1、2.3 圆及其方程 2.3.3 直线与圆的位置关系 第二章 平面解析几何 学 习 任 务核 心 素 养 1理解直线与圆的三种位置关系(重点)2会用代数法和几何法判断直线与圆的位置关系(重点)3能解决直线与圆位置关系的综合问题(难点)1通过直线与圆的位置关系的学习，培养直观想象、逻辑推理的核心素养 2通过解决直线与圆位置关系的综合问题，培养数学运算的核心素养 情境导学探新知 NO.1知识点1 知识点2 早晨的日出非常美丽，如果我们把海平面看成一条直线，而把太阳抽象成一个运动着的圆，观察太阳缓缓升起的这样一个过程你能想象到什么几何知识呢？没错，日出升起的过程可以体现直线与圆的三种特殊位置关系你发现
2、了吗？知识点 1 直线与圆的位置关系的判定(直线 AxByC0，AB0，圆(xa)2(yb)2r2，r0)位置关系相交相切相离 公共点个数_个_个_个 判定方法几何法：设圆心到直线的距离 d|AaBbC|A2B2d_rd_rd_r 210位置关系相交相切相离 判定方法代数法：由AxByC0 xa2yb2r2消元得到一元二次方程的判别式 _0_0_0 图形(1)利用代数法判断直线与圆的位置关系时，不必求出方程组的实数解，只需将直线方程代入到圆的方程中，并消去一个未知数，得到一个关于 x(或 y)的一元二次方程，由 与 0 的大小关系判断方程解的个数，进一步判断两者的位置关系(2)利用几何法判断直
3、线与圆的位置关系时，必须准确计算出圆心坐标、圆的半径长及圆心到直线的距离(3)对于具体用哪种方法判断直线与圆的位置关系，应由条件而定，代数法是从方程角度考虑，但较烦琐；几何法是从几何角度考虑，方法简单，也是判断直线与圆的位置关系的常用方法 1(1)直线 3x4y50 与圆 x2y21 的位置关系是()A相交 B相切 C相离 D无法判断(2)直线 xy1 与圆 x2y22ay0(a0)没有公共点，则 a 的取值范围是_(1)B(2)(0，21)(1)圆心(0，0)到直线 3x4y50 的距离 d|5|32421，又圆 x2y21 的半径为 1，dr，故直线与圆相切(2)由题意得圆心(0，a)到直
4、线 xy10 的距离大于半径 a，即|a1|2 a，解得 21a 21，又 a0，0a 21 知识点 2 直线与圆相切的几个重要结论 1自一点引圆的切线的条数(1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线；(2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点；(3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线 2切线方程的几个重要结论(1)经过圆 x2y2r2 上一点 P(x0，y0)的切线方程为 x0 xy0yr2(2)经过圆(xa)2(yb)2r2 上一点 P(x0，y0)的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2(3)经过圆 x2y2DxEyF0(D2E24F0)上一点 P(x0，y
5、0)的切线方程为 x0 xy0yDxx02Eyy02F0(4)已知圆 x2y2r2 的切线的斜率为 k，则圆的切线方程为 ykxr k21 3切线长公式(1)从圆外一点 P(x0，y0)引圆(xa)2(yb)2r2 的切线，则点 P到切点的切线长 d x0a2y0b2r2(2)从圆外一点 P(x0，y0)引圆 x2y2DxEyF0(D2E24F0)的切线，则点 P 到切点的切线长 d x20y20Dx0Ey0F 2(1)已知圆的方程为 x2y21，则经过圆上一点 M(1，0)的切线方程是()Ax1By1 Cxy1Dxy1(2)从圆(x1)2(y1)21 外一点 P(2，3)向圆引切线，则切线长
6、为_(1)A(2)2(1)法一：由圆的方程为 x2y21，可知圆心的坐标为(0，0)，圆的半径 r1，故经过圆上一点 M(1，0)的切线方程是 x1 法二：直接应用知识点 2 中切线方程的第(1)个结论得，所求切线方程为 1x0y12，即 x1(2)法一：点 P(2，3)到圆心(1，1)的距离为 212312 5，则切线长为 52122 法二：利用切线长公式，易得切线长为 21231212合作探究释疑难 NO.2类型1 类型2 类型3 类型 1 直线与圆位置关系的判定【例 1】(对接教材人教 B 版 P107 例 1)已知直线 yxb 与圆x2y22，当 b 为何值时，圆与直线有两个公共点？只
