1、1.4 空间向量的应用 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时 距离问题 第一章 空间向量与立体几何 学 习 任 务核 心 素 养 1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题(重点)2.能描述解决距离问题的程序，体会向 量 方 法 在 研 究 几 何 问 题 中 的 作用(难点、易混点)空间中点、线、面距离的相互转化，培养直观想象和数学运算素养.情境导学探新知 NO.1知识点1 知识点2 立交桥是伴随高速公路应运而生的城市的立交桥不仅大大方便了交通，而且成为城市建设的美丽风景为了车流畅通，并安全地通过交叉路口，1928 年，美国首先在新泽西州
2、的两条道路交叉处修建了第一座苜蓿叶形公路交叉桥.1930 年，芝加哥建起了一座立体交叉桥.1931 年至 1935 年，瑞典陆续在一些城市修建起立体交叉桥从此，城市交通开始从平地走向立体在设计过程中工程师需要计算出上、下纵横高速公路之间的距离、立交桥上的高速公路与地面之间的距离，工程师如何计算出来？知识点 1 点 P 到直线 l 的距离如图，直线 l 的单位方向向量为 u，A 是直线 l 上的定点，P 是直线 l 外一点设APa，则向量AP在直线 l 上的投影向量AQ(au)u.在 RtAPQ 中，由勾股定理，得点 P 到直线 l 的距离为 PQ_.|AP|2|AQ|2 a2au2如何用向量的
3、方法求两条平行线的距离？提示 两条平行线的距离可转化为其中一条直线上任一点到另一条直线的距离1.已知直线 l 过定点 A(2,3,1)，且方向向量为 s(0,1,1)，则点 P(4,3,2)到 l 的距离 d 为()A3 22 B 22 C 102 D 2 A AP(2,0,1)，由点到直线的距离公式得 d|AP|2|AP s|s|251223 22.知识点 2 点 P 到平面 的距离如图，已知平面 的法向量为 n，A 是平面 内的定点，P 是平面 外一点过点 P 作平面 的垂线l，交平面 于点 Q，则 n 是直线 l 的方向向量，且点P到平面的距离就是AP在直线l上的投影向量QP 的长度因此
4、 PQ_.AP n|n|APn|n|APn|n|2.已知平面的一个法向量为n(2，2,1)，点A(1,3,0)在平面 内，则点 P(2,1,4)到平面 的距离为_ 103 由题意知，AP(1，2,4)，|n|222213，APn(1)(2)(2)(2)4110，点 P 到平面 的距离为|APn|n|103.合作探究释疑难 NO.2类型1 类型2 类型3 类型 1 点到直线的距离【例 1】已知在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别是 C1C，D1A1 的中点，求点 A 到 EF 的距离解 以 D 点为原点，DA，DC，DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标
5、系如图所示，设 DA2，则 A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)，则EF(1，2,1)，FA(1,0，2)|EF|122212 6，|FA|25，FAEF110(2)(2)11，FA在EF上的投影向量的长度为|FAEF|EF|16.所以点 A 到 EF 的距离 d|FA|2162296 1746.用向量法求点到直线的距离的一般步骤(1)建立空间直角坐标系，并求相应点的坐标(2)求出直线的方向向量 a 的坐标，并求|a|2.(3)求以直线上某一特殊点为起点，所求点为终点的向量 b 的坐标，并求|b|，计算ab|b|.(4)利用|a|2ab|b|2求点到直线的距离跟进训练1.如图，
6、在空间直角坐标系中有长方体 ABCD-ABCD，AB1，BC2，AA3，求点 B 到直线 AC 的距离解 因为 AB1，BC2，AA3，所以 A(0,0,3)，C(1,2,0)，B(1,0,0)，所以直线 AC 的方向向量AC(1,2，3)CB(0，2,0)，|AC|14，|CB|24，所以CB在AC 上的投影向量的长度为|CBAC|AC|414，所以点 B 到直线 AC 的距离 d|BC|2BCAC|AC|2 416142 357.类型 2 点到平面的距离【例 2】(对接教材 P34 例题)如图，BCD 与MCD 都是边长为 2 的正三角形，平面 MCD平面BCD，AB平面 BCD，AB2
