1、山东省威海荣成市2020-2021学年高一数学上学期期中试题（含解析）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，则（ ）A. B. C. D. D分析：解方程化简集合，再求并集.解答：，则故选：D2. 由实数，所组成的集合，最多含元素个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5A分析：根据集合元素的互异性，讨论、情况下已知元素为不同元素的个数，即可知集合元素最多有几个.解答：，当时，集合元素最多有1个；当时，所以集合元素最多有2个；当时，所以集合元素最多有2个；故选：A3. 设命题，则命题否定为（ ）A. ，B. ，
2、C. ，D. ，C分析：根据含有量词的命题的否定即可得到结论.解答：命题为全称量词命题，则命题的否定为，故选：C.4. 设函数的定义域为，已知为上的减函数，则是的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件A分析：根据函数单调性与充分必要条件定义判断即可.解答：若函数是R上的单调递减函数，则，反之不成立，所以是的的充分不必要条件故选：A5. 函数的图像（ ）A. 关于直线对称B. 关于轴对称C. 关于原点对称D. 关于轴对称B分析：利用分离常数法化简函数式，可知函数为偶函数，进而判断对称性.解答：解：因为，易知为偶函数，所以函数的图象关于轴对称.故选：
3、B.6. 为净化水质，向游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度（单位：）随时间（单位：小时）的变化关系为（为常数，），当时池水中药品的浓度为，当小时池水中药品的浓度为，则池水中药品达到最大浓度需要（ ）A. 小时B. 小时C. 小时D. 小时A分析：由题意求出解析式，再由定义证明的单调性得出其最小值，进而得出池水中药品达到最大浓度需要的时间.解答：由题意可得，解得当时，当时，令任取，且，则当时，即；当时，即则函数在上单调递减，在上单调递增，即，即当时，故选：A点拨：关键点睛：解决本题的关键是由定义证明函数的单调性进而得出其最小值.7. 九章算术第九章“勾股”问题十二：今有门不知高、广
4、，竿不知长、短.横之不出四尺，纵之不出二尺，邪之适出（邪：指门的对角线）.问门的高、广分别为（ ）A. 尺，尺B. 尺，尺C. 尺，尺D. 尺，尺C分析：设门的对角线为尺，即有门高、宽分别为尺、 尺，应用勾股定理列一元二次方程求，进而求门的高宽即可.解答：设门的对角线为尺，则门高为尺，门宽为尺，由勾股定理知：，即，解得（舍去）或，门高为尺，门宽为尺.故选：C8. 已知，则，的大小关系是（ ）A. B. C. D. D分析：首先变形，利用指数函数的单调性和性质比较大小.解答：，因为是单调递减函数，所以，即，而，所以.故选：D二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项
5、中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9. 下列每组对象，能构成集合的是（ ）A. 中国各地最美的乡村B. 直角坐标系中横、纵坐标相等的点C. 一切很大的数D. 清华大学2020年入学的全体学生BD分析：根据集合中的元素具有确定性逐个判断即可解答：解：对于A，最美标准不明确，不具有确定性，所以不能构成集合；对于B，直角坐标系中横、纵坐标相等的点就在一、三象限的平分线上，是确定的，所以可以构成集合；对于C，一切很大的数不具有确定性，所以不能构成集合；对于D，清华大学2020年入学的全体学生是确定的，能构成集合，故选：BD10. 下列命题为真命题的是（ ）A. B
6、. 若，都正实数且，则C. ，D. 若，都是正实数，CD分析：对于A，由分析法进行判断；对于B，取特殊值判断；对于，由不等式的性质判断；对于D，作差法判断即可解答：解：对于A，要成立，只要，只要，而不成立，所以A错误；对于B，若，则，此时，所以B错误；对于C，因为，所以，因为对于，所以，所以C正确；对于D，因为，所以，所以D正确，故选：CD11. 已知，且，则（ ）A. B. C. D. ACD分析：结合已知条件，应用基本不等式、等即可判断各项的正误.解答：由当且仅当时等号成立，故A正确；由知：当且仅当时等号成立，故B错误；由，即，得，所以，故C正确；由且，知：当且仅当时等号成立，故D正确；故
7、选：ACD12. 设函数定义域为，对于给定的正数，定义函数，若函数，则（ ）A. B. 在单调递减C. 为偶函数D. 最大值为BC分析：先画出函数的图象，再根据函数的定义，画出的图象，由图象即可判断各选项的正误.解答：对于选项A：，故A选项错误；对于选项B，的图象如图所示：所以的大致图象，如图所示：由图象可知，在单调递减，故B选项正确；对于选项C，由图象可知，图象关于轴对称，所以函数是偶函数，故C选项正确；对于选项D，由图象可知，的最小值为2，无最大值，故D选项错误；故选：BC.点拨：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用
8、类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 函数的定义域为_.分析】首先根据题意得到，再解不等式即可.解答：由题知：，即，解得.所以函数的定义域为.故答案为：14. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时， ，则当时， _.分析：根据奇函数满足,结合所给时的解析式,即可求得时的解析式.解答：令则因为当时, 所以因奇函数满足所以即故答案: 点拨：本题考查了根据函数奇偶性求解析式,注意自变量的取值范围,属于基础题.
