1、2020年高中数学阶段测试一、单选题1.设函数在可导，则（ ）A. B. C. D. 不能确定【答案】C【解析】【分析】根据极限的运算法则有结合导数的极限定义求解即可【详解】函数在可导，则 故选：C【点睛】本题主要考查导数的定义和极限的概念和运算，转化为极限形式是解决本题的关键属于基础题.2.义乌国际马拉松赛，某校要从甲乙丙丁等人中挑选人参加比赛，其中甲乙丙丁人中至少有人参加且甲乙不同时参加，丙丁也不同时参加，则不同的报名方案有（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意，分3种情况讨论：，甲乙丙丁4人中，只从甲乙中选出1人，甲乙丙丁4人中，只从丙丁中选出1人，甲乙丙丁4人
2、中，从甲乙、丙丁中各选1人，由加法原理计算可得答案【详解】根据题意，分3种情况讨论：，甲乙丙丁4人中，只从甲乙中选出1人，需要在其他6人中选出2人，有种报名方案，甲乙丙丁4人中，只从丙丁中选出1人，需要在其他6人中选出2人，有种报名方案，甲乙丙丁4人中，从甲乙、丙丁中各选1人，需要在其他6人中选出1人，有种报名方案；故有种报名方案；故选：【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于中档题3.的展开式中项的系数是（ ）A. 420B. -420C. 1680D. -1680【答案】A【解析】【分析】表示的是8个相乘，要得到，则其中有2个因式取，有两个因式取，其余4个因式都取1，
3、然后算出即可.【详解】表示的是8个相乘，要得到，则其中有2个因式取，有两个因式取其余4个因式都取1所以展开式中 项的系数是.故选：A【点睛】本题考查的是二项式定理，属于典型题.4.小明的妈妈为小明煮了 个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件，事件，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】由题意，P（A）=，P（AB）=，P（B|A）=，故选B5.某次战役中，狙击手A受命射击敌机，若要击落敌机，需命中机首2次或命中机中3次或命中机尾1次，已知A每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2、0.4、0.1，未命中敌机的概率为0.3，且各次射击相互独立若A至
4、多射击两次，则他能击落敌机的概率为（ ）A. 0.23B. 0.2C. 0.16D. 0.1【答案】A【解析】每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为,未命中敌机的概率为,且各次射击相互独立，若射击一次就击落敌机，则他击中利敌机的机尾，故概率为；若射击次就击落敌机，则他次都击中利敌机的机首，概率为；或者第一次没有击中机尾、且第二次击中了机尾，概率为 ,若至多射击两次，则他能击落敌机的概率为 ,故选.6.若对于函数图象上任意一点处的切线，在函数的图象上总存在一条切线，使得，则实数a的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】转化条件得，使得成立，利用基本不等式求得的取值
5、范围后即可得解.【详解】函数，函数，要使过曲线 上任意一点的切线为，在函数 的图象上总存在一条切线 ，使得，则即，当且仅当时等号成立，使得等式成立，所以，解得：或.故选：A.【点睛】本题考查了导数的几何意义和基本不等式的应用，考查了转化化归思想，属于中档题.7.若函数 在区间 内单调递增，则实数 的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出函数的导数，问题转化为a- ，而g（x）=在（，2）递增，求出g（x）的最小值，从而求出a的范围即可【详解】f（x）=+2ax，若f（x）在区间（，2）内存在单调递增区间，则f（x）0在x（，2）有解，故a- ，而g（x）=在（，
6、2）递增，g（x）g（）=2，故a2，故选B【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数有解以及函数的最值的求法，可以用变量分离的方法求参数的范围，也考查转化思想以及计算能力8.已知函数，若是的导函数，则函数的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求导数，再利用二次求导研究导函数零点以及对应区间导函数符号，即可判断选择.【详解】因此当时，；当时，；当时，；故选：A【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性以及零点，考查基本分析判断能力，属中档题.二、多选题9.甲、乙、丙三人在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门若同学甲必选物理，则下列说法正确的是（ ）
7、A. 甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事件B. 甲的不同的选法种数为15C. 已知乙同学选了物理，乙同学选技术概率是D. 乙、丙两名同学都选物理的概率是【答案】BD【解析】【分析】根据对立事件的概念可判断A；直接根据组合的意义可判断B；乙同学选技术的概率是可判断 C；根据相互独立事件同时发生的概率可判断D.【详解】甲、乙、丙三人至少一人选化学与全不选化学是对立事件，故A错误；由于甲必选物理，故只需从剩下6门课中选两门即可，即种选法，故B正确；由于乙同学选了物理，乙同学选技术的概率是，故C错误；乙、丙两名同学各自选物理的概率均为，故乙、丙两名同学都选物理的概率是，故D正确；故选BD.
