1、山东省宁阳县第四中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分1.设a，b，cR，且ab，则（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用不等式的基本性质即可判断出结论【详解】ab，acbc，因此B正确c0时，A不正确；取a=1，b=2，C不正确；a0b时，D不正确.故选B【点睛】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2.设等比数列中，前n项和为，已知，则等于()A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据等比数列的性质成等比数列求解即可.【详解】因为,且也成等比数列,.即8,1,成等比数列
2、,所以,即所以 故选A【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和性质,属于基础题型.3.对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，有如下关系：，则（ ）A. 四点O，A，B，C必共面B. 四点P，A，B，C必共面C. 四点O，P，B，C必共面D. 五点O，P，A，B，C必共面【答案】B【解析】【分析】由已知得，可得，利用共面向量定理即可判断出【详解】解：由已知得，而，四点、共面故选：点睛】本题考查了共面向量定理，属于基础题4.已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于A. B. 3C. 5D. 【答案】A【解析】抛物线焦点为,故,双曲线焦点到渐近线的距离等于,故距
3、离为,所以选.5.如图，空间四边形中，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据，再由，得到，求解.【详解】因为，又因为，所以.故选：C【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.6.等差数列和的前n项和分别为与，对一切自然数n，都有，则等于（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】取代入计算得到答案.【详解】，又当时，故选:C【点睛】本题考查了等差数列前n项和与通项的关系，判断是解题的关键.7.不等式对恒成立，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】把不等式对恒成立，转化为恒成立，结合二次函数的
4、性质，即可求解，得到答案.【详解】由题意，不等式对恒成立，即恒成立，设，由可得，所以，只需，即的取值范围为.故选：B.【点睛】本题主要考查了不等式的恒成立问题的求解，其中解答中合理利用分离参数，转化为二次函数的最值问题是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题.8.已知抛物线的焦点和准线，过点的直线交于点，与抛物线的一个交点为，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题设解三角形求出a的值，再求|AB|的值得解.【详解】由题设过点B作BCl,垂足为C,则|BC|=a, ，设准线l交x轴与D,则所以.故选C【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，
5、考查抛物线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9.等差数列是递增数列，满足，前项和为，下列选择项正确的是（ ）A. B. C. 当时最小D. 时的最小值为【答案】ABD【解析】【分析】设等差数列的公差为，因为，求得，根据数列是递增数列，得到正确；再由前项公式，结合二次函数和不等式的解法，即可求解.【详解】由题意，设等差数列的公差为，因为，可得，解得，又由等差数列是递增数列，可知，则，故正确；因为，由可知，当或时最小，故错
6、误，令，解得或，即时的最小值为，故正确.故选：【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及前项和公式的应用，其中解答中熟练应用等差数列的通项公式和前项和公式，结合数列的函数性进行判断是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10.若，则下列不等式,其中正确的有（ ）A. B. C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】依据基本不等式相关知识分别检验证明或举出反例即可的出选项.【详解】由题：由基本不等式可得：，所以A正确；当时，所以B错误；，所以，即，所以C正确；因为，所以即，所以D正确.故选：ACD【点睛】此题考查基本不等式的应用，注意适用范围，对每个选项依次验证，必须要么证明其成
7、立，要么举出反例，能够熟记常用的基本不等式的变形对提升解题速度大有帮助.11.给出下列命题，其中正确命题有（ ）A. 空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底B. 已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一个基底C. 是空间四点，若不能构成空间的一个基底，那么共面D. 已知向量组是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底【答案】ABCD【解析】【分析】根据空间基底的概念，结合向量的共面定量，逐项判定，即可求解，得到答案.【详解】选项中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以正确；选项中，根据空间基底的概念，可得正确；选项中，由不能构成空间的一个基底，可得共面，
8、又由过相同点B，可得四点共面，所以正确；选项中：由是空间的一个基底，则基向量与向量一定不共面，所以可以构成空间另一个基底，所以正确故选：ABCD.【点睛】本题主要考查了空间基底的概念及其判定，其中解答中熟记空间基底的概念，合理利用共面向量定量进行判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.12.已知椭圆的左，右焦点是是椭圆上一点，若，则椭圆的离心率可以是（ ）A. B. C. D. 【答案】BCD【解析】【分析】由椭圆的定义和题设条件， 求得，再在中，结合三角形的性质，得到，求得离心率的范围，即可求解.【详解】由椭圆的定义，可得，又由， 解得，又由在中，可得，所以，即椭圆
9、的离心率的取值范围是.故选：【点睛】本题主要考查了椭圆的离心率的求解，其中解答中熟练椭圆的离心率的概念，合理应用椭圆的定义和三角形的性质，得到关于的不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.命题“”的否定为_【答案】【解析】【分析】全称命题的否定为特称命题.【详解】命题“”的否定为.故答案为：【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题.14.已知数列满足，则通项公式_ 【答案】【解析】【分析】根据数列的通项公式和前项和的关系，准确运算，即可求解，得到答案.【详解】由题意，当时， 当时，当时，不满足，所以通项公式为故答案为：【
