1、高考研究(三)金属杆在导轨上运动的三类问题“杆导轨”模型是电磁感应部分的重要题型，也是高考的热点，这类题目物理过程比较复杂，考查的知识点多，综合性较强，是复习中的难点。“杆导轨”模型又分为“单杆”型和“双杆”型；导轨放置方式可分为水平、竖直和倾斜三种情况。|单杆仅在安培力作用下的运动题型简述单杆置于光滑水平导轨上，可以与电源、电阻、电容器等组成回路。杆运动时仅受安培力(合外力)作用。类型接电源接电阻接电容器结构图方法突破初始条件水平导轨光滑且足够长，导轨间距为 l、金属杆 ab 质量为 m、电阻为 R，处于静止状态水平导轨光滑且足够长，金属杆ab(m、R)初速度为 v0水平导轨光滑且足够长，电
2、容器 C 原来不带电，金属杆 ab(m、R)初速度为 v0方法突破类 型接电源接电阻接电容器过程分 析S 闭合，ab 受安培力 FBlERr，此时 aBlEmRr，ab速度 vBlv与电源 电 动 势 反 向 使 电 流I安培力 FBIl加速度 a，当安培力 F0(a0)时，v 最大，最后做匀速运动ab 受到安培力F BIL B2L2vRR，ab 做减 速 运 动：vFa，当 v0 时，F0，a0，ab 保持静止一开始，感应电动势为 Blv0，ab 作为电源向电容器充电，电容器两板间的电压增加，充电电流受到的安培力阻碍 ab 运动，ab 的速度减小，当 ab 中感应电动势 Blv 与电容器两板
3、间的电压相等时，回路中没有电流，ab 最终做匀速运动图 像例 1(2017泰安模拟)如图所示，间距为 L，电阻不计的足够长平行光滑金属导轨水平放置，导轨左端用一阻值为 R 的电阻连接，导轨上横跨一根质量为 m，电阻也为 R 的金属棒，金属棒与导轨接触良好。整个装置处于竖直向上、磁感应强度为 B 的匀强磁场中。现使金属棒以初速度v0 沿导轨向右运动，若金属棒在整个运动过程中通过的电荷量为 q。下列说法正确的是()A金属棒在导轨上做匀减速运动B整个过程中电阻 R 上产生的焦耳热为mv202C整个过程中金属棒在导轨上发生的位移为qRBLD整个过程中金属棒克服安培力做功为mv202解析 设某时刻金属棒
4、的速度为 v，则此时的电动势 EBLv，安培力 F 安B2L2vR，由牛顿第二定律有 F 安ma，则金属棒做加速度减小的减速运动，选项 A 错误；由能量守恒定律知，整个过程中，金属棒克服安培力做功等于电阻 R 和金属棒上产生的焦耳热之和，即 W 安Q12mv20，选项 B 错误，D 正确；整个过程中通过金属棒的电荷量 q2RBS2RBLx2R，得金属棒在导轨上发生的位移 x2qRBL，选项 C 错误。答案 D名师指津 本题考查了切割公式、牛顿第二定律及能量守恒定律等的应用。应用感应电荷量关系式求位移是本题的难点。跟进训练1.如图所示，水平面内有一平行金属导轨，导轨光滑且电阻不计。匀强磁场与导轨
5、平面垂直。阻值为 R 的导体棒垂直于导轨静止放置，且与导轨接触良好。t0 时，将开关 S 由 1 掷到 2。q、i、v 和 a 分别表示电容器所带的电荷量、棒中的电流、棒的速度和加速度。下列图像正确的是()解析：选 D 当开关 S 由 1 掷到 2 时，电容器开始放电，此时电流最大，棒受到的安培力最大，加速度最大，此后棒开始运动，产生感应电动势，棒相当于电源，利用右手定则可判断棒上端为正极，下端为负极，与电容器的极性相同，当棒运动一段时间后，电路中的电流逐渐减小，当电容器极板电压与棒两端电动势相等时，电容器不再放电，电路电流等于零，棒做匀速运动，加速度减为零，所以 B、C 错误，D 正确；因电
6、容器两极板间有电压，qCU 不等于零，所以A 错误。|单杆在安培力与其他力共同作用下的运动题型简述单杆置于导轨上，导轨可以水平、倾斜、竖直放置，单杆在安培力与其他力共同作用下运动。方法突破类型水平导轨倾斜导轨竖直导轨结构图初始条件甲图中接电阻 R，乙图中接电容器C，水平导轨光滑，间距为 L，杆 ab 质量为 m，电阻不计，初速度为零，水平拉力 F 为恒力甲图中接电阻 R，乙图中接电容器C，光滑导轨倾角为，间距为 L，导体杆 ab 质量为m，电阻不计，都由静止释放甲图中接电阻 R，乙图中接电容器 C，竖直导轨光滑，间距为 L，导体杆ab 质量为 m，电阻不计，与导轨接触良好，都由静止释放方法突破
