1、第六节正弦定理和余弦定理最新考纲考情分析核心素养1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.利用正、余弦定理解三角形，判断三角形的形状，尤其是正、余弦定理的综合问题仍将是2021年高考考查的热点，题型仍将是选择题与填空题，分值为5分.1.数学运算2.逻辑推理知识梳理1正、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理公式2Ra2b2c22bccos_A；b2c2a22accos_B；c2a2b22abcos_C常见变形(1)a2Rsin
2、A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；(2)sin A，sin B，sin C；(3)abcsin Asin_Bsin_C；(4)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin Acos A；cos B；cos C常用结论三角形中的常用结论(1)ABC，.(2)在三角形中大边对大角，反之亦然(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边(4)在ABC中，tan Atan Btan Ctan Atan Btan C.2三角形的面积SABCabsin Cbcsin Aacsin B(abc)r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.基础自测一、疑误辨析1判
3、断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)在ABC中，已知a，b和角B，能用正弦定理求角A；已知a，b和角C，能用余弦定理求边c.()(2)在三角形中，已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形()(3)在ABC中，sin Asin B的充分不必要条件是AB()(4)在ABC中，“a2b2c2”是“ABC为钝角三角形”的充分不必要条件()(5)在ABC的角A，B，C，边长a，b，c中，已知任意三个可求其他三个()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、走进教材2(必修5P10A4改编)在ABC中，AB5，AC3，BC7，则BAC()ABCD答案：C3(必修5P10B2改编)在ABC中，
4、acos Abcos B，则这个三角形的形状为_答案：等腰或直角三角形三、易错自纠4在ABC中，若a18，b24，A45，则此三角形有()A无解B两解C一解D解的个数不确定解析：选B，sin Bsin Asin 45.又ab，B有两个解，即此三角形有两解故选B5ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C60，b，c3，则A_解析：由正弦定理，得sin B，因为0B180，所以B45或135.因为bc，所以BC，故B45，所以A180604575.答案：756在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos 2Asin A，bc2，则ABC的面积为_解析：由cos 2Asin
5、A，得12sin2Asin A，解得sin A(负值舍去)，由bc2，可得ABC的面积Sbcsin A2.答案：【例1】(1)(2019年全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin Aacos B0，则B_解析解法一：依题意与正弦定理得，sin Bsin Asin Acos B0，即sin Bcos B，则tan B1.又0B，所以B.解法二：由正弦定理得，bsin Aasin B，又bsin Aacos B0，所以asin Bacos B0，即sin Bcos B，则tan B1.又0B，所以B.答案(2)(2019年全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，
6、c，设(sin Bsin C)2sin2Asin Bsin C求A；若ab2c，求sin C解由已知得，sin2Bsin2Csin2Asin Bsin C，故由正弦定理得，b2c2a2bc.由余弦定理得，cos A.因为0A180，所以A60.由知，B120C，由题设及正弦定理得，sin Asin(120C)2sin C，即cos Csin C2sin C，可得cos(C60).由于0C1，矛盾无解；若0sin A1，可能有两解，也可能只有一解需要比较两个边的大小，用“大边对大角”来确定A是两解或者一解|跟踪训练|1(2019届河北“五个一名校联盟”模拟)已知a，b，c分别是ABC的内角A，B
7、，C所对的边，且c2，C，若sin Csin(BA)2sin 2A，则A_解析：在ABC中，由sin Csin(BA)2sin 2A可得，sin(AB)sin(BA)2sin 2A，即sin Acos Bcos Asin Bcos Asin Bsin Acos B4sin Acos A，cos Asin B2sin Acos A，即cos A(sin B2sin A)0，即cos A0或sin B2sin A，当cos A0时，A；当sin B2sin A时，根据正弦定理得b2a，由余弦定理c2b2a22abcos C，结合c2，C，得a2b2ab4，a，b，b2a2c2，B，A.综上可得，A