9、15. 如图所示，某学校要在长为米，宽为米的一块矩形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，均为米，中间植草坪.为了美观，要求草坪的面积大于矩形土地面积的一半，则的取值范围为_.分析：设花卉带宽度为米， 则中间草坪的长为米，宽为米，由面积关系列不等式，化简后解一元二次不等式得答案.解答：设花卉带宽度为米， 则中间草坪的长为米，宽为米，根据题意可得，整理得：，即，解得或，不合题意，舍去，故所求花卉带宽度的范围为，故答案为：.16. 函数的图像恒过定点，若，则的最小值_.8分析：首先求定点，再利用“1”的变换，利用基本不等式求最小值.解答：函数，所以函数恒过点,即，即，则，当时，即时，等
10、号成立，的最小值为，此时，解得，.故答案为：四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. (I)已知，都是正实数，求证：；(II)求关于的方程的解.(I)证明见解析 ；(II) .分析：(I)由，结合基本不等式(注意等号成立的条件)，即可证结论；(II)利用指数运算的性质，得，进而有，即可求解.解答：(I) 证明：，都是正实数，即，当且仅当时等号成立，故得证. (II)解：由，知：，而，即，即.18. 已知集合，集合.（1）求；（2）设集合，若，求实数的取值范围.（1） ；（2）或 .分析：（1）求解函数的定义域求出集合，指数不等式的解法求解集合，然后求
11、解交并补的运算即可；（2）推出，然后求解的取值范围.解答：（1）因为，或， 所以或，所以， 因为， 又函数在上单调递增， 所以， 所以. （2）因为，所以， 所以或， 所以或.19. 已知函数，是二次函数，且满足，.(1)求，的解析式；(2)设，求不等式的解集.(1) ， ；(2).分析：（1）利用换元法求出的解析式，利用待定系数法求出的解析式；（2）由（1）可知，然后分和两种情况解不等式可得结果解答：（1）设，所以即 ， 因为是二次函数，所以设，因为，所以， ， 所以，解得，所以； (2)由（1）可知 等价于，或， 解得，或， 所以或，所以不等式的解集为.20. 设，判断“”是“为奇函数”的
12、什么条件，并说明理由.充要条件，理由见解析.分析：利用充分条件和必要条件的定义进行判断，由可得，进而可判断为奇函数，而当为奇函数时，可得，从而可得成立解答：充要条件，充分性，所以 ， 所以， 所以为奇函数 ， 所以“”是“为奇函数”的充分条件， 必要性，为奇函数，所以有 ， ， 所以 ， ，所以， 所以 ，所以“”是“为奇函数”的必要条件.21. 甲、乙两位消费者同时两次购买同一种物品，分别采用两种不同的策略，甲的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；乙的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定.（1）若两次购买这种物品的价格分别为元，元，求甲两次购买这种物
13、品平均价格和乙两次购买这种物品平均价格分别为多少；（2）设两次购买这种物品的价格分别为元，元，问甲、乙谁的购物比较经济合算.（1）5， ；（2）乙的购物比较经济合算 .分析：（1）首先设甲每次购买这种物品的数量为，乙每次购买这种物品所花的钱数为，再分别计算甲、乙的平均价格即可.（2）首先分别算出甲、乙的平均价格，再作差比较即可.解答：（1）设甲每次购买这种物品的数量为，乙每次购买这种物品所花的钱数为， 所以甲两次购买这种物品平均价格为， 乙两次购买这种物品平均价格为，.（2）设甲每次购买这种物品的数量为，乙每次购买这种物品所花的钱数为，所以甲两次购买这种物品平均价格为， 乙两次购买这种物品平均
14、价格为， ， 所以乙的购物比较经济合算.22. 已知函数.(I)当时，设，证明：函数在上单调递增；(II)若，成立，求实数的取值范围；(III)若函数在有两个零点，求实数的取值范围.(I)证明见解析 ；(II) ；(III) .分析：(I)根据函数单调性定义法证明即可；(II) 设，则则 ，令，求最大值即可；(III)根据零点分布列出等价不等式求解即可.解答：（），设， 因为函数在上单调递增，所以，所以，又，所以，所以，所以函数在上单调递增. （）设，则，都有， ，令，易证在单调递减，在单调递增， 又，最大值为，. (III)因为函数在有两个零点且对称轴为，所以， 解得.点拨：方法点睛：已知不等式恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.