7、类型水平导轨倾斜导轨竖直导轨过程分析甲图中：开始时 aFm，杆 ab 速度 v感应电动势 EBLvI安培力 F 安BIL，由FF 安ma 知a，当 a0 时，v最大，vm FRB2L2 甲图中：开始时 agsin，杆 ab 速度v感应电动势 EBLvI安培力 F 安BIL，由 mgsin F 安ma 知 a，当 a0时，v 最大，vmmgRsin B2L2 甲图中：开始时 ag，杆 ab 速度 v感应电动势 EBLvI安培力 F 安BIL，由 mgF 安ma 知 a，当 a0 时，v 最大，vmmgRB2L2 方法突破类型水平导轨倾斜导轨竖直导轨过程分析乙图中：开始时 aFm，杆 ab 速度
8、vEBLv，经过 t速度为 vv，EBL(vv)，qC(EE)CBLv，IqtCBLa，F 安CB2L2a，aFmB2L2C，所以杆做匀加速运动乙图中：开始时 agsin，杆 ab 速度 vEBLv，经过 t速度为 vv，EBL(vv)，qC(EE)CBLv，IqtCBLa，F 安CB2L2a，mgsin F 安ma，a mgsin mCB2L2，所以杆做匀加速运动乙图中：开始时 ag，杆 ab 速度 vEBLv，经过 t 速度为 vv，EBL(vv)，qC(EE)CBLv，IqtCBLa，F 安CB2L2a，mgF 安ma，amgmCB2L2，所以杆做匀加速运动方法突破类型水平导轨倾斜导轨竖
9、直导轨图像注意：上述模型中，如果杆 ab 的电阻 R0，导轨不光滑时，在计算电流 I 及杆的受力分析时要注意相应变化。例 2(2016全国甲卷)如图，水平面(纸面)内间距为 l 的平行金属导轨间接一电阻，质量为 m、长度为 l 的金属杆置于导轨上。t0 时，金属杆在水平向右、大小为 F 的恒定拉力作用下由静止开始运动。t0时刻，金属杆进入磁感应强度大小为 B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场区域，且在磁场中恰好能保持匀速运动。杆与导轨的电阻均忽略不计，两者始终保持垂直且接触良好，两者之间的动摩擦因数为。重力加速度大小为 g。求(1)金属杆在磁场中运动时产生的电动势的大小；(2)电阻的阻值。解析(1
10、)设金属杆进入磁场前的加速度大小为 a，由牛顿第二定律得 maFmg设金属杆到达磁场左边界时的速度为 v，由运动学公式有vat0当金属杆以速度 v 在磁场中运动时，由法拉第电磁感应定律，杆中的电动势为 EBlv联立式可得 EBlt0Fmg。(2)设金属杆在磁场区域中匀速运动时，金属杆中的电流为 I，根据欧姆定律 IER式中 R 为电阻的阻值。金属杆所受的安培力为fBlI因金属杆做匀速运动，由牛顿运动定律得Fmgf0联立式得RB2l2t0m。答案(1)Blt0Fmg (2)B2l2t0m跟进训练2.(多选)(2017东北师范大学附中检测)如图所示，M、N 为同一水平面内的两条平行长导轨，左端串接
11、电阻 R，金属杆 ab 垂直导轨放置，杆和导轨的电阻不计，且杆与导轨间无摩擦，整个装置处于竖直方向的匀强磁场中。现对杆 ab 施加一个与杆垂直的水平方向的恒力 F，使杆 ab从静止开始运动。在运动过程中，杆 ab 的速度大小为 v，R 上消耗的总能量为 E，则下列关于 v、E 随时间变化的图像可能正确的是()解析：选 AD 开始时金属杆 ab 只受到力 F 作用，随着速度的增加，回路中感应电流逐渐变大，安培力逐渐变大，根据牛顿第二定律可知：aFF安mFB2L2vRm，故随着速度的增加，加速度逐渐减小，最后为零，杆 ab 做匀速运动，故选项 A正确，B错误；因电阻上消耗的功率为 PBLv2RB2
12、L2v2R，随速度的增加，则电阻上消耗的功率逐渐变大，最后趋近于某一定值，因 E-t 图线的斜率等于功率 P，由图线可知，选项 C错误，D 正确。|双杆在导轨上的运动题型简述双杆置于导轨上，导轨可以水平、倾斜、竖直放置，导轨的宽度可以相同，也可以不同，由于双杆的初始状态不同、受力情况不同而产生不同的运动状态。下面以导轨水平放置的情况为例分析。类型 水平导轨，无水平外力水平导轨，受水平外力不等间距水平导轨，无水平外力结构图方法突破初始条件水平导轨光滑，导体杆 1 初速度为v0，导体杆 2 初速度为 0水平导轨光滑，导体杆 1、2 初速度均为 0，导体杆 1 受到恒定拉力 F水平导轨光滑，导体杆