7、有一个公共点？没有公共点？解 法一：由x2y22，yxb，得 2x22bxb220，方程的根的判别式(2b)242(b22)4(b2)(b2)(1)当2b2 时，0，直线与圆有两个公共点(2)当 b2 或 b2 时，0，直线与圆只有一个公共点(3)当 b2 或 b2 时，0，方程组没有实数解，直线与圆没有公共点 法二：圆的半径 r 2，圆心 O(0，0)到直线 yxb 的距离为d|b|2 当 dr，即2b2 时，圆与直线相交，有两个公共点 当 dr，|b|2，即 b2 或 b2 时，圆与直线相切，直线与圆只有一个公共点 当 dr，|b|2，即 b2 或 b2 时，圆与直线相离，圆与直线无公共点
8、 直线与圆的位置关系的判断方法跟进训练 1已知圆的方程 x2(y1)22，直线 yxb，当 b 为何值时，圆与直线有两个公共点？只有一个公共点？无公共点？解 法一：由yxb，x2y122 得 2x22(1b)xb22b10，其判别式 4(1b)28(b22b1)4(b3)(b1)，当3b1 时，0，方程有两个不等实根，直线与圆有两个公共点；当 b3 或 1 时，0，方程有两个相等实根，直线与圆有一个公共点；当 b3 或 b1 时，0，方程无实数根，直线与圆无公共点 法二：圆心(0，1)到直线 yxb 距离 d|1b|2，圆半径 r 2 当 dr，即3b1 时，直线与圆相交，有两个公共点；当 d
9、r，即 b3 或 1 时，直线与圆相切，有一个公共点；当 dr，即 b3 或 b1 时，直线与圆相离，无公共点 类型 2 求圆的切线方程 【例 2】过点 A(4，3)作圆 C：(x3)2(y1)21 的切线，求此切线的方程 解 因为(43)2(31)2171，所以点 A 在圆外(1)若所求切线的斜率存在，设切线斜率为 k，则切线方程为 y3k(x4)因为圆心 C(3，1)到切线的距离等于半径，半径为 1，所以|3k134k|k211，即|k4|k21，所以 k28k16k21，解得 k158 所以切线方程为 y3158(x4)，即 15x8y360(2)若直线斜率不存在，圆心 C(3，1)到直
10、线 x4 的距离也为 1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是 x4 综上，所求切线方程为 15x8y360 或 x4 过一点求圆的切线方程的方法(1)点在圆上时 求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率 k，再由垂直关系得切线的斜率为1k，由点斜式可得切线方程如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程 xx0 或 yy0(2)点在圆外时 几何法：设切线方程为 yy0k(xx0)由圆心到直线的距离等于半径，可求得 k，也就得切线方程 代数法：设切线方程为 yy0k(xx0)，与圆的方程联立，消去 y 后得到关于 x 的一元二次方程，由 0 求出 k，可得切线方
11、程 提醒：注意切线的斜率不存在的情况，不要漏解 跟进训练 2过原点的直线与圆 x2y24x30 相切，若切点在第三象限，求该直线的方程 解 圆 x2y24x30 化为标准式(x2)2y21，圆心 C(2，0)，设过原点的直线方程为 ykx，即 kxy0直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，即|2k|k211，3k21，k213，解得 k 33 切点在第三象限，k0，所求直线方程为 y 33 x 类型 3 直线截圆所得弦长问题 【例 3】直线 l 经过点 P(5，5)并且与圆 C：x2y225 相交截得的弦长为 4 5，求 l 的方程 1已知直线 l 与圆相交，如何利用通过求交点坐标的方法求弦
12、长？提示 将直线方程与圆的方程联立解出交点坐标，再利用|AB|x2x12y2y12求弦长 2若直线与圆相交、圆的半径为 r、圆心到直线的距离为 d，如何求弦长？提示 通过半弦长、弦心距、半径构成的直角三角形，如图所示，求得弦长|AB|2 r2d2 解 据题意知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y5k(x5)，与圆 C 相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)法一：联立方程得y5kx5，x2y225.消去 y，得(k21)x210k(1k)x25k(k2)0 由 10k(1k)24(k21)25k(k2)0，解得 k0又 x1x210k1kk21，x1x225kk2k21，由斜率公式
