1、2023届六校第一次联考数学试题满分：150分。考试时间：120分钟。注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。并用2B铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答卷无效。2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束
2、后，只需将答题卡交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合，则如图中阴影部分表示的集合为（）ABCD2设复数，其中i是虚数单位，是的共轭复数，下列判断中错误的是（）ABCz是方程的一个根D满足最小正整数n为33.直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则（）A2B4C6D84我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论：若随机变量，当充分大时，二项随机变量可以由正态随机变量来近似地替代，且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同.法国数学家棣莫弗在
3、1733年证明了时这个结论是成立的，法国数学家物理学家拉普拉斯在1812年证明了这个结论对任意的实数都成立，因此，人们把这个结论称为棣莫弗一拉普拉斯极限定理.现拋掷一枚质地均匀的硬币900次，利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于420次的概率为（）附：若，则，ABCD5已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A直线是图象的一条对称轴B图象的对称中心为，C在区间上单调递增D将的图象向左平移个单位长度后，可得到一个奇函数的图象6中国古代的蹴鞠游戏中的“蹴”的含义是脚蹴、踢，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，如图所示.已知某“鞠”的表面上有四
4、个点，满足面ABC，若，则该“鞠”的体积的最小值为（）ABCD7设，则（）ABCD8定义在R上的函数满足；且当时，则方程所有的根之和为（）A14B12C10D8二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A存在如下关系：.王同学连续两天在某高校的甲乙两家餐厅就餐，王同学第一天去甲乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6.如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.6；如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0
5、.5，则王同学（）A第二天去甲餐厅的概率为0.54B第二天去乙餐厅的概率为0.44C第二天去了甲餐厅，则第一天去乙餐厅的概率为D第二天去了乙餐厅，则第一天去甲餐厅的概率为10.已知函数，下列关于此函数的论述正确的是（）A是的一个周期B函数的值域为C函数在上单调递减D函数在内有4个零点11已知双曲线的左，右顶点分别为，点P，Q是双曲线C上关于原点对称的两点（异于顶点），直线，的斜率分别为，若，则下列说法正确的是（）A双曲线C的渐近线方程为B双曲线C的离心率为C为定值D的取值范围为12如图，已知正方体的棱长为2，点M为的中点，点P为正方形上的动点，则（）A满足MP/平面的点P的轨迹长度为B满足的点
6、P的轨迹长度为C不存在点P，使得平面AMP经过点BD存在点P满足三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13若的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项是_14如图放置的边长为2的正方形ABCD顶点A，D分别在轴，轴正半轴（含原点）上滑动，则的最大值是_15已知：，直线：，为直线上的动点，过点作的切线，切点为A，当四边形的面积取最小值时，直线AB的方程为_16若不等式有且仅有一个正整数解，则实数a的取值范围是_四、解答题：本题共6小题，第17题10分，第1822题各12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，(
7、1)求角B的大小；(2)在下列两个条件中选择一个作为已知，求BC边上的中线AM的长的面积为；的周长为18已知数列的前n项和为，且满足，.（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，按照如下规律构造新数列：，求数列的前2n项和.19如图（一）四边形ABCD是等腰梯形，过D点作，垂足为E点，将沿DE折到位置如图（二），且(1)证明：平面平面EBCD；(2)已知点P在棱上，且，求平面与平面夹角的余弦值.20.足球是一项大众喜爱的运动。2022卡塔尔世界杯揭幕战将在2022年11月21日打响，决赛定于12月18日晚进行，全程为期28天.（1）为了解喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各100
8、名观众进行调查，得到22列联表如下：喜爱足球运动不喜爱足球运动合计男性6040100女性2080100合计80120200依据小概率值a=0.001的独立性检验，能否认为喜爱足球运动与性别有关?（2）校足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到记开始传球的人为第1次触球者，第次触球者是甲的概率记为，即（i）求（直接写出结果即可）；（ii）证明：数列为等比数列，并判断第19次与第20次触球者是甲的概率的大小21椭圆经过点且离心率为；直线与椭圆交于，两点，且以为直径的圆过
9、原点.(1)求椭圆的方程；(2)若过原点的直线与椭圆交于两点，且，求四边形面积的最大值.22已知函数(1)求证：；(2)设函数，若在上存在最大值，求实数a的取值范围2023届六校第一次联考数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分。题号12345678答案DBDACCBA二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分。题号9101112全部正确选项ACBDBCDACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.40 14.8 15. 16. 17.解：(1)，则由正弦定理可得，1分，3分，4分，解得5分(2)若选择（1），由（1）可得，即6分则，解得，
10、8分则由余弦定理可得10分若选择（2）：由（1）可得，设的外接圆半径为R，6分则由正弦定理可得，则周长，解得，则，8分则由余弦定理可得10分18.解：（1）当时，由且得1分当时，由得，所以.2分所以，3分又当时，适合上式.4分所以.5分（2）因为，所以，6分又，所以.7分所以数列的偶数项构成以为首项2为公比的等比数列.8分故数列的前2n项的和，11分所以数列的前2n项和为.12分19.解：(1)证明：在等腰梯形ABCD中，1分，在中，知，2分又EC，面EBCD，面EBCD3分面，面面EBCD4分(2)由（1）知面EBCD，以E为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系5分，设，6分设是面CEP的法
11、向量，令，8分设是面DEP的法向量，令，。10分设平面与平面夹角为，则11分平面与平面夹角的余弦值为12分20.解：（1）假设：喜爱足球运动与性别独立，即喜爱足球运动与性别无关1分根据列联表数据，经计算得3分根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为喜爱足球运动与性别有关，此推断犯错误的概率不超过0.0014分（2）（i）由题意 5分（ii）第次触球者是甲的概率记为，则当时，第次触球者是甲的概率为，第次触球者不是甲的概率为，则，7分从而，8分又，是以为首项，公比为的等比数列 9分则，10分，故第19次触球者是甲的概率大12分21.解：(1)椭圆经过点，1分椭圆的离心率为，则，即2分即，解
12、得，3分所以椭圆的方程为.4分(2)当直线斜率不存在时，方程为，直线过中点，即为轴，得，5分当直线斜率存在时，设其方程为，联立可得则，6分以为直径的圆过原点即化简可得，代入两式，整理得即7分将式代入式，得恒成立则8分设线段中点为，由，不妨设t0,得，又，9分又由，则点坐标为，化简可得，代回椭圆方程可得即10分则，11分综上，四边形面积的最大值为.12分22.解：(1)要证明，只要证明设，1分则，2分令，则；令，则，所以在上单调递减，在单调递增，3分所以，即，即，即4分(2)由题可得，令，则，5分当时，在上单调递增，所以，所以在上单调递增，无最大值，不符合题意，6分当时，在上单调递减，所以，所以在上单调递减，无最大值，不符合题意7分当时，由，可得，在上单调递增，在上单调递减；8分由（1）知：所以当时，取，则，且9分又，所以由零点存在性定理，存在，使得，所以当时，即，当时，即，10分所以在上单调递增，在上单调递减，在上存在最大值，符合题意11分综上，实数a的取值范围为12分
