1、2.3.2平面与平面垂直的判定目标定位1.了解二面角及其平面角的概念，会求简单的二面角的大小.2.通过直观感知、操作确认，归纳平面与平面垂直的判定定理.3.能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题.自 主 预 习1.二面角(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱.这两个半平面叫做二面角的面.如图(1)可记作：二面角l或PABQ或PlQ.如图(2)对二面角l若有：Ol；OA，OB；OAl，OBl.则AOB就叫做二面角l的平面角.2.平面与平面的垂直(1)定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.(2)画法：记作
2、：.(3)面面垂直的判定定理文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.图形语言：如图所示符号语言：.即 时 自 测1.判断题(1)若a，b，ab，则.()(2)若直线l平面，l平面，则与相交且垂直.()提示(1)当b时，才能推出.2.已知l，则过l与垂直的平面()A.有1个 B.有2个 C.有无数个 D.不存在解析由面面垂直的判定定理知，凡过l的平面都垂直于平面，这样的平面有无数个.答案C3.从空间一点P向二面角l的两个面，分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若EPF60，则二面角的平面角的大小是()A.60 B.120 C.60或120 D.不确定解析若点P在二面角内，则二面角
3、的平面角为120；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60.答案C4.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，截面C1D1AB与底面ABCD所成二面角C1ABC的大小为_.解析ABBC，ABBC1，C1BC为二面角C1ABC的平面角，其大小为45.答案45类型一二面角及其平面角的概念【例1】 下列命题中：两个相交平面组成的图形叫做二面角；异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角的最小角；二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.其中正确的是()A. B. C. D.解析由二面
4、角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，所以不对，实质上它共有四个二面角；由a，b分别垂直于两个面，则a，b都垂直于二面角的棱，故正确；中所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故不对；由定义知正确.故选B.答案B规律方法(1)要注意区别二面角与两相交平面所成的角并不一致.(2)要注意二面角的平面角与顶点在棱上且角两边分别在二面角面上的角的联系与区别.(3)可利用实物模型，作图帮助判断.【训练1】 若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角()A.相等 B.互补C.相等或互补 D.关系无法确定解析如图所示，平面EFDG平面ABC，当平面HDG绕D
5、G转动时，平面HDG始终与平面BCD垂直，所以两个二面角的大小关系不确定，故二面角HDGF的大小不确定.答案D类型二面面垂直的判定与证明【例2】 如图，AB是O的直径，PA垂直于O所在的平面，C是圆周上异于A、B的任意一点，求证：平面PAC平面PBC.证明连接AC，BC，因为C是圆周上异于A、B的任一点，且AB是O直径.则BCAC，又PA平面ABC，BC平面ABC，PABC，而PAACA，BC平面PAC，又BC平面PBC，平面PAC面PBC.规律方法面面垂直的判定定理是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只需转证线面垂直，关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直.【训练2】 如图，
6、四棱锥PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，点E在棱PB上.求证：平面AEC平面PDB.证明ABCD是正方形，ACBD.又PD平面ABCD，AC平面ABCD，PDAC，又PD，BD为平面PDB内两条相交直线，AC平面PDB.又AC平面AEC，平面AEC平面PDB.类型三二面角(互动探究)【例3】 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求二面角BA1C1B1的正切值.思路探究探究点一求二面角的大小关键是什么？提示求二面角的大小关键是要找出或作出平面角.探究点二二面角的两种常见求法是什么？提示1.定义法：在二面角的棱上找一点，在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线.2.垂面法：过棱上一