13、1、2 所处轨道宽度分别为 l1、l2 且 l1l2，导体杆 1 初速度为 v0，导体杆 2 初速度为 0方法突破类型 水平导轨，无水平外力水平导轨，受水平外力不等间距水平导轨，无水平外力过程分析导体杆 1 受到向左的安培力做减速运动，导体杆 2 受到向右的安培力做加速运动，当二者速度相等时，回路中的合电动势为零，感应电流为零，安培力为零，二者做匀速运动导体杆 1 受到向左的安培力，做加速度减小的加速运动，导体杆 2 受到向右的安培力，做加速度增大的加速运动，当二者加速度相等时，二者速度差恒定，回路中合电动势恒定，感应电流恒定，安培力恒定，二者以相等的加速度做匀加速运动导体杆 1 受到向左的安
14、培力速度减小，导体杆2 受到向右的安培力速度增大，当二者速度相等时，回路的电动势为EBl1vBl2v，电流不为零，安培力继续使导体杆 1 减速，使导体杆2 加速，当 l1v1l2v2时，回路中合电动势为零，电流为零，安培力为零，二者做匀速运动方法突破类型水平导轨，无水平外力水平导轨，受水平外力不等间距水平导轨，无水平外力图像注意：对于导轨倾斜、竖直放置时，由于杆的重力参与作用，过程分析需要结合具体情况。例 3 间距为 L2 m 的足够长的金属直角导轨如图所示放置，它们各有一边在同一水平面内，另一边垂直于水平面。质量均为 m0.1 kg 的金属细杆 ab、cd 与导轨垂直放置形成闭合回路。细杆与
15、导轨之间的动摩擦因数均为 0.5，导轨的电阻不计，细杆 ab、cd 的电阻分别为 R10.6，R20.4。整个装置处于磁感应强度大小为 B0.50 T、方向竖直向上的匀强磁场中(图中未画出)。当 ab 在平行于水平导轨的拉力 F 作用下从静止开始沿导轨匀加速运动时，cd 杆也同时从静止开始沿导轨向下运动，且 t0 时，F1.5 N。g10 m/s2。(1)求 ab 杆的加速度 a；(2)求当 cd 杆达到最大速度时 ab 杆的速度大小；(3)若从开始到 cd杆达到最大速度的过程中拉力F做的功为 5.2 J，求该过程中 ab 杆所产生的焦耳热。解析(1)由题可知，在 t0 时，F1.5 N对 a
16、b 杆进行受力分析，由牛顿第二定律得 Fmgma代入数据解得 a10 m/s2。(2)从 d 向 c 看，感应电流方向向里，对 cd 杆进行受力分析，如图所示，当 cd 杆速度最大时，有 fmgFN，FNF 安，F 安BIL，I BLvR1R2，综合以上各式，解得 v2 m/s。(3)整个过程中，ab 杆发生的位移，xv22a22210 m0.2 m对 ab 杆应用动能定理，有 WFmgxW 安12mv2代入数据解得 W 安4.9 J，根据功能关系得 Q 总W 安所以 ab 杆上产生的热量 QabR1R1R2Q 总2.94 J。答案(1)10 m/s2(2)2 m/s(3)2.94 J名师指津
17、 分析“双杆模型”问题时，要注意双杆之间的制约关系，即“动”杆与“被动”杆之间的关系，确定两杆的收尾状态是分析该类问题的关键。跟进训练3.如图所示，两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁感应强度为 B 的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨的电阻很小，可忽略不计，导轨间的距离为 l，两根质量均为 m、电阻均为 R 的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直。在 t0 时刻，两杆都处于静止状态。两杆分别在方向相反的恒力作用下运动(两杆不会相撞)，恒力作用情况如图所示，已知 F1F2，试分析这种情况下甲、乙两金属杆最终的运动情况。解析：设某时刻甲和乙的速度分别为 v1 和 v2，加速度分别为 a1和 a2，甲、乙受到的安培力大小均为 FA，则回路中感应电动势为 EBl(v1v2)，感应电流为 I E2R对甲和乙分别应用牛顿第二定律得 F1BIlma1，BIlF2ma2当 v1v2定值(非零)，即系统以恒定的加速度运动时a1a2，解得 a1a2F1F22m可见甲、乙两金属杆最终做加速度相同的匀加速运动，速度一直增大。答案：见解析
