1、1.2 空间向量在立体几何中的应用 1.2.1 空间中的点、直线与空间向量 第一章 空间向量与立体几何 学 习 任 务核 心 素 养 1了解空间中的点与空间向量的关系2理解直线的方向向量(重点)3掌握利用空间向量求空间中两直线所成的角的方法(重点、难点)4掌握利用空间向量证明两条直线平行或垂直的方法(重点)5理解公垂线段的概念并会求其长度1通过学习直线的方向向量、公垂线段等概念，培养数学抽象素养2利用向量法证明两直线垂直，求两直线所成的角，提升逻辑推理和数学运算素养情境导学探新知 NO.1知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 某市中学生运动会上，射箭运动员听到口令后同时把箭射出，假设箭运动的
2、轨迹都是平行直线，如图箭在运动过程中，每处在一个位置都表示该直线的方向向量问题：直线的方向向量有何特点？知识点 1 空间中的点与空间向量一般地，如果在空间中指定一点 O，那么空间中任意一点 P 的位置，都可以由向量 唯一确定，此时，OP 通常称为点 P 的_ 空间直角坐标系中的任意一点都由它的位置向量唯一确定 位置向量OP1空间直角坐标系中，O 为坐标原点，若点 P 的坐标为(1，2，3)，则点 P 的位置向量OP _(1，2，3)由点 P 的坐标知OP(1，2，3)知识点 2 空间中的直线与空间向量 一般地，如果 l 是空间中的一条直线，v 是空间中的一个非零向量，且表示 v 的有向线段所在
3、的直线与 l_，则称 v 为直线l 的一个_此时，也称向量 v 与直线 l_，记作(1)如果 A，B 是直线 l 上两个不同的点，则 vAB就是直线 l 的一个_ 平行或重合方向向量平行方向向量vl1直线 l 的方向向量唯一吗？直线 l 的方向向量之间有怎样的关系？提示 直线 l 的方向向量不唯一，若 v 为直线的方向向量，则v(0)也为直线 l 的方向向量，直线 l 的任意两个方向向量都平行 2空间中的直线 l 的位置由 v 能确定吗？提示 空间中直线 l 的位置可由 v 和直线上的一个点唯一确定(2)如果 v1 是直线 l1 的一个方向向量，v2 是直线 l2 的一个方向向量，则 v1v2
4、_ l1l2 或 l1 与 l2 重合2思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)直线 l 的方向向量是唯一的()(2)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反()(3)若向量 a 是直线 l 的一个方向向量，则向量 ka 也是直线 l 的一个方向向量()答案(1)(2)(3)提示(1)与直线 l 平行或共线的任何向量都可作为 l 的方向向量(2)(3)k0 知识点 3 空间中两条直线所成的角 (1)设 v1，v2 分别是空间中直线 l1，l2 的方向向量，且 l1 与 l2 所成角的大小为，则 或 ，所以 sin sin，cos (2)v1，v22_v1v2_ l1l20|cosv
5、1，v2|v1，v2v1，v2v1，v2(1)两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角求得，但二者不完全相等当两方向向量的夹角为钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角如：若直线 l1 的方向向量与 l2的方向向量的夹角为 150，则 l1与 l2这两条异面直线所成的角为 30(2)用向量方法求两条直线所成的角时，若能建立空间直角坐标系，则相关向量可用坐标表示，通过向量坐标运算求解；若建系不方便，则可选用基向量表示其他向量，通过向量运算求解 3若异面直线 l1，l2 的方向向量分别是 a(0，2，1)，b(2，0，4)，则异面直线 l1 与 l2 的夹角的余弦值等于()A25 B2
6、5 C2 55 D2 55 B|a|5，|b|2 5，ab(0，2，1)(2，0，4)4，cosa，b452 525 异面直线夹角的范围是0，2，选 B 知识点 4 异面直线与空间向量设 v1，v2 分别是空间中直线 l1 与 l2 的方向向量(1)若 l1 与 l2 异面，则 v1 与 v2 的关系为 v1 与 v2 不平行(2)若 v1 与 v2 不平行，则 l1 与 l2 的位置关系为_“v1 与 v2 不平行”是“l1 与 l2 异面”的必要不充分条件 相交或异面(3)若 Al1，Bl2，则 l1 与 l2 异面时，v1，v2，AB_若 v1，v2，AB不共面，则 l1 与 l2 异面
