1、结 束 教材回顾 高考研究 带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题 课 时 跟 踪 检 测 高考研究(二)带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题有界匀强磁场是指只在局部空间存在着匀强磁场，带电粒子从磁场区域外垂直磁场方向射入磁场，在磁场区域内做一段匀速圆周运动，也就是通过一段圆弧轨迹后离开磁场区域。结 束 教材回顾 高考研究 带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题 课 时 跟 踪 检 测 带电粒子在磁场中运动的圆弧轨迹取决于粒子进入磁场的速度方向和磁场区域边界，而磁场区域边界可分为如右几类：由于第 2 类与第 3 类情况相似，第 6 类综合了第 1、5 类的情况，故下面重点分析第 1、2、4、
2、5、7 共五类情况。结 束 教材回顾 高考研究 带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题 课 时 跟 踪 检 测 题型简述直线边界磁场又分单边直线边界和双边平行直线边界。单边直线边界如图甲、乙、丙所示，粒子进出磁场具有对称性；双边平行直线边界如图丁、戊所示，粒子进出磁场存在临界条件。|直线边界磁场结 束 教材回顾 高考研究 带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题 课 时 跟 踪 检 测 方法突破(1)解决这类问题的“三部曲”：画轨迹、找圆心、定半径(2)常用方法对称法：如果磁场边界是直线，那么粒子进入磁场时速度与边界的夹角和射出磁场时速度和边界的夹角相等。旋转平移法：当带电粒子进入磁场时的速率相
3、同而方向不同时，粒子运动轨迹的圆周半径是相同的，结 束 教材回顾 高考研究 带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题 课 时 跟 踪 检 测 方法突破所以可将圆周以入射点为转轴进行旋转或平移，从而探索出临界条件，这种方法称为“旋转平移法”。放缩法：粒子源发射速度方向一定、大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速率的变化而变化，将半径放缩作轨迹，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩法”。结 束 教材回顾 高考研究 带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题 课 时 跟 踪 检 测 例 1(2016全国丙卷)平面 OM 和平面 ON 之间的夹角为 30，其横截
4、面(纸面)如图所示，平面 OM 上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为 B，方向垂直于纸面向外。一带电粒子的质量为 m，电荷量为 q(q0)。粒子沿纸面以大小为 v 的速度从OM 的某点向左上方射入磁场，速度与 OM 成 30角。已知该粒子在磁场中的运动轨迹与 ON 只有一个交点，并从 OM 上另一点射出磁场。不计重力。粒子离开磁场的出射点到两平面交线 O的距离为()A.mv2qB B.3mvqB C.2mvqB D.4mvqB结 束 教材回顾 高考研究 带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题 课 时 跟 踪 检 测 解析 如图所示，粒子在磁场中运动的轨迹半径为 RmvqB。设入射点为 A，出射点
5、为 B，圆弧与 ON 的交点为 P。由粒子运动的对称性及粒子的入射方向知，ABR。由几何图形知，AP 3R，则 AO 3AP3R，所以 OB4R4mvqB。故选项 D 正确。答案 D结 束 教材回顾 高考研究 带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题 课 时 跟 踪 检 测 名师指津解答本题的关键点：粒子射入和射出 OM 时速度方向与 OM 的夹角相同；粒子的轨迹为一段圆弧；粒子的轨迹与ON 相切。结 束 教材回顾 高考研究 带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题 课 时 跟 踪 检 测 跟进训练1.(多选)(2015四川高考)如图所示，S 处有一电子源，可向纸面内任意方向发射电子，平板 MN
