1、2.3 圆及其方程 2.3.2 圆的一般方程 第二章 平面解析几何 学 习 任 务核 心 素 养 1了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心和半径(重点)2会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题(重点)3灵活选取恰当的方法求圆的方程(难点)1通过圆的一般方程的学习，培养数学抽象的核心素养2借助圆的一般方程的求解及其应用，培养数学运算的核心素养情境导学探新知 NO.1知识点1 知识点2 知识点3 钻石又名金刚石，提起它的大名，应该说很少有人会不知道，在大自然中，还有另一种与钻石成分一模一样，但用途却完全不同的物质石墨 金刚石 石墨 钻石和石墨的成分都是碳，但是因为碳元素
2、间的结构不同，决定了这一对孪生兄弟有了截然不同的命运 数学上也有因为结构不同而造成“用途”不同的“物质”，如本课要学习的圆的一般方程就是圆的方程的另外一种形式 问题 1：把圆的标准方程(x1)2(y2)29 中的括号展开、整理之后，得到的方程形式是什么样的？是否所有圆的方程都能化成这种形式？问题 2：方程 x2y22x4y10，x2y22x4y60 分别表示什么图形？知识点 1 圆的一般方程的概念 当_时，二元二次方程 x2y2DxEyF0称为圆的一般方程 D2E24F01思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程()(2)圆的一般方程和标准方程可以互
3、化()(3)方程 x2y2ax2ay2a2a10 表示圆心为a2，a，半径为12 3a24a4的圆()答案(1)(2)(3)提示(1)正确圆的方程都能写成一个二元二次方程(2)正确圆的一般方程和标准方程是可以互化的(3)错误当 a2(2a)24(2a2a1)0，即2a0，成立则表示圆，否则不表示圆(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解 提醒：应用这两种方法时，要注意所给方程是不是 x2y2DxEyF0 这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解 跟进训练 2下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径(1)x2y2x10；(2)x2y22axa20(a0)；(3)2x22y22a
4、x2ay0(a0)解(1)D1，E0，F1，D2E24F1430，方程不表示任何图形(2)D2a，E0，Fa2，D2E24F4a24a20，方程表示点(a，0)(3)方程两边同除以 2，得 x2y2axay0，Da，Ea，F0，a0，D2E24F2a20，方程表示圆，它的圆心为a2，a2，半径 r12 D2E24F 22|a|类型 3 二元二次方程表示圆的条件 【例 3】已知 aR，方程 a2x2(a2)y24x8y5a0 表示圆，则圆心坐标是_，半径是_12x22y24x4y10 表示圆吗？这个方程是圆的一般方程吗？提示 这个方程表示圆，但不是圆的一般方程其一般方程为x2y22x2y120
5、2关于 x，y 的二元二次方程 Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的条件是什么？提示 此方程表示圆的条件是：B0；AC0；D2E24AF0(2，4)5 由题可得 a2a2，解得 a1 或 a2 当 a1 时，方程为 x2y24x8y50，即(x2)2(y4)225，圆心为(2，4)，半径为 5；当 a2 时，方程为 4x24y24x8y100，即x122(y1)254，不表示圆 故圆心坐标是(2，4)，半径是 5 (变条件)判断方程 ax2ay24(a1)x4y0(a0)是否表示圆，若表示圆，写出圆心和半径 解 法一：a0，原方程可化为 x2y24a1ax4ay0，即x2a1a2y2a24a
6、121a20，原方程表示圆，此时圆心坐标为2a1a，2a，半径 r2 a22a2|a|法二：a0，原方程可化为 x2y24a1ax4ay0 D2E24F16a12a216a216a1216a20，原方程表示圆，此时圆心坐标为2a1a，2a，半径 r2 a22a2|a|二元二次方程表示圆的判断方法二元二次方程中没有 xy 项，若 x2，y2 的系数相等且不为 1 时，先化系数为 1，变为形如 x2y2DxEyF0 的二元二次方程，判断其是否表示圆时有如下两种方法：(1)由圆的一般方程的定义判断 D2E24F 是否为正，若 D2E24F0，则方程表示圆，否则不表示圆(2)将方程配方变成“标准”形式
7、后，根据圆的标准方程的特征，观察是否可以表示圆 跟进训练 3已知定点 A(a，2)在圆 x2y22ax3ya2a0 的外部，求 a 的取值范围 解 由点 A 在圆外得 a242a232a2a0，2a2324a2a0，所以 a2，a94，即 2a94，所以 a 的取值范围是2，94 当堂达标夯基础 NO.31 3 5 2 4 1已知方程 x2y22x2k30 表示圆，则 k 的取值范围为()A(，1)B(3，)C(，1)(3，)D32，A 方程可化为：(x1)2y22k2，只有2k20，即 k1 时才能表示圆 1 3 5 2 4 2若直线 2xym0 过圆 x2y22x4y0 的圆心，则 m的值
8、为()A2 B1 C2 D0 D 圆的标准方程为(x1)2(y2)25，则圆心坐标为(1，2)，直线 2xym0 过圆 x2y22x4y0 的圆心，22m0，得 m0 1 3 5 2 4 3以 A(3，1)，B(2，2)为直径的圆的方程是()Ax2y2xy80Bx2y2xy90 Cx2y2xy80Dx2y2xy90 1 3 5 2 4 A 设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，由题意得圆心 O(a，b)为 A，B 的中点，根据中点坐标公式可得 a322 12，b12212，又 r|AB|2 3221222 342，所以圆的标准方程为x122y122172，化简整理得 x2y2xy80，故选
9、 A 1 3 5 2 4 4方程 x2y2axbyc0 表示圆心为(1，2)，半径为 1 的圆，则 abc_ 2 根据题意，方程 x2y2axbyc0 表示圆心为(1，2)，半径为 1 的圆，则 a21，b22，14a2b24c1，1 3 5 2 4 解得a2，b4，c4.abc2 1 3 5 2 4 5经过三点 A(1，1)，B(1，4)，C(4，2)的圆的一般方程为_ x2y27x3y20 设圆的一般方程为 x2y2DxEyF0，将 A，B，C 三点的坐标代入方程整理可得 DEF2，D4EF17，4D2EF20，解得D7，E3，F2.故所求圆的一般方程为 x2y27x3y20 回顾本节知识，自我完成以下问题：1圆的标准方程与一般方程有何区别与联系？提示(1)圆的标准方程明确地表达了圆的几何要素，即圆心坐标与半径 圆的一般方程是一种特殊的二元二次方程，它表现出明显的代数结构形式，圆心坐标与半径需要运算才能得出来，即可由一般方程的系数 D，E，F 写出圆的圆心坐标和半径，但要先把二次项的系数化为 1(2)二者可以互化(如图所示)：2求圆的方程的基本思想是什么？提示 求圆的方程时，若能根据已知条件找出圆心坐标和半径，则可直接写出圆的标准方程，否则可通过圆的标准方程或圆的一般方程用待定系数法求解 点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!