13、，得 y1y2k(x1x2)|AB|x1x22y1y22 1k2x1x22 1k2x1x224x1x2 1k2100k21k2k212425kk2k214 5 两边平方，整理得 2k25k20，解得 k12或 k2，符合题意 故直线 l 的方程为 x2y50 或 2xy50 法二：如图所示，|OH|是圆心到直线 l 的距离，|OA|是圆的半径，|AH|是弦长|AB|的一半 在 RtAHO 中，|OA|5，|AH|12|AB|124 52 5，则|OH|OA|2|AH|2 5|51k|k21 5，解得 k12或 k2 直线 l 的方程为 x2y50 或 2xy50 (变条件)直线 l 经过点 P
14、(2，1)且被圆 C：x2y26x2y150 所截得的弦长最短，求此时直线 l 的方程 解 圆的方程为(x3)2(y1)225，圆心 C(3，1)因为|CP|322112 55，所以点 P 在圆内当 CPl 时，弦长最短 又 kCP11322所以 kl12，所以直线 l 的方程为 y112(x2)，即 x2y0 直线与圆相交时弦长的 2 种求法(1)几何法：如图 1，直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，设弦心距为d，圆的半径为 r，弦长为|AB|，则有|AB|22d2r2，则|AB|2 r2d2 图 1 图 2(2)代数法：如图 2 所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是
15、 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x22y1y22 1k2|x1x2|11k2|y1y2|(直线 l 的斜率 k 存在且不为 0)跟进训练 3直线 3xy2 30，截圆x2y24所得的弦长是_ 2 圆心到直线 3xy2 30 的距离 d|2 3|31 3所以弦长 l2 r2d22 432 当堂达标夯基础 NO.31 3 5 2 4 1直线 yx1 与圆 x2y21 的位置关系是()A相切 B相交但直线不过圆心 C直线过圆心D相离 B 圆心到直线的距离 d11212 22 1 又直线 yx1 不过圆心(0，0)，直线与圆相交但不过圆心 1 3 5 2 4 2设直线 l 过点 P
16、(2，0)，且与圆 x2y21 相切，则 l 的斜率是()A1 B12 C 33 D 3 C 设 l：yk(x2)，即 kxy2k0 又 l 与圆相切，|2k|1k21k 33 1 3 5 2 4 3若圆 C：(x5)2(y1)2m(m0)上有且只有一点到直线4x3y20 的距离为 1，则实数 m 的值为()A4 B16 C4 或 16 D2 或 4 A 由题意知直线与圆相离，则有|45312|4232 m1，解得 m4，故选 A 1 3 5 2 4 4直线 x2y5 50 被圆 x2y22x4y0 截得的弦长为_ 4 圆的标准方程为(x1)2(y2)25，圆心(1，2)到直线 x2y5 50
17、 的距离 d|1225 5|12221，所以弦长为 2 514 1 3 5 2 4 5若直线 xym0 与圆 x2y22 相离，则 m 的取值范围是_(，2)(2，)因为直线 xym0 与圆 x2y22相离，所以|m|1212 2，解得 m2 或 m2 回顾本节知识，自我完成以下问题：1如何正确选择判断直线与圆的位置关系的方法？提示(1)若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；(2)若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达式较繁琐，则用代数法(3)已知直线与圆相交求有关参数值时，根据弦心距、半弦长、半径的关系或者这三条线段形成的三角形的性质求解，而弦心距可利用点到直线的距离公式列式，进而求解即可 2利用代数法判断直线与圆的位置关系时需要注意什么问题？提示(1)代入消元过程中消 x 还是消 y 取决于直线方程的特点，尽量减少分类讨论，如若直线方程为 xay10，则应将其化为 xay1，然后代入消 x(2)利用判别式判断方程是否有根时，应注意二次项系数是否为零，若二次项系数为零，则判别式无意义 点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