7、“v1，v2，AB不共面”是“l1 与 l2 异面”的充要条件(4)公垂线段：一般地，如果 l1 与 l2 是空间中两条异面直线，Ml1，Nl2，_，则称 MN 为 l1 与 l2 的公垂线段，两条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的_ 空间中任意两条异面直线的公垂线段都存在并且唯一 不共面MNl1，MNl2距离4若直线 l1，l2 的方向向量分别为 a(1，2，2)，b(2，3，2)，则()Al1l2Bl1l2 Cl1，l2 相交但不垂直D不能确定B ab2640，ab，l1l2，故选 B合作探究释疑难 NO.2类型1 类型2 类型3 类型 1 空间中的点的位置的确定【例 1】已
8、知 O 是坐标原点，A，B，C 三点的坐标分别为 A(3，4，0)，B(2，5，5)，C(0，3，5)(1)若OP 12(ABAC)，求 P 点的坐标；(2)若 P 是线段 AB 上的一点，且 APPB12，求 P 点的坐标 解(1)AB(1，1，5)，AC(3，1，5)，OP 12(ABAC)12(2，2，0)(1，1，0)，P 点的坐标为(1，1，0)(2)由 P 是线段 AB 上的一点，且 APPB12，知AP12PB 设点 P 的坐标为(x，y，z)，则AP(x3，y4，z)，PB(2x，5y，5z)，故(x3，y4，z)12(2x，5y，5z)，即 x3122x，y4125y，z12
9、5z，解得x83，y133，z53.因此 P 点的坐标为83，133，53 如何在空间直角坐标系中确定点的坐标？提示 此类问题常转化为向量的共线、向量的相等解决，设出要求的点的坐标，利用已知条件得关于要求的点的坐标的方程或方程组求解即可 跟进训练 1已知点 A(2，4，0)，B(1，3，3)，如图，以AB的方向为正方向，在直线 AB 上建立一条数轴，P，Q 为轴上的两点，且分别满足条件：(1)APPB12；(2)AQQB21 求点 P 和点 Q 的坐标 解 由已知，得PB2AP，即OB OP 2(OP OA)，OP 23OA 13OB 设点 P 坐标为(x，y，z)，则上式换用坐标表示，得(x
10、，y，z)23(2，4，0)13(1，3，3)，即 x431353，y8333113，z011 因此，P 点的坐标是53，113，1 因为 AQQB21，所以AQ 2QB，OQ OA 2(OB OQ)，OQ OA 2OB，设点 Q 的坐标为(x，y，z)，则上式换用坐标表示，得(x，y，z)(2，4，0)2(1，3，3)(0，2，6)，即 x0，y2，z6 因此，Q 点的坐标是(0，2，6)综上，P 点的坐标是53，113，1，Q 点的坐标是(0，2，6)类型 2 利用向量法求异面直线的夹角(或余弦值)【例 2】(对接教材人教 B 版 P32 例 3)已知直三棱柱 ABC-A1B1C1中，AB
11、C120，AB2，BCCC11，则异面直线 AB1 与 BC1所成角的余弦值为()A 32 B 155 C 105D 33 C 法一：以点 B 为坐标原点，BC 所在直线为 x 轴，在平面 ABC内，过点 B 且垂直于 BC 的直线为 y 轴，BB1 所在直线为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Bxyz，则 B(0，0，0)，C1(1，0，1)，B1(0，0，1)因为ABC120，设 A 点坐标为(xA，yA，0)，则 xAABcos1201，yAABsin 120 3，即 A(1，3，0)易得BC1(1，0，1)，AB1(1，3，1)设异面直线 AB1 与 BC1 所成角为，则cos|
12、AB1 BC1|AB1|BC1|115 2 105 法二：如图，设 M，N，P 分别为 AB，BB1，B1C1 的中点，连接MN，NP，MP，则 MNAB1，NPBC1，所以PNM 或其补角为异面直线 AB1与BC1所成的角易知 MN12AB1 52，NP12BC1 22 取BC 的中点 Q，连接 PQ，MQ，可知PQM 为直角三角形，PQ1，MQ12AC在ABC 中，AC2AB2BC22ABBCcosABC4122112 7，所以 AC 7，MQ 72 在MQP 中，MP MQ2PQ2 112，则在PMN 中，cosPNMMN2NP2PM22MNNP52222211222 52 22 105