8、【点睛】本题主要考查了对立事件的概念，事件概率的求法以及相互独立事件同时发生的概率，属于基础题.10.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ）A. B. C. 事件与事件相互独立D. ，是两两互斥的事件【答案】BD【解析】【分析】由题意，是两两互斥的事件，由条件概率公式求出，对照四个选项判断即可.【详解】由题意，是两两互斥的事件，故B正确；，故A，C不正确；，是两两互斥的事件，故D正确.故选：
9、BD【点睛】本题考查了互斥事件和条件概率，考查了学生实际应用，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.11.已知函数，则以下结论正确的是( )A. 在上单调递增B. C. 方程有实数解D. 存在实数，使得方程有个实数解【答案】BCD【解析】【分析】求导得到函数的单调性得到错误；判断得到正确；根据得到正确；构造函数，画出函数图象知正确，得到答案.详解】，则，故函数在上单调递减，在上单调递增，错误；，根据单调性知，正确；，故方程有实数解，正确；，易知当时成立，当时，设，则，故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且.画出函数图象，如图所示：当时有3个交点.综上所述：存在实数，使得方程有个实数
10、解，正确；故选：.【点睛】本题考查了函数的单调性，比较函数值大小，方程解的个数，意在考查学生对于函数知识的综合应用.12.设函数，则下列说法正确的是A. 定义域是（0，+）B. x（0，1）时，图象位于x轴下方C. 存在单调递增区间D. 有且仅有两个极值点E. 在区间（1，2）上有最大值【答案】BC【解析】【分析】利用函数的解析式有意义求得函数的定义域，再利用导数求解函数的单调区间和极值、最值，逐项判定，即可求解，得到答案【详解】由题意，函数满足，解得且，所以函数的定义域为，所以A不正确；由，当时，所以在上的图象都在轴的下方，所以B正确；所以在定义域上有解，所以函数存在单调递增区间，所以C是正
11、确；由，则，所以，函数单调增，则函数只有一个根，使得，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，所以函数只有一个极小值，所以D不正确；由，则，所以，函数单调增，且，所以函数在先减后增，没有最大值，所以E不正确，故选BC【点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解，以及利用导数研究函数的单调性与极值、最值问题，其中解答中准确求解函数的导数，熟记函数的导数与原函数的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题三、填空题13.代数式（1x）（1+x）5的展开式中x3的系数为_【答案】0【解析】【分析】根据二项式定理写出（1+x）5的展开式，即可得到x3的系数.【详解】（1x）（1+x）5（1x）
12、（xx2x3x4x5），（1x）（1+x）5 展开式中x3的系数为110故答案为：0【点睛】此题考查二项式定理，关键在于熟练掌握定理的展开式，根据多项式乘积关系求得指定项的系数.14.袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量X，则P(X6)_.【答案】【解析】根据题意可知取出的4只球中红球个数可能为4，3，2，1个，黑球相应个数为0，1，2，3个，其分值X相应为4，6，8，10.15.甲、乙两位同学进行篮球三分球投篮比赛，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，每人分别进行三次投篮.乙恰好比甲多投进2次的概率是_.【答案】；【解析】【分
13、析】将事件拆分为乙投进3次，甲投进1次和乙投进2次，甲投进0次，再根据二项分布的概率计算公式和独立事件的概率计算即可求得.【详解】根据题意，甲和乙投进的次数均满足二项分布，且甲投进和乙投进相互独立；根据题意：乙恰好比甲多投进2次，包括乙投进3次，甲投进1次和乙投进2次，甲投进0次.则乙投进3次，甲投进1次的概率为；乙投进2次，甲投进0次的概率为.故乙恰好比甲多投进2次的概率为.故答案为：.【点睛】本题考查二项分布的概率计算，属综合基础题.16.函数的极大值为_.【答案】【解析】【分析】求得函数的定义域，再对其求导，令，解得驻点，说明单调性，即可找到并求得极大值.【详解】因为函数，其定义域为求其
14、求导令，得所以当时，函数单调递增；当时，函数单调递减所以时，由极大值故答案为：【点睛】本题考查利用导数求函数的极大值，其过程优先确定定义域，求导并令导函数等于零得到驻点，分析驻点左右单调性，进而求得极值，属于较难题.四、解答题17.已知二项式的展开式中第五项为常数项.（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中有理项的系数和.【答案】（1）；（2）121【解析】【分析】（1），为常数项，所以，可求出的值，进而求得二项式系数最大的项；（2）由题意为有理项，直接计算即可.【详解】（1），为常数项，二项式系数最大的项为第3项和第4项.，.（2）由题意为有理项，有理项系数和为.【点睛】本题考查
15、了二项式的展开式，需熟记二项式展开式的通项，属于基础题.18.私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力为此，很多城市实施了机动车车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了人，将调查情况进行整理后制成下表：年龄（岁）频数赞成人数（）完成被调查人员的频率分布直方图（）若从年龄在，的被调查者中各随机选取人进行追踪调查，求恰有人不赞成的概率（）在在条件下，再记选中的人中不赞成“车辆限行”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望【答案】（1）见解析（2）（3）见解析【解析】试题分析：（1）
