1、广东省东华高级中学2021届高三数学上学期第二次联考试题考生注意： 1本试卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分. 考试时间120分钟2请将各题答案填写在答题卡上 3本试卷主要考试内容：新高考全部内容.第I卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若，则在复平面内对应的点位于A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2已知全集，集合，则=ABCD3已知，则的大小关系为ABCD4“”是“直线与圆相交”的A充分不必要条件 B充要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件5已知，则的最小值是AB4 CD36“阿基米德
2、多面体”是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”若该多面体的棱长为，则其体积为AB5 CD7已知函数的定义域为是偶函数，在上单调递减，则不等式的解集为ABCD8在平行四边形中，若，则=ABCD3二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分9若二项式的展开式中各项的二项式系数之和为256，则ABC第5项为D第5项为10已知函数，则A图象的一条
3、对称轴方程为B图象的一个对称中心为C将曲线上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向下平移2个单位长度，可得到的图象D将的图象向右平移个单位长度，得到的曲线关于轴对称11为了研究某种病毒在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得到了一些数据，绘制成散点图，发现用模型拟合比较合适令，得到，经计算发现满足下表：天数(天)234561.54.55.56.57则ABCD12双曲线的左、右焦点分别为，点为的左支上任意一点，直线是双曲线的一条渐近线，垂足为当的最小值为3时，的中点在双曲线上，则A的方程为B的离心率为C的渐近线方程为D的方程为第卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知角终边上一
4、点的坐标为，则= 14若函数的图象在点处的切线垂直于直线，则函数的最小值是 15已知椭圆的右焦点为，若点到直线的距离为，则的离心率为 16在矩形中，将沿向上折起到的位置，得到四面体. 当四面体的体积最大时，异面直线与所成角的余弦值为 四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）在，的面积为，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.问题：在中，角的对边分别为， ，且的外接圆的半径为4求的周长注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分18（12分）某学校为了了解学生暑假期间学习数学的情况，抽取了人数相等的甲、乙两班进行调查，甲班同学每天学习数
5、学的平均时间的频率分布直方图（将时间分成共6组）和乙班同学每天学习数学的平均时间的频数分布表如图所示（单位：小时）(1)从甲班每天学习数学的平均时间在的人中随机选出3人，求3人中恰有1人学习数学的平均时间在范围内的概率；(2)从甲、乙两个班每天学习数学平均时间不小于5个小时的学生中随机抽取4人进一步了解其他情况，设4人中乙班学生的人数为，求的分布列和数学期望19（12分）在四棱锥中，为的中点(1)证明：平面(2)若平面，且，求与平面所成角的正弦值20(12分)已知数列满足，设数列的前项和为(1)求数列的通项公式；(2)令，求的前项和21(12分)已知圆，动圆与圆相外切，且与直线相切(1)求动圆
6、圆心的轨迹的方程(2)已知点，过点的直线与曲线交于两个不同的点（与点不重合），直线的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由22(12分)已知函数.(1)若只有一个极值点，求的取值范围(2)若函数存在两个极值点，记过点的直线的斜率为，证明：数学参考答案1D 因为，所以在复平面内对应的点位于第四象限2C 因为或，所以因为，所以3B 因为，所以4A 由，得，因为，所以选A5D 因为，所以，当且仅当，即，时取等号6D 将该多面体放入正方体中，如图所示. 由于多面体的棱长为，则正方体的棱长为2该多面体是由棱长为2的正方体沿各棱中点截 去8个三棱锥所得，所以该多面体的体积为7D 因为是偶函
7、数，所以函数的图象关于直线对称，则因为在上单调递减，所以在上单调递增，故等价于，解得8B 因为，所以四边形为菱形，即因为，所以9AC 因为二项式的展开式中所有项的二项式系数之和为256，所以，所以因为二项式的展开式的通项公式为，所以10CD ，令，则，故A错误；令，则，所以图象的对称中心为，故B错误；将曲线上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到曲线的图象，再向下平移2个单位长度得到曲线的图象，故C正确；将的图象向右平移个单位长度，得到的曲线方程为，其为偶函数，故D正确11AB 因为，所以的中心点为(4，5)，代入，可得因为，所以，即.12BCD 因为，所以因为焦点到渐近线的距离为，所以
8、的最小值为，所以 不妨设直线为，因为，所以点，的中点为将其代入双曲线的方程，得，即，解得 又因为，所以，故双曲线的方程为，离心率为，渐近线方程为13 因为，所以14 因为，所以，所以因为，所以在上单调递减，在上单调递增，故函数的最小值是15 由题意可知，得，因为，所以，故16 如图，当平面平面时，四面体的体积最大.过作于，则平面因为，所以，因为，所以或它的补角为异面直线与所成的角.因为，所以异面直线与所成角的余弦值为17解：因为，所以，因为，所以. 2分因为，所以. 4分因为，所以，. 5分因为外接圆的半径为4，所以. 6分选择，因为，所以. 7分因为，所以. 8分因为，所以. 9分故的周长为
9、. 10分选择，因为的面积为，所以 7分因为，所以. 8分因为，所以由可得，即，所以 9分故的周长为 10分选择，因为，所以，即 7分因为，所以因为，所以，即 8分因为，所以因为，所以，即 9分因为，所以故的周长为 10分18解：(1)因为乙班学生的总人数为2+5+10+16+14+3=50， 1分所以甲班中学习平均时间在0，1）内的人数为500.04=2， 2分甲班中学习平均时间在1，2）内的人数为500.08=4 3分设“3人中恰有1人学习数学的平均时间在0，1）范围内”为事件则 6分(2)甲班学习数学平均时间在区间5，6的人数为500.08=4由频数分布表知乙班学习数学平均时间在区间5，
10、6的人数为3，8分两班中学习数学平均时间不小于5小时的同学共7人，的所有可能取值为0，1，2，3，. 10分所以的分布列为0123 12分19(1)证明：设的中点为，如图，连接 因为为的中点，所以且 1分因为，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，故. 3分因为平面平面，所以平面 5分(2)解：因为，且，所以 6分以为坐标原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则， 8分设平面的法向量为，则令，得 10分设与平面所成角为，则，即与平面所成角的正弦值为 12分20解：(1)令，设数列的前项和为，则 1分当时，则；2分当时， 3分所以数列是常数列，即，故 4分当时，也符
11、合上式，所以 5分(2)因为，所以. 6分当时，；当时， 8分因为当时，也符合上式，所以 9分因为， 10分所以12分21解：(1)设到直线的距离为，因为，1分所以到直线的距离等于到的距离，由抛物线的定义可知，的轨迹为抛物线，的方程为 3分(2)设直线的方程为，即因为与点不重合，所以 4分设直线的斜率分别为和，点联立消去得，6分则，由，解得或，且. 7分可得，同理可得，9分所以，故直线的斜率之和为定值. 12分22(1)解：，令，则令，要使函数只有一个极值点，则需满足即 4分(2)证明：因为，所以因为存在两个极值点，所以即 6分不妨假设，则 7分要证，即要证，只需证，8分只需证，即证 9分设，函数，10分因为，故，所以，即，故在上单调递减，则 11分又因为，所以，即，从而得证. 12分
