1、导数及其应用(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列各式正确的是()A(sin a)cos a(a为常数)B(cos x)sin xC(sin x)cos xD(x5)x6C由导数公式知选项A中(sin a)0；选项B中(cos x)sin x；选项D中(x5)5x62函数f(x)ln xax在x2处的切线与直线axy10平行，则实数a()A1 B C D1B对函数求导f(x)a，kf(2)aa，所以a3若函数f(x)x3f(1)x2x，则f(1)的值为()A0 B2 C1 D1Af(x)x22
2、f(1)x1，则f(1)122f(1)11，解得f(1)04函数f(x)x33x23xa的极值点的个数是()A2B1C0D由a确定Cf(x)3x26x33(x22x1)3(x1)20，函数f(x)在R上单调递增，无极值故选C5如图，函数yf(x)的图像在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)f(2)等于()A4 B2 C2 D1D由图像可得函数yf(x)的图像在点P处的切线是l，与x轴交于点(4，0)，与y轴交于点(0，4)，则可知l：xy4，f(2)2，f(2)1，f(2)f(2)1，故选D6函数f(x)x2ln x的单调递减区间为()ABCDCf(x)x2ln x(x0)，f(x)x，当f
3、(x)0时，解得0x0且x2时，(x2)2f(x)xf(x)2，则2f(x)xf(x)0，若0x0，令g(x)x2f(x)，g(x)2xf(x)x2f(x)x2f(x)xf(x)，x0，g(x)在x2时取得极值，g(2)4f(2)4f(2)0，f(2)10，f(2)10，故选D8已知直线x2y40与抛物线y2x相交于A、B两点，O是坐标原点，P为抛物线的弧AOB上任意点，则当ABP的面积最大时，P点坐标为()A(0，0) B(1，1) C D(2，)B设P(x0，y0)，过点P与AB平行的直线为l，如图直线x2y40与抛物线y2x相交于A、B两点，|AB|为定值，要使ABP的面积最大只要P到A
4、B的距离最大，而P点是抛物线的弧AOB上的一点，点P是抛物线上平行于直线AB的切线的切点，由图知点P在x轴上方，y，y，由题意知kAB，k1，即x01，y01，P(1，1)，故选B二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9甲工厂八年来某种产品年产量与时间(单位：年)的函数关系如图所示则下列说法正确的有()A前四年该产品产量增长速度越来越快B前四年该产品产量增长速度越来越慢C第四年后该产品停止生产D第四年后该产品年产量保持不变BD设产量与时间的关系为yf(x)，由题图可知f(x)在点(1，f(
5、1)，(2，f(2)，(3，f(3)，(4，f(4)处的切线的斜率越来越小，根据导数的几何意义可知，前四年该产品产量增长速度越来越慢，故A错误，B正确；由题图可知从第四年开始产品产量不发生变化，且f(4)0，故C错误，D正确，故说法正确的有BD故选BD10已知f(x)x(x1)(x2)(x20)，下列结论正确的是()Af(0)20!Bf(1)19!Cf(19)19!Df(20)20!ACf(x)x(x1)(x2)(x20)，f(x)(x1)(x2)(x20)x(x2)(x20)x(x1)(x3)(x20)x(x1)(x19)，f(0)(1)(2)(20)20！，即A正确；f(1)1(1)(2)
6、(19)19！，即B错误，C正确；f(20)2019120！，故D错误，故选AC11已知函数f(x)及其导数f(x)，若存在x0，使得f(x0)f(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”下列函数中，有“巧值点”的是()Af(x)x2Bf(x)exCf(x)ln xDf(x)ACD在A中，若f(x)x2，则f(x)2x，则x22x，这个方程显然有解，故A符合要求；在B中，若f(x)ex，则f(x)ln ex，即exex，此方程无解，故B不符合要求；在C中，若f(x)ln x，则f(x)，由ln x，令yln x，y(x0)，作出两函数的图像如图所示，由两函数图像有一个交点可知该方程存在实数解
7、，故C符合要求；在D中，若f(x)，则f(x)，由，可得x1，故D符合要求故选ACD12设函数f(x)，则下列说法正确的是()Af(x)在区间(1，2)上有最大值Bx(0，1)时，f(x)图像位于x轴下方Cf(x)存在单调递增区间Df(x)有且仅有两个极值点BCf(x)(x0，x1)，则f(x)，令g(x)ln x，则g(x)(x0)，所以g(x)0，函数g(x)单调递增，且g(1)10，所以函数f(x)在(1，2)上先减后增，没有最大值，所以A不正确；由f(x)，当x(0，1)时，ln x0，f(x)0在定义域上有解，所以函数f(x)存在单调递增区间，所以C是正确的；由g(x)ln x，则g
