1、2.4第一课时 等比数列相关概念一、课前准备1.课时目标通过实例理解等比数列的概念，探索并掌握等比数列的通项公式、性质、能在具体的问题的情境中，发现数列的等比关系，提高数学的建模能力；体会等比数列与指数函数的关系，掌握等比数列的定义，理解等比数列的通项公式的推导过程，能够求数列的任一项.2. 基础预测（1） 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于，那么这个数列叫做等比数列，常数叫等比数列的公比常用表示. （2） 如果一个等比数列的首项为，公比为，那么它的通项公式是.（3）等比中项如三个数组成，则G叫做和等比中项； 如果G是 和等比中项，那么，即.（4）在等比数列中任何一项与公比都不
2、为.（5）三个数成等比，设三个数为或设为，四个数成等比可设为或设为二、基本知识习题化（1）在等比数列中，则，A.6 B. C. D. （2）设成等比数列，其公比是2，那么的值（）A. B. C. D.1（3）在等比数列中，则公比的值为（）A.2 B.3 C4 D.8（4）已知等比数列中，各项为正数，且成等差数列，则=（）A. B. C. D. （5）三个数成等差数列，它们的和是15，若它们分别加上1,3,9，就成为等比数列，求此三个数.三、学法引领（1）搞清等比数列的通项公式，求等比数列一般先求首项，再求等比数列的公比，求出等比数列的通项公式，再求其它的项，对于三个数成等比数列可以设为去解.（
3、2）三个数成等比数列，中间项为等比中项，等比中项应当用两个值即成等比数列，满足，等比数列求解的过程是解指数方程的过程，注意应用指数函数的性质解题.（3）证明一个数列是等比数列要用等比数列的定义进行证明，即，或利用进行证明.搞清等比数列的公比与任一项不为零.四、典例导析变式练习题型1 求等比数列的通项例1 在等比数列中，（1） 已知，求；（2） 已知，求.思路导析：利用等比数列的通项，建立方程组进行求解解：（1）由已知得解得（2）根据题意，有得.整理得.解得.当时，；当时，.规律总结：利用方程求等比数列的通项问题，首先求首项与公比，再求公比时注意解的个数，公比不同代表不同的等比数列.变式训练1
4、已知为各项都大于零的等比数列，公比，则（）.A. B. C. D. 和的大小关系不能确定题型二 等比中项问题例2，已知等比数列的前三项和为168，求的等比中项.思路导析：先求，再求的等比中项.解：设等比数列的公比为，首项为那么若G是的等比中项，那么满足规律总结：（1）首项与公比是构成等比数列的基本量，所以在求等比数列的基本量时要构造方程求出首项与公比；再就是注意同号的等比数列的等比中项是互为相反数，而异号的等比数列没有等比中项.变式训练2. 在等差数列中，已知，公差不为0，且恰好是某等比数列的前3项，则该等比数列的公比等于.题型三 证明数列是等比数列例3已知数列和满足：，其中为实数，为正整数。
5、（）证明：对任意的实数，数列不是等比数列；（）证明：当时，数列是等比数列；（）设为数列的前项和，是否存在实数，使得对任意正整数，都有？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由。思路导析：证明不是等比数列可以取特殊值，证明是等比数列要按定义证明. （）证明：假设存在一个实数，使是等比数列，则有，即，矛盾。所以不是等比数列。（）证明：。又。由上式知，故当时，数列是以为首项，为公比的等比数列。（）当时，由（）得，于是，当时，从而。上式仍成立。要使对任意正整数，都有。即。令，则当为正奇数时，：当为正偶数时，的最大值为。于是可得。综上所述，存在实数，使得对任意正整数，都有；的取值范围为。规律总结；证明不
6、是等比数列可以取特殊值，验证一般取前三项；证明是等比数列要安定义进行证明即.证明数列成等比数列，可利用等比数列的定义，而证明三个数成等比数列，可证明，要注意说明全不为零.变式训练3.若成等比数列，求证：也成等比数列.五、随堂练习1. 在等比数列中，已知，则等于（ ）A16 B6 C12 D42.在等比数列中，则（）A.8 B.16 C. D. 3.已知数列满足，则的值为.4.知等比数列的公比,则等于 .5.差数列的公差，且成等比数列，则的值是.6.问题：（1） 等比数列的前3项依次为，求它的第4项；（2） 求等比数列的通项公式；（3） 一个等比数列的前3项之和是26，前6项之和是728，求和.
7、六、课时作业1. 已知等比数列的公比为正数，且，则.A.1 B. C.2 D. 2.设成等比数列，其公比为2，则的值为（ ）AB C D13.已知等比数列是公比的等比数列，且成等数列，则=4. 若是等比数列，且公比为整数，则.5. 已知为等比数列，求的通项式。参考答案一、课前准备2. 基础预测（1）【常数】（2）【】（3）【等比数列】 【】 （4）【0】（5）二、基本知识习题化（1）C解：由数列的通项公式可知（2）解析：A （3）解：选A，由等比数列的通项公式可知，所以选A（4）解：C 由成等差数列，即，所以（5）解析：设此三个数为，那么.四、典例导析变式练习1. 解析：A.当时，；当时，恒有
8、，.故选A.2. 答案：4解析：设等差数列的公差为，依题意有，即，化简得.又，因此，所以等比数列的公比等于.3. 证明：由成等比数列，得，且.，显然，成等比数列.五、随堂练习1. 选D 解：，所以2. 解析：A 设的公比为，则有所以，因此（注：在一个等比数列中，所有的奇数项的符号一致，所有的偶数项的符号也一致），故选A.3答案：48解：由得，从而有是以首项为1,2为公比的等比数列，故；是以2为首项，2为公比的等比数列，故，4. 【】解;由等比数列的公比可知.5. 解：是公差为的等差数列，.又成等比数列，即，解得.有，从而.6.解：（1），所以它的第4项是.（2）注意等比数列的首项是，而公比，所以通项公式是.（3）假设这个等比数列首项为，公比为，那么有，故有两式相除，得，即.六、课时作业1. 解析：A 设等比数列的公比为，其中，则有，由此解得，故选A.2. 解：3. 解：或.4. 解：.联立或.5.解: 设等比数列an的公比为q, 则q0, a2= = , a4=a3q=2q所以 + 2q= , 解得q1= , q2= 3, 当q=时, a1=18.所以 an=18()n1= = 233n. 当q=3时, a1= , 所以an=3n1=23n3.
