1、2.3 圆及其方程 2.3.2 圆的一般方程 第二章 平面解析几何 学 习 任 务核 心 素 养 1了解圆的一般方程的特点,会由一般方程求圆心和半径(重点)2会根据给定的条件求圆的一般方程,并能用圆的一般方程解决简单问题(重点)3灵活选取恰当的方法求圆的方程(难点)1通过圆的一般方程的学习,培养数学抽象的核心素养2借助圆的一般方程的求解及其应用,培养数学运算的核心素养情境导学探新知 NO.1知识点1 知识点2 知识点3 钻石又名金刚石,提起它的大名,应该说很少有人会不知道,在大自然中,还有另一种与钻石成分一模一样,但用途却完全不同的物质石墨 金刚石 石墨 钻石和石墨的成分都是碳,但是因为碳元素
2、间的结构不同,决定了这一对孪生兄弟有了截然不同的命运 数学上也有因为结构不同而造成“用途”不同的“物质”,如本课要学习的圆的一般方程就是圆的方程的另外一种形式 问题 1:把圆的标准方程(x1)2(y2)29 中的括号展开、整理之后,得到的方程形式是什么样的?是否所有圆的方程都能化成这种形式?问题 2:方程 x2y22x4y10,x2y22x4y60 分别表示什么图形?知识点 1 圆的一般方程的概念 当_时,二元二次方程 x2y2DxEyF0称为圆的一般方程 D2E24F01思考辨析(正确的打“”,错误的打“”)(1)任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程()(2)圆的一般方程和标准方程可以互
3、化()(3)方程 x2y2ax2ay2a2a10 表示圆心为a2,a,半径为12 3a24a4的圆()答案(1)(2)(3)提示(1)正确圆的方程都能写成一个二元二次方程(2)正确圆的一般方程和标准方程是可以互化的(3)错误当 a2(2a)24(2a2a1)0,即2a0,成立则表示圆,否则不表示圆(2)将方程配方后,根据圆的标准方程的特征求解 提醒:应用这两种方法时,要注意所给方程是不是 x2y2DxEyF0 这种标准形式,若不是,则要化为这种形式再求解 跟进训练 2下列方程各表示什么图形?若表示圆,求其圆心和半径(1)x2y2x10;(2)x2y22axa20(a0);(3)2x22y22a
4、x2ay0(a0)解(1)D1,E0,F1,D2E24F1430,方程不表示任何图形(2)D2a,E0,Fa2,D2E24F4a24a20,方程表示点(a,0)(3)方程两边同除以 2,得 x2y2axay0,Da,Ea,F0,a0,D2E24F2a20,方程表示圆,它的圆心为a2,a2,半径 r12 D2E24F 22|a|类型 3 二元二次方程表示圆的条件 【例 3】已知 aR,方程 a2x2(a2)y24x8y5a0 表示圆,则圆心坐标是_,半径是_12x22y24x4y10 表示圆吗?这个方程是圆的一般方程吗?提示 这个方程表示圆,但不是圆的一般方程其一般方程为x2y22x2y120
5、2关于 x,y 的二元二次方程 Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的条件是什么?提示 此方程表示圆的条件是:B0;AC0;D2E24AF0(2,4)5 由题可得 a2a2,解得 a1 或 a2 当 a1 时,方程为 x2y24x8y50,即(x2)2(y4)225,圆心为(2,4),半径为 5;当 a2 时,方程为 4x24y24x8y100,即x122(y1)254,不表示圆 故圆心坐标是(2,4),半径是 5 (变条件)判断方程 ax2ay24(a1)x4y0(a0)是否表示圆,若表示圆,写出圆心和半径 解 法一:a0,原方程可化为 x2y24a1ax4ay0,即x2a1a2y2a24a
6、121a20,原方程表示圆,此时圆心坐标为2a1a,2a,半径 r2 a22a2|a|法二:a0,原方程可化为 x2y24a1ax4ay0 D2E24F16a12a216a216a1216a20,原方程表示圆,此时圆心坐标为2a1a,2a,半径 r2 a22a2|a|二元二次方程表示圆的判断方法二元二次方程中没有 xy 项,若 x2,y2 的系数相等且不为 1 时,先化系数为 1,变为形如 x2y2DxEyF0 的二元二次方程,判断其是否表示圆时有如下两种方法:(1)由圆的一般方程的定义判断 D2E24F 是否为正,若 D2E24F0,则方程表示圆,否则不表示圆(2)将方程配方变成“标准”形式
7、后,根据圆的标准方程的特征,观察是否可以表示圆 跟进训练 3已知定点 A(a,2)在圆 x2y22ax3ya2a0 的外部,求 a 的取值范围 解 由点 A 在圆外得 a242a232a2a0,2a2324a2a0,所以 a2,a94,即 2a94,所以 a 的取值范围是2,94 当堂达标夯基础 NO.31 3 5 2 4 1已知方程 x2y22x2k30 表示圆,则 k 的取值范围为()A(,1)B(3,)C(,1)(3,)D32,A 方程可化为:(x1)2y22k2,只有2k20,即 k1 时才能表示圆 1 3 5 2 4 2若直线 2xym0 过圆 x2y22x4y0 的圆心,则 m的值
8、为()A2 B1 C2 D0 D 圆的标准方程为(x1)2(y2)25,则圆心坐标为(1,2),直线 2xym0 过圆 x2y22x4y0 的圆心,22m0,得 m0 1 3 5 2 4 3以 A(3,1),B(2,2)为直径的圆的方程是()Ax2y2xy80Bx2y2xy90 Cx2y2xy80Dx2y2xy90 1 3 5 2 4 A 设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2,由题意得圆心 O(a,b)为 A,B 的中点,根据中点坐标公式可得 a322 12,b12212,又 r|AB|2 3221222 342,所以圆的标准方程为x122y122172,化简整理得 x2y2xy80,故选
9、 A 1 3 5 2 4 4方程 x2y2axbyc0 表示圆心为(1,2),半径为 1 的圆,则 abc_ 2 根据题意,方程 x2y2axbyc0 表示圆心为(1,2),半径为 1 的圆,则 a21,b22,14a2b24c1,1 3 5 2 4 解得a2,b4,c4.abc2 1 3 5 2 4 5经过三点 A(1,1),B(1,4),C(4,2)的圆的一般方程为_ x2y27x3y20 设圆的一般方程为 x2y2DxEyF0,将 A,B,C 三点的坐标代入方程整理可得 DEF2,D4EF17,4D2EF20,解得D7,E3,F2.故所求圆的一般方程为 x2y27x3y20 回顾本节知识,自我完成以下问题:1圆的标准方程与一般方程有何区别与联系?提示(1)圆的标准方程明确地表达了圆的几何要素,即圆心坐标与半径 圆的一般方程是一种特殊的二元二次方程,它表现出明显的代数结构形式,圆心坐标与半径需要运算才能得出来,即可由一般方程的系数 D,E,F 写出圆的圆心坐标和半径,但要先把二次项的系数化为 1(2)二者可以互化(如图所示):2求圆的方程的基本思想是什么?提示 求圆的方程时,若能根据已知条件找出圆心坐标和半径,则可直接写出圆的标准方程,否则可通过圆的标准方程或圆的一般方程用待定系数法求解 点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!