8、(x)(x0)，所以g(x)0，函数g(x)单调递增，则函数f(x)0只有一个根x0，使得f(x0)0，当x(0，1)(1，x0)时，f(x)0，函数单调递减，当x(x0，)时，函数单调递增所以函数只有一个极小值，所以D不正确，故选BC三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13函数f(x)(x1)ex1a在(1，f(1)处的切线经过点(3，7)，则实数a_1由f(x)(x1)ex1a，得f(x)ex1(x2)，f(1)3，f(1)a2，而切线过点(3，7)，从而有3，解得a114若函数f(x)mexx22x(m0)在(0，1)上有极值点，则m的取值范围为_(2
9、，0)因为f(x)mexx22x(m0)，所以f(x)mex2x2(m0)，因为函数f(x)mexx22x(m0)在(0，1)上有极值点，所以f(x)mex2x2(m0)在(0，1)上有零点，因为ymex(m0)，y2x2在(0，1)上都递减，所以f(x)在(0，1)上为减函数，所以，解得2m015函数yx36x5的图像在点(1，0)处切线的方程是_，该函数的单调递减区间是_(本题第一空2分，第二空3分)y3x30(，)函数yx36x5的导函数为y3x26，所以当x1时，切线斜率k3，所以函数yx36x5的图像在点(1，0)处切线的方程为y3(x1)，即y3x30，由y3x260解得x，所以函
10、数yx36x5的单调递减区间是(，)16日常生活中的饮用水通常都是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加已知1 t水净化到纯净度为x%时所需费用(单位：元)为c(x)(80x100)那么净化到纯净度为90%时所需净化费用的瞬时变化率是_元/t40净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数，因为c(x)(80x0)(1)求函数yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)当a1时，求函数yf(x)的单调区间和极值解(1)f(0)1，f(x)xa，f(0)0，所以函数yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y1(2)函数的定义域为(1，)，令f(x)0，即0解得x0或xa1当a1
11、时，f(x)，f(x)随x变化的变化情况为：x(1，0)0(0，a1)a1(a1，)f(x)00f(x)极大值极小值可知f(x)的单调减区间是(0，a1)，单调增区间是(1，0)和(a1，)，极大值为f(0)1，极小值为f(a1)aln aa220(本小题满分12分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为r m，高为h m，体积为V m3假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/m2，底面的建造成本为160元/m2，该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率)(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确
12、定r和h为何值时该蓄水池的体积最大解(1)因为蓄水池侧面的总成本为1002rh200rh(元)，底面的总成本为160r2元，所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元又根据题意200rh160r212 000，所以h(3004r2)，从而V(r)r2h(300r4r3)因为r0，又由h0可得0r0，故V(r)在(0，5)上为增函数；当r(5，5)时，V(r)恒成立，求正实数a的取值范围解(1)定义域为(0，)，f(x)x1a，当a0时，在(0，)上f(x)0，所以f(x)在定义域(0，)上单调递增；当a0时，令f(x)0有xa，令f(x)0有0x恒成立等价于g(a)0，即aln a(1a)a0，整理得ln aa10，令h(x)ln xx1，易知h(x)为增函数，且h(1)0，所以ln aa10的a的取值范围是0a0，且x1时，f(x)解(1)f(x)，由于直线x2y30的斜率为，且过点(1，1)，故即解得(2)证明：由(1)知，f(x)，所以f(x)设函数h(x)2ln x(x0)，则h(x)所以当x1时，h(x)0，得f(x)；当x(1，)时，h(x)故当x0，且x1时，f(x)8
