1、2.3圆的方程2.3.1圆的标准方程学习目标1.会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点.2.会根据已知条件求圆的标准方程.3.能准确判断点与圆的位置关系.知识链接1.平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆.2.确定一个圆的基本要素是圆心和半径.3.平面上两点间的距离公式d.预习导引1.圆的定义及圆的标准方程(1)圆的定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆.定点圆的圆心；定长圆的半径.(2)圆的标准方程设圆的圆心是C(a，b)，半径为r，则圆的标准方程是(xa)2(yb)2r2，当圆的圆心在坐标原点时，圆的半径为r，则圆的标准方程是x2y2r2.2.点与圆的位置关系点与圆有三
2、种位置关系，即点在圆外、点在圆上、点在圆内，判断点与圆的位置关系有两种方法：(1)将所给的点M与圆心C的距离跟半径r比较：若|CM|r，则点M在圆上；若|CM| r，则点M在圆外；若|CM|r，则点M在圆内.(2)可利用圆C的标准方程(xa)2(yb)2r2来确定：点M(m，n)在圆C上(ma)2(nb)2r2；点M(m，n)在圆C外(ma)2(nb)2r2；点M(m，n)在圆C内(ma)2(nb)2r2.要点一点与圆的位置关系例1已知点A(1,2)不在圆C：(xa)2(ya)22a2的内部，求实数a的取值范围.解由题意，点A在圆C上或圆C的外部，(1a)2(2a)22a2，2a50，a，又a
3、0，a的取值范围是(0，).规律方法判断点P(x0，y0)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系有几何法与代数法两种，对于几何法，主要是利用点与圆心的距离与半径比较大小.对于代数法，主要是把点的坐标直接代入圆的标准方程，具体判断方法如下：当(x0a)2(y0b)2r2时，点在圆外.跟踪演练1点P(m2,5)与圆x2y224的位置关系是()A.在圆外 B.在圆内 C.在圆上 D.不确定答案A解析把点P(m2,5)代入圆的方程x2y224得m42524，故点P在圆外.要点二求圆的标准方程例2求过点A(1，1)，B(1,1)且圆心在直线xy20上的圆的标准方程.解方法一设点C为圆心，点C在直线xy2
4、0上，可设点C的坐标为(a,2a).又该圆经过A，B两点，|CA|CB|.，解得a1.圆心坐标为C(1,1)，半径长r|CA|2.故所求圆的标准方程为(x1)2(y1)24.方法二由已知可得线段AB的中点坐标为(0,0)，kAB1，所以弦AB的垂直平分线的斜率为k1，所以AB的垂直平分线的方程为y01(x0)，即yx.则圆心是直线yx与xy20的交点，由得即圆心为(1,1)，圆的半径为2，故所求圆的标准方程为(x1)2(y1)24.规律方法直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程.跟踪演练2以两点A(3，1)和B(5,5)为直径端
5、点的圆的方程是()A.(x1)2(y2)210 B.(x1)2(y2)2100C.(x1)2(y2)25 D.(x1)2(y2)225答案D解析点A(3，1)和B(5,5)的中点坐标为(1,2)，以A、B为直径的圆的圆心坐标为(1,2)，半径r5.所求圆的方程为(x1)2(y2)225.要点三圆的方程的综合应用例3已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1,0)，B(5,0)，(1)求此圆的标准方程；(2)设P(x，y)为圆C上任意一点，求P(x，y)到直线xy10的距离的最大值和最小值.解(1)由已知，得C(3,0)，r2，所求方程为(x3)2y24.(2)圆心C到直线xy10的距离d2.P
6、到直线的最大距离为22，最小距离为22.规律方法解答本题应用了圆的性质，即圆上任意一点到圆心的距离都等于半径，解题过程中用数形结合的思想能有效地找到解题的捷径，即过圆心作已知直线的垂线，便于求解此题.跟踪演练3已知圆C：(x3)2(y4)21，点A(0，1)，B(0,1)，设P是圆C上的动点，令d|PA|2|PB|2，求d的最大值及最小值.解设P(x，y)，则d|PA|2|PB|22(x2y2)2.|CO|25225，(51)2x2y2(51)2.即16x2y236.d的最小值为216234.最大值为236274.1.圆(x2)2(y3)22的圆心和半径分别是()A.(2,3)，1 B.(2，
7、3)，3C.(2,3)， D.(2，3)，答案D2.以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是()A.x2y22 B.x2y24C.(x2)2(y2)28 D.x2y2答案B3.已知两圆C1：(x5)2(y3)29和C2：(x2)2(y1)25，则两圆圆心间的距离为_.答案5解析C1圆心为(5,3)，C2圆心为(2，1)，则d5.4.圆的直径端点为A(2,0)，B(2，2)，则此圆的标准方程为_.答案(x2)2(y1)21解析圆心C(2，1)，半径r1，圆的标准方程为(x2)2(y1)21.5.若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线yx对称，则圆C的标准方程为_.答案x2(y1)21解析由题意知圆C的圆心为(0,1)，半径为1，所以圆C的标准方程为x2(y1)21.1.确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组求a，b，r或直接求出圆心(a，b)和半径r.另依据题意适时的运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题效率.2.讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中利用几何特征较为直观、快捷.