16、根据频率等于频数除以总数，再求频率与组距之比得纵坐标，画出对应频率分布直方图（2）先根据2人分布分类，再对应利用组合求概率，最后根据概率加法求概率，（3）先确定随机变量，再根据组合求对应概率，列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望.试题解析：（）（2）由表知年龄在内的有人，不赞成的有人，年龄在 内的有人，不赞成的有人，恰有人不赞成的概率为：（3） 的所有可能取值为：，所以的分布列是：所以的数学期望19.在2016年8月巴西里约热内卢举办的第31届奥运会上，乒乓球比赛团体决赛实行五场三胜制，且任何一方获胜三场比赛即结束.甲、乙两个代表队最终进入决赛，根据双方排定的出场顺序及以往战绩统计分析，
17、甲队依次派出的五位选手分别战胜对手的概率如下表：出场顺序1号2号3号4号5号获胜概率若甲队横扫对手获胜（即30获胜）的概率是，比赛至少打满4场的概率为.（1）求，的值；（2）求甲队获胜场数的分布列和数学期望.【答案】（1）；（2）分布列见解析；【解析】【分析】（1）利用甲队横扫对手获胜（即获胜）的概率是，比赛至少打满4场的概率为，建立方程组，即可求，的值；（2）求得甲队获胜场数的可能取值，求出相应的概率，可得分布列和数学期望【详解】解：（1）由题意，解得（2）设甲队获胜场数为，则的可取的值为0，1，2，3，的分布列为 0 1 23 【点睛】本题考查概率知识的运用，考查离散型随机变量的分布列与数
18、学期望，考查学生的计算能力，属于中档题20.南昌市在2018年召开了全球VR产业大会，为了增强对青少年VR知识的普及，某中学举行了一次普及VR知识讲座，并从参加讲座的男生中随机抽取了50人，女生中随机抽取了70人参加VR知识测试，成绩分成优秀和非优秀两类，统计两类成绩人数得到如左的列联表：优秀非优秀总计男生a3550女生30d70总计4575120（1）确定a,d的值；（2）试判断能否有90%的把握认为VR知识测试成绩优秀与否与性别有关；（3）现从该校测试成绩获得优秀的同学中按性别采用分层抽样的方法，随机选出6名组成宣传普及小组从这6人中随机抽取2名到校外宣传，求“到校外宣传的2名同学中至少有
19、1名是男生”的概率.附： 0.250.150.100.050.0250.0101.3232.0722.7063.8415.0246.635【答案】（1）；（2）没有；（3）【解析】【分析】（1）结合题表信息，即可计算a,d，即可（2）结合，代入数据，计算，判定，即可（3）计算概率，可以从反面进行进展，计算总数，计算2人全部都是女生的总数，计算概率，即可【详解】（1），解得（2）结合卡方计算方法可知n=120，得到而要使得概率为则90%,，不满足条件，故没有（3）结合a=15，结合分层抽样原理，抽取6人，则男生中抽取2人，女生抽取4人，则从6人中抽取2人，一共有，如果2人全部都是女生，则有，故概
20、率为.【点睛】本道题考查了古典概率计算方法，考查了计算方法，考查了列联表，难度中等21.已知函数（）讨论函数在定义域内的极值点的个数；（）若函数在处取得极值，对恒成立，求实数的取值范围.【答案】（）时在上没有极值点，当时，在上有一个极值点（）【解析】【详解】试题分析：（）显然函数的定义域为.因为，所以，当时，在上恒成立，函数在单调递减，在上没有极值点； 当时，由得，由得，在上递减，在上递增，即在处有极小值当时在上没有极值点，当时在上有一个极值点（）函数在处取得极值，由（）结论知，令，所以，令可得在上递减，令可得在上递增，即. 考点：本小题主要考查函数的求导、函数的单调性、函数的极值最值和恒成立
21、问题，考查学生分析问题、解决问题的能力和分类讨论思想的应用以及运算求解能力.点评：导数是研究函数问题的有力工具，常常用来解决函数的单调性、极值、最值等问题.对于题目条件较复杂，设问较多的题目审题时，应该细致严谨，将题目条件条目化，一一分析，细心推敲.对于设问较多的题目，一般前面的问题较简单，问题难度阶梯式上升，先由条件将前面的问题正确解答，然后将前面问题的结论作为后面问题解答的条件，注意问题之间的相互联系，使问题化难为易，层层解决.22.已知函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有个不同的零点，求实数的取值范围.【答案】（1）当时在上单调递减，当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）【解
22、析】【分析】（1）分两种情况讨论导数的符号后可得函数的单调区间.（2）根据（1）可知且，后者可得实数取值范围为，再根据，结合零点存在定理可知当时函数确有两个不同的零点.【详解】（1）解：因为，当时，总有，所以在上单调递减.当时，令，解得.故时，所以在上单调递增.同理时，有，所以在上单调递减.（2）由（1）知当时，单调递减，所以函数至多有一个零点，不符合已知条件，由（1）知当时，所以当时，解得，从而.又时，有，因为，令，则，所以在为增函数，故，所以，根据零点存在定理可知：在内有一个零点，在内有一个零点，故当函数有个零点时，的取值范围为.【点睛】导数背景下函数零点个数问题，应该根据单调性和零点存在定理来说明取点时要依据函数值容易计算、与极值点有明确的大小关系这两个原则，讨论所取点的函数值的正负时，可构建新函数，通过导数讨论函数的最值的正负来判断.
