1、广东省东莞市2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题給出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.1.已知函数,则( )A.B.C.D.2.设随机变量x服从正态分布,若,则( )A.1B.2C.3D.43.A,B,C,D,E等5名学生进入学校劳动技能大赛决赛,并决出第一至第五名的名次(无并列名次).已知学生A和B都不是第一名也都不是最后一名,则这5人最终名次的不同排列有( )A.18种B.36种C.48种D.54种4.某企业建立了风险分级管控和隐患排查治理的双重独立预防机制,已知两套机制失
2、效的概率分别为和,则恰有一套机制失效的概率为( )A.B.C.D.5.我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化,毎一卦由六爻组成.有一种“金钱起卦法”,其做法为:取两枚相同的钱币合于双手中,上下摇动数下,再撒钱币到桌面或平盘等硬物上,此为一爻,重复六次,得到六爻.两枚钱币全部正面向上称为变爻,若每一枚钱币正面向上的概率为,则一卦中恰有两个变爻的概率为( )A.B.C.D.6.展开式中的常数项为( )A.-40B.-20C.20D.407.某放射性同位素在衰变过程中,其含量N(单位:贝克)与时间t(单位:天)满足函数关系,其中为时该同位素的含量.已知时,该同位素含量的时变化率为,则( )A.24贝
3、克B.贝克C.1贝克D.贝克8.已知函数,若存在实数,使得,则的最大值为( )A.B.1C.D.二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑9.下列结论正确的是( )A.若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于1B.样本的回归直线至少经过其中一个样本点C.在回归方程中,当解释变量x每增加1个单位时,预报变量平均增加0.2个单位D.在线性回归模型中,用相关指数刻画拟合效果,的值越小,模型的拟合效果越好10.已知复数z满足,则的
4、可能取值有( )A.0B.1C.2D.311.图1是函数的导函数的图象,则下列结论正确的是( )A.B.是的极小值点C.是的极小值点D.是的极大值点12.将3个不同的小球随机放入4个不同的盒子,用表示空盒子的个数,则下列结论正确的是( )A.B.C.D.三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上.13.在两名男生与三名女生中随机抽取两人进行某项体能测试,则在第1次抽到男生的条件下,第2次抽到女生的概率为_.14.若复数(i是虚数单位)是纯虚数,则实数_.15.已知图2是“杨辉三角”,图3是“莱布尼茨三角”,两个“三角”之间具有关联性.已知“杨辉三角”中第n
5、行第个数为,则“莱布尼茨三角”中第n行第个数为_;已知“杨辉三角”中第n行和第行中的数满足关系式,类比写出“莱布尼茨三角”中第n行和第行中的数满足的关系式_.16.若与的图象有且仅有两个公共点,则实数a的取值范围为_.四、解答题:本大题共6小题,第17题10分,18、19、20、21、22题各12分,共70分.解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内,超出指定区域的答案无效.17.(本小题满分10分)已知函数.(1)求函数的极值;(2)若对任意的都有成立,求c的取值范围.18.(本小题满分12分)已知复数,.(1)当,时,求,;(2)根据(1)的计算
6、结果猜想与的关系,并证明该关系的一般性;(3)结合(2)的结论进行类比或推广,写出一个复数的模的运算性质(不用证明).19.(本小题满分12分)为了了解员工长假的出游意愿,某单位从“70后”至“00后”的人群中按年龄段分层抽取了100名员工进行调查.调查结果如图4所示,已知每个员工仅有“有出游意愿”和“无出游意愿”两种回答,且样本中“00后”与“90后”员工占比分别为10%和30%.(1)现从“00后样本中随机抽取3人,记3人中“无出游意愿”的人数为随机变量X,求X的分布列及数学期;(2)若把“00后”和“90后”定义为青年,“80后”和“70后”定义为中年,结合样本数据完成列联表,并回答能否
7、在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为该单位员工长假的出游意愿与年龄段有关?有出游意愿无出游意愿合计青年中年合计附:0.0500.0100.0050.0013.8416.6357.87910.828,其中.20.(本小题满分12分)已知函数.(1)讨论函数的单调性;(2)若,且在上有且仅有1个极值点,求a的取值范围.21.(本小题满分12分)共享单车以低碳、环保、节能、健康的理念,成为解决市民出行“最后一公里”的有力手段.某公司调研部门统计了最近5个季度本公司的共享单车使用次数(万次),结果如下:季度序号x12345使用次数y(万次)11.21.51.82.2(1)(i)根据上表,画岀散点图