7、点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面形成交线，这两条射线(交线)所成的角，即为二面角的平面角.解取A1C1的中点O，连接B1O，BO.由题意知B1OA1C1，又BA1BC1，O为A1C1的中点，所以BOA1C1，所以BOB1即是二面角BA1C1B1的平面角.因为BB1平面A1B1C1D1，OB1平面A1B1C1D1，所以BB1OB1.设正方体的棱长为a，则OB1a，在RtBB1O中，tanBOB1，所以二面角BA1C1B1的正切值为.规律方法1.求二面角的大小关键是要找出或作出平面角.再把平面角放在三角形中，利用解三角形得到平面角的大小或三角函数值，其步骤为作角证明计算.2.为在适当
8、位置作出平面角要注意观察二面角两个面的图形特点，如是否为等腰三角形等.【训练3】 已知正四棱锥(底面为正方形各侧面为全等的等腰三角形)的体积为12，底面对角线的长为2，求侧面与底面所成的二面角.解设正四棱锥为SABCD，如图所示，高为h，底面边长为a，则2a2(2)2，a212.又a2h12，h3.设O为S在底面上的射影，作OECD于E，连接SE，可知SECD，SEO为所求二面角的平面角.tanSEO，SEO60.侧面与底面所成二面角的大小为60.课堂小结1.证明两个平面垂直的主要途径：(1)利用面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互
9、相垂直.2.证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直线面垂直面面垂直来实现的，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的.3.下面的结论，有助于判断面面垂直：(1)mn，m，n；(2)m，n，mn；(3)，.1.对于直线m，n和平面，能得出的一个条件是()A.mn，m，n B.mn，m，nC.mn，n，m D.mn，m，n解析n，mn，m，又m，由面面垂直的判定定理，.答案C2.空间四边形ABCD中，若ADBC，BDAD，那么有()A.平面ABC平面ADCB.平面ABC平面ADBC.平面ABC平面DBCD
10、.平面ADC平面DBC解析ADBC，ADBD，BCBDB，AD平面BCD.又AD平面ADC，平面ADC平面DBC.答案D3.如图，三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC90，则二面角BPAC的大小为_.解析PA平面ABC，BAC即为二面角BPAC的平面角，又BAC90，二面角BPAC的大小为90.答案904. (2016江苏)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1DA1F，A1C1A1B1.求证：(1)直线DE平面A1C1F；(2)平面B1DE平面A1C1F.证明(1)由已知，DE为ABC的中位线，DEAC，又由三棱柱的性质可得ACA1
11、C1，DEA1C1，且DE平面A1C1F，A1C1平面A1C1F，DE平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面A1B1C1，AA1A1C1，又A1B1A1C1，且A1B1AA1A，A1C1平面ABB1A1，B1D平面ABB1A1，A1C1B1D，又A1FB1D，且A1FA1C1A1，B1D平面A1C1F，又B1D平面B1DE，平面B1DE平面A1C1F.基 础 过 关1.如果直线l，m与平面，满足：l，l，m和m，那么必有()A.且lm B.且mC.m且lm D.且解析B错，有可能m与相交；C错，有可能m与相交；D错，有可能与相交.答案A2.已知PA矩形ABCD所在的平
12、面(如图所示)，图中互相垂直的平面有()A.1对 B.2对C.3对 D.5对解析DAAB，DAPA，ABPAA，DA平面PAB，同样BC平面PAB，又易知AB平面PAD，DC平面PAD.平面PAD平面ABCD，平面PAD平面PAB，平面PBC平面PAB，平面PAB平面ABCD，平面PDC平面PAD，共5对.答案D3.如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且PAAC，则二面角PBCA的大小为()A.60 B.30C.45 D.15解析由条件得：PABC，ACBC又PAACC，BC平面PAC，又PC平面PAC，PCBC，PCA为二面角PBCA的平面角.在RtPA