13、，所以异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为 105 法三：如图所示，将直三棱柱 ABC-A1B1C1 补成直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，连接 AD1，B1D1，则 AD1BC1，所以B1AD1 或其补角为异面直线 AB1 与 BC1 所成的角因为ABC120，AB2，BCCC11，所以 AB1 5，AD1 2在B1D1C1 中，B1C1D160，B1C11，D1C12，所以 B1D1 1222212cos 603，所以 cosB1AD1 5232 5 2 105，所以异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为 105 如何用向量法求异面直线所成的角？提示(1)确定空间两条直
14、线的方向向量；(2)求两个向量夹角的余弦值；(3)确定线线角与向量夹角的关系：当向量夹角为锐角时，即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向量夹角的补角 跟进训练 2侧棱垂直底面的三棱柱 ABC-A1B1C1 中，底面是边长为 2 的正三角形，侧棱 AA12，点 O，M 分别是 BC，A1C1 的中点，建立如图所示空间直角坐标系(1)写出三棱柱各顶点及点 M 的坐标；(2)求异面直线 CM 与 BA1 夹角的余弦值 解(1)根据图形可求得下列点的坐标：A(3，0，0)，B(0，1，0)，C(0，1，0)，A1(3，0，2)，B1(0，1，2)，C1(0，1，2)，M32，12，2
15、(2)CM 32，12，2，BA1(3，1，2)，CM BA1 5，|CM|5，|BA1|2 2，cosCM，BA1 52 10 104 类型 3 利用空间向量处理平行或垂直问题【例 3】如图，已知四棱台 ABCD-A1B1C1D1 的上、下底面分别是边长为 3 和 6 的正方形，A1A6，且 A1A底面 ABCD点 P，Q分别在棱 DD1，BC 上若 P 是 DD1 的中点，证明：AB1PQ证明 由题设知，AA1，AB，AD 两两垂直以 A 为坐标原点，AB，AD，AA1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0，0，0)，B1(3，0，6)，D(0，
16、6，0)，D1(0，3，6)，Q(6，m，0)，其中 mBQ，0m6若 P 是 DD1 的中点，则 P0，92，3，PQ(6，m92，3)又AB1(3，0，6)，于是AB1 PQ18180，所以AB1 PQ，即 AB1PQ【例 4】如图所示，已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2，E，F 分别是 BB1，DD1 的中点，求证：FC1平面 ADE 两条平行直线的方向向量有什么关系？提示 设直线 l，m 的方向向量分别为 a，b，则 lmabab.证明 如图所示，建立空间直角坐标系 Dxyz，则有 D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，2，
17、1)，F(0，0，1)所以FC1(0，2，1)，DA(2，0，0)，AE(0，2，1)，因为 DA平面 ADE，AE平面 ADE，且(0，2，1)0(2，0，0)1(0，2，1)，即FC1 0DA 1AE，所以有 FC1平面 ADE 或 FC1平面 ADE，又因为 FC1平面 ADE，所以 FC1平面 ADE 1(变问法)例 4 中 G，H 分别为 AD，B1C1 的中点，求证：EGFH为平行四边形 证明 如图所示，建立空间直角坐标系 则 E(2，2，1)，G(1，0，0)，F(0，0，1)，H(1，2，2)所以EG(1，2，1)，FH(1，2，1)所以FH EG，所以FH EG 显然 EG
18、与 FH 不重合，故 EGFH 又|EG|122212 6，|FH|122212 6，EGFH，四边形 EGFH 为平行四边形 2(变问法)例 4 条件不变，求平面 ADE平面 B1C1F 证明 如图所示，建立空间直角坐标系，则 A(2，0，0)，D(0，0，0)，B1(2，2，2)，C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(0，0，1)，得DE(2，2，1)，FB1(2，2，1)，DA(2，0，0)，B1C1(2，0，0)，所以DE FB1，DA B1C1，又相互不共面，所以 DEFB1，DAB1C1，又 DADED，FB1B1C1B1，所以平面 ADE平面 B1C1F用向量法证明空间中两条
