二:今有门不知高、广
4、,竿不知长、短.横之不出四尺,纵之不出二尺,邪之适出(邪:指门的对角线).问门的高、广分别为( )A. 尺,尺B. 尺,尺C. 尺,尺D. 尺,尺C分析:设门的对角线为尺,即有门高、宽分别为尺、 尺,应用勾股定理列一元二次方程求,进而求门的高宽即可.解答:设门的对角线为尺,则门高为尺,门宽为尺,由勾股定理知:,即,解得(舍去)或,门高为尺,门宽为尺.故选:C8. 已知,则,的大小关系是( )A. B. C. D. D分析:首先变形,利用指数函数的单调性和性质比较大小.解答:,因为是单调递减函数,所以,即,而,所以.故选:D二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项
5、中,有多项符合题目要求.全部选对得5分,部分选对得3分,有选错的得0分.9. 下列每组对象,能构成集合的是( )A. 中国各地最美的乡村B. 直角坐标系中横、纵坐标相等的点C. 一切很大的数D. 清华大学2020年入学的全体学生BD分析:根据集合中的元素具有确定性逐个判断即可解答:解:对于A,最美标准不明确,不具有确定性,所以不能构成集合;对于B,直角坐标系中横、纵坐标相等的点就在一、三象限的平分线上,是确定的,所以可以构成集合;对于C,一切很大的数不具有确定性,所以不能构成集合;对于D,清华大学2020年入学的全体学生是确定的,能构成集合,故选:BD10. 下列命题为真命题的是( )A. B
6、. 若,都正实数且,则C. ,D. 若,都是正实数,CD分析:对于A,由分析法进行判断;对于B,取特殊值判断;对于,由不等式的性质判断;对于D,作差法判断即可解答:解:对于A,要成立,只要,只要,而不成立,所以A错误;对于B,若,则,此时,所以B错误;对于C,因为,所以,因为对于,所以,所以C正确;对于D,因为,所以,所以D正确,故选:CD11. 已知,且,则( )A. B. C. D. ACD分析:结合已知条件,应用基本不等式、等即可判断各项的正误.解答:由当且仅当时等号成立,故A正确;由知:当且仅当时等号成立,故B错误;由,即,得,所以,故C正确;由且,知:当且仅当时等号成立,故D正确;故
7、选:ACD12. 设函数定义域为,对于给定的正数,定义函数,若函数,则( )A. B. 在单调递减C. 为偶函数D. 最大值为BC分析:先画出函数的图象,再根据函数的定义,画出的图象,由图象即可判断各选项的正误.解答:对于选项A:,故A选项错误;对于选项B,的图象如图所示:所以的大致图象,如图所示:由图象可知,在单调递减,故B选项正确;对于选项C,由图象可知,图象关于轴对称,所以函数是偶函数,故C选项正确;对于选项D,由图象可知,的最小值为2,无最大值,故D选项错误;故选:BC.点拨:“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种,然后根据此新定义去解决问题,有时还需要用
8、类比的方法去理解新的定义,这样有助于对新定义的透彻理解.但是,透过现象看本质,它们考查的还是基础数学知识,所以说“新题”不一定是“难题”,掌握好三基,以不变应万变才是制胜法宝.三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13. 函数的定义域为_.分析】首先根据题意得到,再解不等式即可.解答:由题知:,即,解得.所以函数的定义域为.故答案为:14. 已知函数是定义在上的奇函数,且当时, ,则当时, _.分析:根据奇函数满足,结合所给时的解析式,即可求得时的解析式.解答:令则因为当时, 所以因奇函数满足所以即故答案: 点拨:本题考查了根据函数奇偶性求解析式,注意自变量的取值范围,属于基础题.