8、或.答案：或2(2019年北京卷)在ABC中，a3，bc2，cos B.(1)求b，c的值；(2)求sin(BC)的值解：(1)由余弦定理b2a2c22accos B，得b232c223c.因为bc2，所以(c2)232c223c，解得c5.所以b7.(2)由cos B得，sin B.由正弦定理得，sin Csin B.由题意得，在ABC中，B是钝角，所以C为锐角所以cos C.所以sin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C.【例2】(2019届武汉调研)在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2bcos C2ac.(1)求B；(2)若b2，ac，求ABC的面积解(1)由
9、正弦定理，知2sin Bcos C2sin Asin C，由ABC，得2sin Bcos C2sin(BC)sin C2(sin Bcos Ccos Bsin C)sin C，即2cos Bsin Csin C0.因为sin C0，所以cos B.因为0B，所以B.(2)由余弦定理b2a2c22accos B，可知b2(ac)22ac2accos B，因为b2，ac，所以22()22ac2accos ，得ac1.所以SABCacsin B1.名师点津(1)对于面积公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式(2)与面积有关的问题，一般要用正弦定理或余弦定
10、理进行边和角的转化|跟踪训练|3(2019年全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b6，a2c，B，则ABC的面积为_解析：解法一：因为a2c，b6，B，所以由余弦定理b2a2c22accos B，得62(2c)2c222cccos ，得c2，所以a4，所以ABC的面积Sacsin B42sin 6.解法二：因为a2c，b6，B，所以由余弦定理b2a2c22accos B，得62(2c)2c222cccos ，得c2，所以a4，所以a2b2c2，所以A，所以ABC的面积S266.答案：64(2019届辽宁五校联考)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin(
11、AC)2sin Acos(AB)，且sin2Asin2Bsin2Csin Asin B0.(1)求证：a，b，2a成等比数列；(2)若ABC的面积是2，求c.解：(1)ABC，sin(AC)2sin Acos(AB)，sin B2sin Acos C，在ABC中，由正弦定理得，b2acos C，sin2Asin2Bsin2Csin Asin B0，由正弦定理可得，a2b2c2ab0，cos C.又0c，C，ba，则b22a2a2a，a，b，2a成等比数列(2)ABC的面积Sabsin Cab2，则ab4，由(1)知，ba，联立两式解得a2，b2，c2a2b22abcos C4822220，c2
12、.【例3】(2019届佛山质检)如图所示，在平面四边形ABCD中，ABC，ABAD，AB1.(1)若AC，求ABC的面积；(2)若ADC，CD4，求sin CAD解(1)在ABC中，由余弦定理得，AC2AB2BC22ABBCcos ABC，即51BC2BC，解得BC(负值舍去)，所以ABC的面积SABCABBCsin ABC1.(2)设CAD，在ACD中，由正弦定理得，即，在ABC中，BAC，BCA，由正弦定理得，即，两式相除，得，即4sin ，整理得sin 2cos .又sin2cos21，故sin ，即sin CAD.名师点津平面图形中计算问题的解题关键及思路求解平面图形中的计算问题，关键
13、是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系|跟踪训练|5(2019届洛阳市第二次联考)如图，在平面四边形ABCD中，ABC为锐角，ADBD，AC平分BAD，BC2，BD3，BCD的面积S.(1)求CD；(2)求ABC解：(1)在BCD中，SBDBCsinCBD，BC2，BD3，sin CBD.ABC为锐角，CBD30.在BCD中，由余弦定理得，CD2BC2BD22BCBDcos CBD(2)2(3)222(3)9，CD3.(2)在BCD中，由正弦定理得，即，解得sin BDC.BCBD，BDC为锐角，cos BDC.在ACD中，由正弦定理得
14、，即.在ABC中，由正弦定理得，即.AC平分BAD，CADBAC由得，解得sin ABC.ABC为锐角，ABC45.【例】(2020届陕西摸底)在ABC中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m(，2sin B)，n，mn，B为锐角(1)求角B的大小；(2)若b2，求ABC的面积的最大值解(1)因为m(，2sin B)，n，mn，所以cos 2B2sin B0，所以cos 2Bsin 2B0，所以2sin0.又B为锐角，所以B.(2)由(1)知B，在ABC中，b2，由正弦定理，得asin A，csin C又ACB，所以SABCacsin Bsin Asinsin，当且仅当2A，即A
15、时，ABC的面积有最大值，为.名师点津涉及三角形中的最值、范围问题多与基本不等式求最值及三角函数的有界性交汇，求解时注意交汇知识应用的条件|跟踪训练|(2020届贵阳摸底)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bcos Bacos Cccos A.(1)求角B的大小；(2)若b2，求ABC面积的最大值解：(1)2bcos Bacos Cccos A，由正弦定理得2sin Bcos Bsin Acos Csin Ccos A，2sin Bcos Bsin(AC)sin(AC)sin B，又sin B0，2cos B1，cos B.又B(0，)，B.(2)b2，B，由余弦定理得4b2a2c22accos Ba2c2ac2acacac，即ac4(当且仅当ac2时“”成立)，SABCacsin Bac4，当且仅当ac2时，ABC的面积取得最大值.