6、垂直于纸面，在纸面内的长度 L9.1 cm，中点 O 与 S 间的距离 d4.55 cm，MN 与 SO 直线的夹角为，板所在平面有电子源的一侧区域有方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度 B2.0104 T，电子质量 m9.11031 kg，电量 e1.61019 C，不计电子重力，电子源发射速度 v1.6106 m/s 的一个电子，该电子打在板上可能位置的区域的长度为 l，则()结 束 教材回顾 高考研究 带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题 课 时 跟 踪 检 测 A90时，l9.1 cm B60时，l9.1 cmC45时，l4.55 cm D30时，l4.55 cm解析：选 AD
7、电子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力：evBmv2R，RmvBe4.55102 m4.55 cmL2，90时，击中板的范围如图甲，l2R9.1 cm，选项 A 正确；60时，击中板的范围如图乙所示，l2R9.1 cm，选项 B 错误；30时，如图丙所示 lR4.55 cm，当 45时，击中板的范围如图丁所示，lR(R4.55 cm)，故选项 D 正确，选项C 错误。结 束 教材回顾 高考研究 带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题 课 时 跟 踪 检 测 结 束 教材回顾 高考研究 带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题 课 时 跟 踪 检 测|矩形磁场题型简述矩形磁场是指分布在矩形范围内的有
8、界磁场。带电粒子的轨迹只是一部分圆弧，垂直于某边射入，从某一顶点射出是常见的临界情况。方法突破解决该类问题的关键是把握临界情况，如图所示，常见的有如下几种情况：(设粒子从 ad 边中点 e 垂直射入)(1)两个临界半径：从 d 点射出：r1ad4。结 束 教材回顾 高考研究 带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题 课 时 跟 踪 检 测 方法突破从 c 点射出：r22r2ad22ab2。(2)三种情况：rr1，粒子从 ed 段射出。r1r2，粒子从 cf 段射出(不会到 f 点)。结 束 教材回顾 高考研究 带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题 课 时 跟 踪 检 测 例 2 如图所示，竖直
9、线 MNPQ，MN与 PQ 间距离为 a，其间存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为 B，O 是 MN 上一点，O 处有一粒子源，某时刻放出大量速率均为v(方向均垂直磁场方向)、比荷一定的带负电粒子(粒子重力及粒子间的相互作用力不计)，已知沿图中与 MN 成 60角射出的粒子恰好垂直 PQ 射出磁场，则粒子在磁场中运动的最长时间为()A.a3v B.2 3a3v C.4a3v D.2av结 束 教材回顾 高考研究 带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题 课 时 跟 踪 检 测 解析 当 60时，粒子的运动轨迹如图甲所示，由几何关系知 aRsin 30，即 R2a。设带电粒子在磁场中运动轨迹所
10、对的圆心角为，则其在磁场中运动的时间为 t 2T，即 越大，粒子在磁场中运动的时间越长，最大时粒子的运动轨迹恰好与磁场的右边界相切，如图乙所示，因 R2a，此时圆心角 m 为 120，即最长运动时间为T3，结 束 教材回顾 高考研究 带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题 课 时 跟 踪 检 测 而 T2Rv 4av，所以粒子在磁场中运动的最长时间为4a3v，C 正确。答案 C名师指津解答本题的关键是挖掘出粒子在磁场中运动时间最长的临界条件。结 束 教材回顾 高考研究 带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题 课 时 跟 踪 检 测 跟进训练2.(多选)如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正
11、方形abcd 区域内，O 点是 cd 边的中点。一个带正电的粒子仅在磁场力的作用下，从 O 点沿纸面以垂直于 cd 边的速度射入正方形内，经过时间 t0 后刚好从 c 点射出磁场。现设法使该带电粒子从 O 点沿纸面以与 Od 成 30角的方向，以大小不同的速率射入正方形内，那么下列说法中正确的是()结 束 教材回顾 高考研究 带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题 课 时 跟 踪 检 测 A若该带电粒子在磁场中经历的时间是53t0，则它一定从 cd 边射出磁场B若该带电粒子在磁场中经历的时间是23t0，则它一定从 ad 边射出磁场C若该带电粒子在磁场中经历的时间是54t0，则它一定从 bc 边