10、点睛】本题主要考查了数列的通项公式和前项和的关系，其中解答中熟记数列的通项公式和前项和的关系，准确运算时解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15.如图，在正方体中，上底面中心为，则异面直线与所成角的余弦值为_ 【答案】【解析】【分析】由题意，连接和，结合正方体的结构特征，得到异面直线与所成角即为直线与所成角，设，在直角中，即可求解，得到答案.【详解】由题意，连接和，设正方体的棱长为，则，在正方体中，可得，所以异面直线与所成角即为直线与所成角，设，在直角中，可得 在直角中，可得.故答案为：.【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中结合正方体的结构特征，得到异面直线与所
11、成角即为直线与所成角是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.16.设椭圆 与双曲线 有公共焦点 ， ， 是两条曲线的一个公共点，则 等于_【答案】【解析】试题分析：，则，考点：1.椭圆定义；2.双曲线定义；3.余弦定理；四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其余每小题12分，共70分17.已知命题“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，命题“曲线表示双曲线”（1）若命题是真命题，求的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据椭圆的标准方程，得到为真命题，则满足，即可求解；（2）求得命题为真时，得到，再根据是的必要不充分条件，结合集
12、合的包含关系，即可求解.【详解】（1）命题 “曲线表示焦点在轴上的椭圆”，若为真命题，则满足，解得或，即的取值范围.（2）若命题为真，则，即，因为是的必要不充分条件，则或即或，解得或.即实数的取值范围.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程的应用，以及利用充分、必要条件求解参数问题，其中解答熟记椭圆的标准方程，以及合理利用充分、必要条件转化为集合的包含关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.18.设数列满足.（1）求的通项公式；（2）求数列 前项和【答案】(1) ；(2).【解析】【分析】（1）利用递推公式,作差后即可求得的通项公式.（2）将的通项公式代入,可得数列的表达式.利用
13、裂项法即可求得前项和.【详解】（1）数列满足时, 当时,上式也成立（2）数列的前n项和【点睛】本题考查了利用递推公式求通项公式,裂项法求和的简单应用,属于基础题.19.已知关于x的一元二次不等式ax2+x+b0的解集为（-，-2）（1，+） （）求a和b的值； （）求不等式ax2-（c+b）x+bc0的解集【答案】()；()答案见解析.【解析】试题分析：()由题意结合根与系数的关系得到关于实数a,b的方程组，求解方程组可得；()结合(I)的结论化简不等式，然后分类讨论即可求得不等式的解集.试题解析：（）由题意知-2和1是方程ax2+x+b=0的两个根， 由根与系数的关系，得， 解得；（）由a=
14、1、b=-2，不等式可化为x2-（c-2）x-2c0， 即（x+2）（x-c）0；则该不等式对应方程的实数根为-2和c； 所以，当c=-2时，不等式为（x+2）20，它的解集为；当c-2时，不等式的解集为（-2，c）；当c-2时，不等式的解集为（c，-2）20.设数列的前项和为，且，数列满足，点在上， （1）求数列，的通项公式；（2）设，求数列的前项和【答案】（1），（2）.【解析】【分析】（1）利用与的递推关系可以的通项公式；点代入直线方程得，可知数列是等差数列，用公式求解即可.(2)用错位相减法求数列的和.【详解】由可得，两式相减得，又，所以故是首项为1，公比为3的等比数列所以由点在直线上
15、，所以则数列是首项为1，公差为2的等差数列则因为，所以则，两式相减得：所以【点睛】用递推关系求通项公式时注意的取值范围，所求结果要注意检验的情况；由一个等差数列和一个等比数列的积组成的数列求和，常用错位相减法求解.21.如图，已知四棱锥PABCD，底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，ABC60，E，F分别是BC，PC的中点.(I)证明：AEPD；(II)设ABPA2，求异面直线PB与AD所成角的正弦值；求二面角EAFC的余弦值.【答案】（）证明见解析；（）【解析】【分析】（）通过得到，再证明，平面PAD，然后证明；（）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出，得到异面直线PB与AD
16、所成角的正弦函数值；求出平面AEF的一法向量，平面AFC的一法向量，利用空间向量的数量积求解所求二面角的余弦值【详解】（）证明：由四边形为菱形，可得为正三角形.因为为的中点，所以.又，因此. 因为平面，平面，所以.而平面，平面且，所以平面，又平面.所以（）由（）知两两垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，又分别为的中点，所以，,. 设异面直线与所成角为， 设平面一法向量为则，因此取 因为，所以 ，故为平面的一法向量. 又=，所以 =.因为二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为【点睛】本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、利用法向量夹角求空间角，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中
17、档题22.已知曲线上的任意一点到两定点、距离之和为，直线交曲线于两点，为坐标原点（1）求曲线的方程；（2）若不过点且不平行于坐标轴，记线段的中点为，求证：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；（3）若直线过点，求面积的最大值，以及取最大值时直线的方程【答案】（1）（2）证明见解析；（3）或【解析】【分析】（1）利用椭圆的定义可知曲线为的椭圆，直接写出椭圆的方程（2）设直线，设，联立直线方程与椭圆方程，通过韦达定理求解KOM，然后推出直线OM的斜率与的斜率的乘积为定值（3）设直线方程是与椭圆方程联立，根据面积公式，代入根与系数关系，利用换元和基本不等式求最值.【详解】（1）由题意知曲线是以原点为中心，长轴在轴上的椭圆， 设其标准方程为，则有，所以， .（2）证明：设直线的方程为，设则由 可得，即， ，直线的斜率与 的斜率的乘积=为定值 （3）点，由 可得， ，解得 设 当时，取得最大值.此时，即所以直线方程是【点睛】本题考查椭圆定义及方程、韦达定理的应用及三角形面积的范围等问题，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，函数与方程思想，是中档题