19、直线相互平行或垂直，其主要思路是证明两条直线的方向向量相互平行或垂直，具体有如下方法：1坐标法：根据图形的特征，建立适当的空间直角坐标系，准确地写出相关点的坐标，表示出两条直线的方向向量，证明其共线或数量积为 0.2基向量法：利用向量的加、减、数乘运算，结合图形，将要证明的两条直线的方向向量用基向量表示出来，证明其共线或数量积为 0.3要证线面平行或垂直，根据线面平行或垂直的判定定理，只需证线线平行或垂直平面内的两直线必须相交.跟进训练 3如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别是 BB1，D1B1 的中点求证：EF平面 B1AC证明 法一：设正方体的棱长为 2a，建立
20、如图所示的空间直角坐标系 则 A(2a，0，0)，C(0，2a，0)，B1(2a，2a，2a)，E(2a，2a，a)，F(a，a，2a)EF(a，a，2a)(2a，2a，a)(a，a，a)，AB1(2a，2a，2a)(2a，0，0)(0，2a，2a)，AC(0，2a，0)(2a，0，0)(2a，2a，0)EFAB1(a，a，a)(0，2a，2a)(a)0(a)2aa2a0，EF AC(a，a，a)(2a，2a，0)2a22a200，EFAB1，EFAC 又 AB1ACA，EF平面 B1AC 法二：设ABa，AD c，AA1 b，连接 BD(图略)，则EFEB1 B1F 12(BB1 B1D1)
21、12(AA1 BD)12(AA1 AD AB)12(abc)，AB1 ABAA1 ab，EFAB1 12(abc)(ab)12(b2a2cacb)12(|b|2|a|200)0，EFAB1，即 EFAB1同理可证 EFB1C 又 AB1B1CB1，EF平面 B1AC当堂达标夯基础 NO.31 3 5 2 4 1若 A(1，0，1)，B(2，3，4)在直线 l 上，则直线 l 的一个方向向量是()A(1，3，3)B(1，3，3)C(3，3，5)D(2，4，6)B AB(2，3，4)(1，0，1)(1，3，3)1 3 5 2 4 2向量 a(x，1，2)，b(3，x，4)，ab，则 x()A8 B
22、4 C2 D0 C 向量 a(x，1，2)，b(3，x，4)，ab，ab3xx80，解得 x2故选 C 1 3 5 2 4 3已知四面体 OABC 的各棱长均为 1，D 是棱 OA 的中点，则异面直线 BD 与 AC 所成角的余弦值为()A 33 B14 C 36 D 28 1 3 5 2 4 C BD OD OB 12OA OB，ACOC OA，|BD|32，|AC|1，且BD AC12OA OB(OC OA)14，cosBD，ACBD AC|BD|AC|1432 1 36，故异面直线 BD 与 AC 所成角的余弦值为36 1 3 5 2 4 4直线 l1 与 l2 不重合，直线 l1 的方
23、向向量为 v1(1，1，2)，直线 l2 的方向向量为 v2(2，0，1)，则直线 l1 与 l2 的位置关系为_ 垂直 v1v21(2)102(1)0，v1v2 1 3 5 2 4 5已知向量 a(1，0，1)，向量 b(2，0，0)，则a，b_ 45 ab1 200(1)0 2，|a|2，|b|2，cosa，b ab|a|b|22 又 0a，b180，a，b45 回顾本节知识，自我完成以下问题：1直线的方向向量在确定直线时起到什么作用？提示(1)非零性：直线的方向向量是非零向量(2)不唯一性：直线 l 的方向向量有无数多个，可以分为方向相同和相反两类，它们都是共线向量(3)给定空间中的任一
24、点 A 和非零向量 a，就可以确定唯一一条过点 A 且平行于向量 a 的直线 2利用空间向量如何证明线线平行或垂直？提示 若直线 l1 的方向向量 u1(a1，b1，c1)，直线 l2 的方向向量为 u2(a2，b2，c2)(注：下面的，kR)(1)如果 l1l2，那么 u1u2u1u2(a1，b1，c1)(a2，b2，c2)；(2)如果 l1l2，那么 u1u2u1u20a1a2b1b2c1c20 3求异面直线所成角的常用方法有哪些？提示 在解决空间中直线与直线所成角的问题时，既可构造相应的角求解，也可以借助空间向量求解，建立空间直角坐标系或选择合适的基底都能解决问题 点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