12、射出磁场D若该带电粒子在磁场中经历的时间是 t0，则它一定从 ab 边射出磁场结 束 教材回顾 高考研究 带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题 课 时 跟 踪 检 测 解析：选 AC 如图所示，作出粒子刚好从 ab 边射出的轨迹、刚好从 bc 边射出的轨迹、从 cd 边射出的轨迹和刚好从 ad 边射出的轨迹。由从O 点沿纸面以垂直于 cd 边的速度射入正方形内，经过时间 t0 后刚好从 c 点射出磁场可知，带电粒子在磁场中做圆周运动的周期是 2t0。由几何关系结 束 教材回顾 高考研究 带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题 课 时 跟 踪 检 测 可知，从 ad 边射出磁场经历的时间一定小
13、于13t0；从 ab 边射出磁场经历的时间一定大于等于13t0，小于56t0；从 bc 边射出磁场经历的时间一定大于等于56t0，小于43t0；从 cd 边射出磁场经历的时间一定是53t0。综上所述，A、C 正确。结 束 教材回顾 高考研究 带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题 课 时 跟 踪 检 测|三角形磁场题型简述三角形磁场是指分布在三角形区域内的有界磁场，粒子的轨迹也是一段圆弧，由于三角形可以有等边三角形、等腰三角形、直角三角形等不同类型，所以会有不同的临界情景。结 束 教材回顾 高考研究 带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题 课 时 跟 踪 检 测 方法突破解答该类问题主要把握以
14、下两点：(1)射入磁场的方式：从某顶点射入。从某条边上某点(如中点)垂直(或成某一角度)射入。(2)射出点的判断：其临界条件是判断轨迹可能与哪条边相切，进而判定出射点的可能位置。结 束 教材回顾 高考研究 带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题 课 时 跟 踪 检 测 例 3(2016海南高考)如图，A、C 两点分别位于 x 轴和 y 轴上，OCA30，OA 的长度为 L。在OCA 区域内有垂直于 xOy 平面向里的匀强磁场。质量为 m、电荷量为 q 的带正电粒子，以平行于 y 轴的方向从OA 边射入磁场。已知粒子从某点入射时，恰好垂直于 OC 边射出磁场，且粒子在磁场中运动的时间为 t0。不
15、计重力。(1)求磁场的磁感应强度的大小；结 束 教材回顾 高考研究 带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题 课 时 跟 踪 检 测(2)若粒子先后从两不同点以相同的速度射入磁场，恰好从 OC 边上的同一点射出磁场，求该粒子这两次在磁场中运动的时间之和；(3)若粒子从某点射入磁场后，其运动轨迹与 AC 边相切，且在磁场内运动的时间为53t0，求粒子此次入射速度的大小。解析(1)粒子在磁场中做匀速圆周运动，在时间 t0 内其速度方向改变了 90，故其周期 T4t0 结 束 教材回顾 高考研究 带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题 课 时 跟 踪 检 测 设磁感应强度大小为 B，粒子速度为 v，圆
16、周运动的半径为 r。由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得 qvBmv2r 匀速圆周运动的速度满足 v2rT 联立式得 Bm2qt0。（2）设粒子从 OA 边两个不同位置射入磁场，能从 OC 边上的同一点 P 射出磁场，粒子在磁场中运动的轨迹如图(a)所示。结 束 教材回顾 高考研究 带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题 课 时 跟 踪 检 测 设两轨迹所对应的圆心角分别为 1 和 2。由几何关系有 11802 粒子两次在磁场中运动的时间分别为 t1 与 t2，则 t1t2T22t0。(3)如图(b)，由题给条件可知，该粒子在磁场区域中的轨迹圆弧对应的圆心角为 150。设 O为圆弧的圆心，圆弧的半径
