1、考纲要求：1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置2会推导空间两点间的距离公式3了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示4掌握空间向量的线性运算及其坐标表示5掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直6理解直线的方向向量与平面的法向量7能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系8能用向量方法证明有关直线和平面关系的一些定理(包括三垂线定理)1空间向量及其有关概念(1)空间向量的有关概念空间向量：在空间中，具有和的量叫做空间向量相等向量：方向且模的向量共线向量：表示空间向量的有向线段所
2、在的直线互相的向量共面向量：的向量大小方向相同平行或重合相等平行于同一个平面(2)空间向量中的有关定理共线向量定理：对空间任意两个向量 a，b(b0)，ab存在唯一一个 R，使 a=.共面向量定理：若两个向量 a、b 不共线，则向量 p 与向量 a，b 共面存在唯一的有序实数对(x，y)，使 p.空间向量基本定理：如果三个向量 a、b、c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z使得 p.bxaybxaybzc2两个向量的数量积(1)非零向量 a，b 的数量积 ab|a|b|cosa，b(2)空间向量数量积的运算律结合律：(a)b(ab)；交换律：abba；分配律：a
3、(bc)abac.3空间向量的坐标表示及其应用设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，向量表示坐标表示数量积ab共线ab(b0)垂直ab0(a0，b0)模|a|夹角a，b(a0，b0)cosa，ba1b1a2b2a3b3a21a22a23 b21b22b23a1b1a2b2a3b3a1b1，a2b2，a3b3 a1b1a2b2a3b30a21a22a234.向量法证明平行与垂直(1)两个重要向量直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有个平面的法向量直线 l平面，取直线 l 的方向向量，则这个向量叫做平面 的法向量显然一个平面的法向量有
4、个，它们是共线向量无数无数(2)空间位置关系的向量表示位置关系向量表示l1l2n1n2n1n2直线 l1，l2 的方向向量分别为 n1，n2l1l2n1n2n1n20lnmmn0直线 l 的方向向量为 n，平面 的法向量为 mlnmnmnmnm平面、的法向量分别为 n，mnmnm0自我查验1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若 A，B，C，D 是空间任意四点，则有()(2)|a|b|ab|是 a，b 共线的充要条件()(3)对空间任意一点 O 与不共线的三点 A，B，C，若(其中 x，y，zR)，则 P，A，B，C 四点共面()(4)对于空间非零向量 a，b，abab0.(
5、)(5)在向量的数量积运算中满足(ab)ca(bc)()(6)直线的方向向量是唯一确定的()(7)两不重合直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1(1,0，1)，v2(2,0,2)，则 l1 与 l2 的位置关系是平行()(8)已知则平面 ABC 的单位法向量是n013，23，23.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)2在下列命题中：若向量 a，b 共线，则向量 a，b 所在的直线平行；若向量 a，b 所在的直线为异面直线，则向量 a，b 一定不共面；若三个向量 a，b，c 两两共面，则向量 a，b，c 共面；已知空间的三个向量 a，b，c，则对于空间的任意一个向量
6、p 总存在实数 x，y，z 使得 pxaybzc.其中不正确命题的序号是_解析：a 与 b 共线，a，b 所在直线也可能重合，故不正确；据空间向量的意义知，a，b 所在直线异面，则 a，b 必共面，故错误；三个向量 a，b，c 中任两个一定共面，但它们却不一定共面，故不正确；只有当 a，b，c 不共面时，空间任意一向量 p 才能表示为 pxaybzc，故不正确答案：答案：12bc4已知 a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)，若 a，b，c 三向量共面，则实数 等于_答案：6575若直线 l 的方向向量为 a(1,0,2)，平面 的法向量为 n(2，0，4)，则直线 l 与平面 的
7、位置关系为_答案：l6若平面 1，2 垂直，则下面可以是这两个平面的法向量的是_n1(1,2,1)，n2(3,1,1)n1(1,1,2)，n2(2,1,1)n1(1,1,1)，n2(1,2,1)n1(1,2,1)，n2(0，2，2)答案：A.12a23b12c B23a12b12cC.12a12b12cD.23a23b12c答案：B探究 若本例中将“点 M 在 OA 上，且 OM2MA”改为“M 为 OA 的中点，点 G 在线段 MN 上，且”，则_.用已知向量表示某一向量的方法用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义首尾相
8、接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立典题 2 已知 E，F，G，H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 的中点(1)求证：E，F，G，H 四点共面；(2)求证：BD平面 EFGH；(3)设 M 是 EG 和 FH 的交点，求证：对空间任一点 O，有典题 3 如图所示，在平行四边形 ABCD 中，ABACCD1，ACD90，把ADC 沿对角线 AC 折起，使 AB 与 CD 成 60角，求 BD 的长(1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置；(2)
9、利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角；(3)可以通过|a|a2，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解如图所示，已知空间四边形 ABCD 的各边和对角线的长都等于 a，点 M、N 分别是 AB、CD 的中点(1)求证：MNAB，MNCD；(2)求 MN 的长；(3)求异面直线 AN 与 CM 所成角的余弦值解：(1)证明：设由题意可知，|p|q|r|a，且 p、q、r 三向量两两夹角均为60.12(qprpp2)12(a2cos 60a2cos 60a2)0.即 MNAB.同理可证 MNCD.典题 4 已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，ABC 为等腰直角三角形，BAC
10、90，且 ABAA1，D，E，F 分别为 B1A，C1C，BC 的中点(1)求证：DE平面 ABC；(2)求证：B1F平面 AEF.听前试做 以 A 为原点，AB，AC，AA1 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz，令 ABAA14，则A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B1(4，0,4)，D(2,0,2)，A1(0,0,4)1用向量证明平行的方法(1)线线平行：证明两直线的方向向量共线(2)线面平行：证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行(3)面面平行：证明两平面的法向量为共线向量；
11、转化为线面平行、线线平行问题2用向量证明垂直的方法(1)线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零(2)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示(3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示3运用向量知识判定空间位置关系，仍然离不开几何定理如用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外如图所示，在四棱锥 P-ABCD 中，PC平面 ABCD，PC2，在四边形 ABCD 中，BC90，AB4，CD1，点 M 在 PB 上，PB4PM，PB 与平面 ABCD 成 30的角求证：(1)
12、CM平面 PAD；(2)平面 PAB平面 PAD.证明：以 C 为坐标原点，CB 为 x 轴，CD 为 y 轴，CP 为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 C-xyz.PC平面 ABCD，PBC 为 PB 与平面 ABCD 所成的角，PBC30.PC2，BC2 3，PB4，D(0,1,0)，B(2 3，0,0)，A(2 3，4,0)，P(0,0,2)，M32，0，32，(1)设 n(x，y，z)为平面 PAD 的一个法向量，令 y2，得 n(3，2,1)CM平面 PAD.(2)如图，取 AP 的中点 E，连接 BE，则 E(3，2,1)，(3，2,1)PBAB，BEPA.又(3，2,1)(2
13、 3，3,0)0，又 PADAA，BE平面 PAD.又BE平面 PAB，平面 PAB平面 PAD.方法技巧1利用空间向量解决立体几何问题的两种思路(1)选好基底，用向量表示出几何量，利用空间向量有关定理与向量的线性运算进行判断(2)建立空间坐标系，进行向量的坐标运算，根据运算结果的几何意义解释相关问题2利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题易错防范用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线ab，只需证明向量 ab(R)即可若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外.