9、15. 如图所示,某学校要在长为米,宽为米的一块矩形地面上进行绿化,计划四周种花卉,花卉带的宽度相同,均为米,中间植草坪.为了美观,要求草坪的面积大于矩形土地面积的一半,则的取值范围为_.分析:设花卉带宽度为米, 则中间草坪的长为米,宽为米,由面积关系列不等式,化简后解一元二次不等式得答案.解答:设花卉带宽度为米, 则中间草坪的长为米,宽为米,根据题意可得,整理得:,即,解得或,不合题意,舍去,故所求花卉带宽度的范围为,故答案为:.16. 函数的图像恒过定点,若,则的最小值_.8分析:首先求定点,再利用“1”的变换,利用基本不等式求最小值.解答:函数,所以函数恒过点,即,即,则,当时,即时,等
10、号成立,的最小值为,此时,解得,.故答案为:四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17. (I)已知,都是正实数,求证:;(II)求关于的方程的解.(I)证明见解析 ;(II) .分析:(I)由,结合基本不等式(注意等号成立的条件),即可证结论;(II)利用指数运算的性质,得,进而有,即可求解.解答:(I) 证明:,都是正实数,即,当且仅当时等号成立,故得证. (II)解:由,知:,而,即,即.18. 已知集合,集合.(1)求;(2)设集合,若,求实数的取值范围.(1) ;(2)或 .分析:(1)求解函数的定义域求出集合,指数不等式的解法求解集合,然后求
11、解交并补的运算即可;(2)推出,然后求解的取值范围.解答:(1)因为,或, 所以或,所以, 因为, 又函数在上单调递增, 所以, 所以. (2)因为,所以, 所以或, 所以或.19. 已知函数,是二次函数,且满足,.(1)求,的解析式;(2)设,求不等式的解集.(1) , ;(2).分析:(1)利用换元法求出的解析式,利用待定系数法求出的解析式;(2)由(1)可知,然后分和两种情况解不等式可得结果解答:(1)设,所以即 , 因为是二次函数,所以设,因为,所以, , 所以,解得,所以; (2)由(1)可知 等价于,或, 解得,或, 所以或,所以不等式的解集为.20. 设,判断“”是“为奇函数”的
12、什么条件,并说明理由.充要条件,理由见解析.分析:利用充分条件和必要条件的定义进行判断,由可得,进而可判断为奇函数,而当为奇函数时,可得,从而可得成立解答:充要条件,充分性,所以 , 所以, 所以为奇函数 , 所以“”是“为奇函数”的充分条件, 必要性,为奇函数,所以有 , , 所以 , ,所以, 所以 ,所以“”是“为奇函数”的必要条件.21. 甲、乙两位消费者同时两次购买同一种物品,分别采用两种不同的策略,甲的策略是不考虑物品价格的升降,每次购买这种物品的数量一定;乙的策略是不考虑物品价格的升降,每次购买这种物品所花的钱数一定.(1)若两次购买这种物品的价格分别为元,元,求甲两次购买这种物
13、品平均价格和乙两次购买这种物品平均价格分别为多少;(2)设两次购买这种物品的价格分别为元,元,问甲、乙谁的购物比较经济合算.(1)5, ;(2)乙的购物比较经济合算 .分析:(1)首先设甲每次购买这种物品的数量为,乙每次购买这种物品所花的钱数为,再分别计算甲、乙的平均价格即可.(2)首先分别算出甲、乙的平均价格,再作差比较即可.解答:(1)设甲每次购买这种物品的数量为,乙每次购买这种物品所花的钱数为, 所以甲两次购买这种物品平均价格为, 乙两次购买这种物品平均价格为,.(2)设甲每次购买这种物品的数量为,乙每次购买这种物品所花的钱数为,所以甲两次购买这种物品平均价格为, 乙两次购买这种物品平均
14、价格为, , 所以乙的购物比较经济合算.22. 已知函数.(I)当时,设,证明:函数在上单调递增;(II)若,成立,求实数的取值范围;(III)若函数在有两个零点,求实数的取值范围.(I)证明见解析 ;(II) ;(III) .分析:(I)根据函数单调性定义法证明即可;(II) 设,则则 ,令,求最大值即可;(III)根据零点分布列出等价不等式求解即可.解答:(),设, 因为函数在上单调递增,所以,所以,又,所以,所以,所以函数在上单调递增. ()设,则,都有, ,令,易证在单调递减,在单调递增, 又,最大值为,. (III)因为函数在有两个零点且对称轴为,所以, 解得.点拨:方法点睛:已知不等式恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法:(1)函数法:讨论参数范围,借助函数单调性求解;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域或最值问题加以解决;(3)数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,利用数形结合的方法求解.