17、为 r0，圆弧与 AC 相切与 B 点，从 D 点射出磁场，由几何关系和题给条件可知，此时有OODBOA30结 束 教材回顾 高考研究 带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题 课 时 跟 踪 检 测 r0cosOODr0cos BOAL设粒子此次入射速度的大小为 v0，由圆周运动规律 v02r0T 联立式得 v0 3L7t0。答案(1)m2qt0(2)2t0(3)3L7t0名师指津第(2)问是本题的难点，关键是正确画出粒子两次不同的轨迹且找出二者轨迹对应的圆心角的关系。结 束 教材回顾 高考研究 带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题 课 时 跟 踪 检 测 跟进训练3.(2017太原联考)如
18、图所示，直角三角形 ABC 中存在一匀强磁场，比荷相同的两个粒子沿 AB 方向射入磁场，分别从 AC 边上的 P、Q 两点射出，则()A从 P 射出的粒子速度大B从 Q 射出的粒子速度大C从 P 射出的粒子，在磁场中运动的时间长D从 Q 射出的粒子，在磁场中运动的时间长结 束 教材回顾 高考研究 带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题 课 时 跟 踪 检 测 解析：选 B 据题意，由题图可知从 P 点射出的粒子运动半径较小，据 vqBRm 可知，该粒子速度较小，故选项 A 错误，B 正确；据 T2mqB 可知，由于比荷相同，则两种粒子在该磁场中运动周期相同，由于它们在磁场中运动轨迹圆弧所对应的
19、圆心角相等，据 tT 2，则在磁场中的运动时间相同，选项 C、D 错误。结 束 教材回顾 高考研究 带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题 课 时 跟 踪 检 测|圆形磁场题型简述圆形磁场是指分布在圆形区域内的有界磁场，带电粒子在圆形边界的匀强磁场中的轨迹也是一段不完整的圆弧，由于此类问题涉及两个圆：粒子运动轨迹的圆与磁场区域的圆，能很好地考查学生的综合分析能力，是近年来高考的热点。结 束 教材回顾 高考研究 带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题 课 时 跟 踪 检 测 方法突破(1)若粒子沿着边界圆的某一半径方向进入磁场，则粒子离开磁场的速度的反向延长线一定过磁场区域的圆心(即沿着另一半径
20、方向射出)。(2)若粒子射入磁场时速度方向与入射点对应半径夹角为，则粒子射出磁场时速度方向与出射点对应半径夹角也为。结 束 教材回顾 高考研究 带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题 课 时 跟 踪 检 测 方法突破(3)若粒子做匀速圆周运动的半径等于磁场区域的半径，则有如下两个结论：当粒子从磁场边界上同一点沿不同方向进入磁场区域时，粒子离开磁场时的速度方向一定平行。当粒子以相互平行的速度从磁场边界上任意位置进入磁场区域时，粒子会从同一点离开磁场区域。结 束 教材回顾 高考研究 带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题 课 时 跟 踪 检 测 例 4(2016全国甲卷)一圆筒处于磁感应强度大小为
21、 B 的匀强磁场中，磁场方向与筒的轴平行，筒的横截面如图所示。图中直径 MN 的两端分别开有小孔，筒绕其中心轴以角速度 顺时针转动。在该截面内，一带电粒子从小孔 M 射入筒内，射入时的运动方向与MN 成 30角。当筒转过 90时，该粒子恰好从小孔 N飞出圆筒。不计重力。若粒子在筒内未与筒壁发生碰撞，则带电粒子的比荷为()A.3B B.2B C.BD.2B结 束 教材回顾 高考研究 带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题 课 时 跟 踪 检 测 解析 如图所示，粒子在磁场中做匀速圆周运动，圆弧 MP 所对应的圆心角由几何知识知为 30，则 22mqB 30360，即qm 3B，选项 A 正确。答
22、案 A名师指津解答本题的关键是找出粒子做圆周运动的周期与圆筒转动的周期之间的关系。结 束 教材回顾 高考研究 带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题 课 时 跟 踪 检 测 跟进训练4空间有一圆柱形匀强磁场区域，该区域的横截面的半径为 R，磁场方向垂直于横截面。一质量为 m、电荷量为 q(q0)的粒子以速率 v0 沿横截面的某直径射入磁场，离开磁场时速度方向偏离入射方向 60。不计重力，该磁场的磁感应强度大小为()A.3mv03qRB.mv0qR C.3mv0qRD.3mv0qR结 束 教材回顾 高考研究 带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题 课 时 跟 踪 检 测 解析：选 A 画出带电粒