13、C中，由PAAC得PCA45，所以C对.答案C4.已知三棱锥DABC的三个侧面与底面全等，且ABAC，BC2，则二面角DBCA的大小为_.解析如图由题意知ABACBDCD，BCAD2.取BC的中点E，连接DE，AE，则AEBC，DEBC，所以DEA为所求二面角的平面角.易得AEDE，又AD2，所以AE2DE2AD2.即DEA90.答案905.E是正方形ABCD的边AB中点，将ADE与BCE沿DE，CE向上折起，使得A，B重合于点P，那么二面角DPEC的大小为_.解析易得CPD即为二面角DPEC的平面角.在PCD中，PCPDDC，CPD60.答案606.如图，在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中
14、，ADBC，ABC90，PA平面ABCD，ACBDE，AD2，AB2，BC6.求证：平面PBD平面PAC.证明PA平面ABCD，BD平面ABCD，BDPA.又tanABD，tanBAC，ABD30，BAC60，AEB90，即BDAC.又PAACA，BD平面PAC.BD平面PBD，平面PBD平面PAC.7.如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，BCD60，E是CD的中点，PA底面ABCD，PA.(1)证明：平面PBE平面PAB；(2)求二面角ABEP的大小.(1)证明如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且BCD60知，BCD是等边三角形.因为E是CD的中点，所以BECD.又A
15、BCD，所以BEAB.又因为PA平面ABCD，BE平面ABCD，所以PABE.而PAABA，因此BE平面PAB.又BE平面PBE，所以平面PBE平面PAB.(2)解由(1)知BE平面PAB，PB平面PAB，所以PBBE.又ABBE，所以PBA是二面角ABEP的平面角.在RtPAB中，tanPBA，PBA60，故二面角ABEP的大小是60.能 力 提 升8.在正四面体PABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是()A.BC面PDF B.DF面PAEC.面PDF面ABC D.面PAE面ABC解析如图所示，BCDF，BC平面PDF，DF平面PDF，BC平面PDF.A正
16、确.由BCPE，BCAE，PEAEE，BC平面PAE.又BCDF，DF平面PAE.B正确.平面ABC平面PAE(BC平面PAE).D正确.答案C9.如图所示，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC，PA2AB，则下列结论正确的是()A.PBADB.平面PAB平面PBCC.直线BC平面PAED.直线PD与平面ABC所成的角为45解析PA平面ABC，ADP是直线PD与平面ABC所成的角.六边形ABCDEF是正六边形，AD2AB，即tanADP1，直线PD与平面ABC所成的角为45，选D.答案D10.如图，二面角l的大小是60，线段AB，Bl，AB与l所成的角为30，则AB与平面所
17、成的角的正弦值是_.解析如图，作AO于O，ACl于C，连接OB，OC，则OCl.设AB与所成的角为，则ABO，由图得sin sin 30sin 60.答案11.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M，N分别是A1B1，BC，C1D1和B1C1的中点.(1)求证：平面MNF平面ENF；(2)求二面角MEFN的平面角的正切值.(1)证明连接MN，N，F均为所在棱的中点，NF平面A1B1C1D1.而MN平面A1B1C1D1，NFMN.又M，E均为所在棱的中点，C1MN和B1NE均为等腰直角三角形.MNC1B1NE45，MNE90，MNNE.又NENFN，MN平面NEF.而MN平面MNF
18、，平面MNF平面NEF.(2)解在平面NEF中，过点N作NGEF于点G，连接MG.由(1)得MN平面NEF，又EF平面NEF，MNEF.又MNNGN，EF平面MNG，又MG平面MNG，EFMG. MGN为二面角MEFN的平面角.设该正方体的棱长为2.在RtNEF中，NG，在RtMNG中，tanMGN.二面角MEFN的平面角的正切值为.探 究 创 新12.如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BECF，BCFCEF90，AD，EF2.(1)求证：AE平面DCF；(2)当AB的长为何值时，二面角AEFC的大小为60？(1)证明过点E作EGCF交CF于点G，连接DG.由题意，得四边形BCGE为矩形.四边形ABCD为矩形，所以AD綊EG，四边形ADGE为平行四边形，AEDG.AE平面DCF，DG平面DCF，AE平面DCF.(2)解过点B作BHFE的延长线于点H，连接AH.平面ABCD平面BEFC，ABBC，平面ABCD平面BEFCBC，AB平面ABCD，AB平面BEFC，AHEF，AHB为二面角AEFC的平面角.在RtEFG中，EGAD，EF2，CFE60，FG1，又CEEF，CF4.BECG3，BHBEsinBEH.ABBHtanAHBtanAHB，故当AB时，二面角AEFC的大小为60.