8、并根据所画散点图,判断能否用线性回归模型拟合使用次数y与季度序号x之间的关系,如果能,求出y关于x的线性回归方程;如果不能,请说明理由.(ii)如果你是公司主管领导,你会在下一季度向市场增加投放共享单车吗?请说明理由.(2)为进一步开拓市场做准备,公司目前接受报价的有两款车型:A型单车每辆500元,第一年收入500元,以后逐年递减80元;B型单车每辆300元,第一年收入500元,以后逐年递减100元.经市场调研,两款车型使用寿命频数统计如下表:车型使用寿命1年2年3年4年总计A10203040100B10353025100不考虑除釆购成本以外的其它成本,假设毎辆单车的使用寿命都是整数年,用频率
9、估计概率,以1辆单车所产生的利润的数学期望为决策依据,如果你是公司负责人,会选择哪款车型?参考数据:,.参考公式:,.22.(本小题满分12分)已知函数,.(1)证明恒成立;(2)用表示m,n中的最大值.已知函数,记函数,若函数在上恰有2个零点,求实数a的取值范围.东莞市2020-2021学年度第二学期教学质量检查高二数学参考答案一、单项选择题题号12345678答案DCBCADBB二、多项选择题(全部选对的得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)题号9101112答案ACBCCDAD三、填空题(15题第一空2分,第二空3分)13.14.115.;16.四、解答题17.解:(1)因为,所以
10、,.1分令,解得或,当,即或;当,即,.3分故的单调递增区间为和,单调递减区间为,.4分所以,时,有极大值,.5分当时,有极小值.6分(2)由(1)知在上单调递减,在上单调递增,.7分又,.8分所以时,.9分因为对任意的都有成立,所以.10分18.解(1)由题知,.2分,.3分所以.4分(2)猜想,.5分证明:因为,.6分所以,.7分因为,.8分所以.9分所以成立.10分(3),或,或.说明:只要写出复数模运算相关的一个正确结论即可给2分.12分19.解:(1)由题知,样本中“00后”员工人数人,.1分由图4知,其中8人有出游意愿,2人无出游意愿,从中随机抽取3人,抽到“无出游意愿”的人数X的
11、所有可能取值为0,1,2,.2分,随机变量X的分布列为X012P.5分随机变量X的期望.6分(2)由题知,样本中中年员工占比为,人数人,青年员工人数人,.7分结合图3得到如下列联表,有出游意愿无出游意愿合计青年301040中年402060合计7030100.9分假设“有岀游意愿与年龄段无关”,则,.11分不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为该单位员工长假的出游意愿与年龄段有关.12分20.解:(1)由题得,函数定义域为,.1分当时,在上恒成立,所以函数在上单调递增;.3分当时,由,得,当时,;当时,所以在上单调递增,在上单调递减,.5分综上所述,当时,在上单调递增;当时,在上单调递增,
12、在上单调递减.6分(2)由题得,令,得,.7分因为在上有且仅有1个极值点,所以与在的图象有且仅有一个交点,.8分当时,此时与没有交点,.9分当时,由前面的分析得,两个函数图象在上有且仅有一个交点,则,即,.11分综上所述,a的取值范围为.12分21.解:(1)(i)散点图如图所示:根据散点图,可以用线性回归模型拟合使用次数y与次季度序号x之间的关系,设回归方程为,则,由,得,所以y关于x的线性回归方程为.(ii)开放型答案,根据学生理由叙述情况,酌情给分.参考答案一:下一季度可以向市场增加投放共享单车,理由:由(i)中散点图判断可预估下季度市场对本公司单车使用次数会持续上涨;由(i)中使用次数
13、y关于季度序号x的线性回归方程可知,下季度市场对本公司单车下一季度的使用次数会持续上涨0.3万次左右,因此需要向市场增加投放共享单车.说明:答岀一种理由即可给满1分,其他理由酌情给分.5分参考答案二:下一季度可以先不向市场增加投放共享单车,理由:题中只给岀了使用次数这一方面的数据,是否增加投放共享单车还要考察单车的使用率高低,单车的区域分布是否合理,单车使用后的回收与分配是否及时等等因素,这些都会影响投放单车的决策,因此要进行进一步调查过后才能决定.说明:答岀一种理由即可给满1分,其他理由酌情给分.5分(2)设1辆A型单车产生的毛利润为随机变量,则的所有可能取值为500,920,1260,15
14、20,.6分用频率估计概率,则1辆A型单车产生毛利润的分布列为毛利润50092012601520概率.7分则1辆A型单车毛利润的数学期望,故1辆A型单车纯利润的数字期望为,.8分设1辆B型单车产生的毛利润为随机变量,则的所有可能取值为500,900,1200,1400,.9分用频率估计概率,则1辆B型单车产生毛利润的分布列为毛利润50090012001400概率.10分则1辆B型单车毛利润的数学期望,故1辆B型单车纯利润的数学期望为,.11分因为1辆B型单车纯利润的数学期望大于1辆A型单车的,所以选择B型单车.分22.解:(1)由题得的定义域为,则在上恒成立等价于在上恒成立,.1分记,则,.2分当时,;时,故在上单调递减,上单调递增,.3分所以,即恒成立.4分(2)由题得,当时,此时无零点.5分当时,a.当,即时,是的一个零点;b.当,即时,不是的一个零点;.6分当时,恒成立,因此只需考虑在上的零点情况.由a.当时,在上单调递增,且,当时,则在上无零点,故在上无零点;当时,则在上无零点,故在上有1个零点;当时,由,得在上仅有一个零点,故在上有2个零点;所以,.9分b.当时,由得,由时,;当时,故在上单调递减,在上单调递增;由,得在上仅有一个零点,故在上有2个零点;所以,.11分综上所述,时,在上恰有两个零点.12分