23、子运动轨迹示意图，如图所示。设带电粒子在匀强磁场中运动轨迹的半径为 r，根据洛伦兹力公式和牛顿第二定律，qv0Bmv20r，解得 rmv0qB。由图中几何关系可得：tan 30Rr。联立解得：该磁场的磁感应强度 B 3mv03qR，选项 A 正确。结 束 教材回顾 高考研究 带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题 课 时 跟 踪 检 测|四分之一平面磁场题型简述四分之一平面磁场是指分布在平面直角坐标系中某一象限范围的有界磁场，带电粒子的轨迹只是一部分圆弧，粒子轨迹与坐标轴相切或垂直是常见的临界情况。方法突破解决该类问题的关键是明确粒子射入(射出)磁场的位置坐标，及速度方向与坐标轴的夹角关系，然
24、后分析粒子做圆周运动的轨迹、圆心，寻找几何关系求解问题。结 束 教材回顾 高考研究 带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题 课 时 跟 踪 检 测 方法突破(1)临界条件法：抓住两物体速度相等时的位移之间的关系这个临界条件，根据相遇的时间关系、速度关系和位移关系，列式计算出结果。(2)数学解析法(或函数法、判别式法)：设相遇时间为 t，根据条件列方程，得到关于 t 的一元二次方程，用判别式进行讨论，若 0，即方程有两个解，说明可以相遇两次；若 0，结 束 教材回顾 高考研究 带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题 课 时 跟 踪 检 测 例 5(2017珠海模拟)如图所示，在平面直角坐标系 x
25、Oy 的第四象限有垂直纸面向里的匀强磁场，一质量为 m5.0108 kg、电量为 q1.0106 C 的带电粒子，从静止开始经 U010 V 的电压加速后，从 P 点沿图示方向进入磁场，已知 OP30 cm，(粒子重力不计，sin 370.6，cos 370.8)，求：(1)带电粒子到达 P 点时速度 v 的大小；(2)若磁感应强度 B2.0 T，粒子从 x 轴上的 Q 点离开磁场，求 OQ 的距离；(3)若粒子不能进入 x 轴上方，求磁感应强度 B满足的条件。结 束 教材回顾 高考研究 带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题 课 时 跟 踪 检 测 解析(1)对带电粒子的加速过程，由动能定理
26、 qU012mv2，代入数据得：v20 m/s。(2)带电粒子仅在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，有：qvBmv2R 得 RmvqB代入数据得：R0.50 m，而OPcos 530.50 m故粒子的轨迹圆心一定在 x 轴上，粒子到达 Q 点时速度方向垂直于 x 轴，轨迹如图甲所示。由几何关系可知：OQRRsin 53，故 OQ0.90 m。结 束 教材回顾 高考研究 带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题 课 时 跟 踪 检 测(3)带电粒子不从 x 轴射出(如图乙)，由几何关系得：OPRRcos 53，R mvqB由以上两式并代入数据得：B163 T 5.33 T(取“”也可)。答案(1)20
27、 m/s(2)0.90 m(3)B5.33 T(取“”也可)名师指津 1第(2)问中需要根据几何关系判断，粒子做圆周运动的圆心位置及到达 Q 点时速度的方向。2第(3)问中需要挖掘出隐含条件：粒子的轨迹与 x 轴相切。结 束 教材回顾 高考研究 带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题 课 时 跟 踪 检 测 跟进训练如图所示，一个质量为 m、电荷量为 q 的带电粒子从 x 轴上的P(a,0)点以速度 v，沿与 x 轴正方向成 60角的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于 y 轴射出第一象限。求匀强磁场的磁感应强度 B 和射出点的坐标。结 束 教材回顾 高考研究 带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题 课 时 跟 踪 检 测 解析：轨迹示意图如图所示，由射入、射出点的半径可找到圆心 O，由几何关系得出半径为 r2a3mvBq，得 B 3mv2aq；射出点坐标为(0，3a)。答案：3mv2aq 射出点坐标为(0，3a)