7、3，求点 A 到平面MBC 的距离解 取 CD 的中点 O，连接 OB，OM，则OBCD，OMCD，又平面 MCD平面 BCD，所以 MO平面 BCD 以 O 为坐标原点，分别以直线 OC，BO，OM 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 Oxyz，如图所示 因为BCD 与MCD 都是边长为 2 的正三角形，所以 OBOM 3，则 O(0,0,0)，C(1,0,0)，M(0,0，3)，B(0，3，0)，A(0，3，2 3)，所以BC(1，3，0)，BM(0，3，3)，BA(0,0,2 3)设平面 MBC 的法向量为 n(x，y，z)，由 nBC，nBM，得nBC0，nBM 0，即x 3y
8、0，3y 3z0，取 x 3，可得平面 MBC 的一个法向量为n(3，1,1)又BA(0,0,2 3)，所以所求距离 d|BAn|n|2 155.试总结用向量法求点到平面距离的步骤？提示 跟进训练2如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别是 A1B1，CD 的中点，求点 B 到截面 AEC1F 的距离解 如图，以 D 为坐标原点，分别以 DA，DC，DD1 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间 直 角 坐 标 系，则 A(1,0,0)，F0，12，0，E1，12，1，B(1,1,0)，AE0，12，1，AF1，12，0.设平面 AEC1F 的一个法向量
9、为 n(1，)，则 nAE0，nAF0，120，1120，2，1，n(1,2，1)又AB(0,1,0)，点 B 到截面 AEC1F 的距离 d|ABn|n|26 63.类型 3 直线和平面、平面和平面的距离【例 3】已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2，E，M，N分别为 A1B1，AD，CC1 的中点，判断直线 AC 与平面 EMN 的关系如果平行，求出 AC 与平面 EMN 之间的距离；如果不平行，说明理由解 以 D 为原点，DA，DC，DD1 的方向分别为 x 轴、y 轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系则 M(1,0,0)，E(2,1,2)，N(0,2,1)，A(
10、2,0,0)，C(0,2,0)，所以ME(1,1,2)，MN(1,2,1)，AC(2,2,0)设平面 EMN 的一个法向量为 n(x，y，z)，则 nME xy2z0，nMN x2yz0，令 z1，则得 n(1，1,1)因为ACn(2)(1)2(1)010，所以ACn，又因为点 A 显然不在平面 EMN 内，所以 AC 与平面 EMN 平行 又因为MA(1,0,0)，所以|nMA|n|111010|121212 33，因此点 A 到平面 EMN 的距离为 33，这也是 AC 与平面 EMN 之间的距离直线与平面、平面与平面距离的求法(1)建立空间直角坐标系，求相应点的坐标(2)求出直线的方向向
11、量，平面的法向量(3)先证明直线与平面、平面与平面平行，然后把所求距离转化为点到平面的距离(4)求出点到平面的距离即为所求距离跟进训练3.在直三棱柱中，AA1ABBC3，AC2，D 是 AC 的中点(1)求证：B1C平面 A1BD；(2)求直线 B1C 到平面 A1BD 的距离解(1)证明：连接 AB1 交 A1B 于点 E，连接 DE.DEB1C，DE平面A1BD B1C平面 A1BD(2)因为 B1C平面 A1BD，所以 B1C 到平面 A1BD 的距离就等于点 B1 到平面 A1BD 的距离 如图建立坐标系，则 B1(0,2 2，3)，B(0,2 2，0)，A1(1,0,3)，DB1(0
12、,2 2，3)，DB(0,2 2，0)，DA1(1,0,3)设平面 A1BD 的法向量为 n(x，y，z)，所以2 2y0，x3z0，所以 n(3,0,1)所求距离为 d|nDB1|n|3 1010.当堂达标夯基础 NO.31 3 5 2 4 1已知 A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，则点 A 到直线 BC 的距离为()A2 23 B1 C 2 D2 21 3 5 2 4 A A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，AB(1,0,0)，BC(1,2，2)，点 A 到直线 BC 的距离为 d|AB|2ABBC|BC|2 11322 23.2 1 3 4 5 2若
13、三棱锥 P-ABC 的三条侧棱两两垂直，且满足 PAPBPC1，则点 P 到平面 ABC 的距离是()A 66B 63C 36D 332 1 3 4 5 D 分别以 PA，PB，PC 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则 A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)可以求得平面 ABC 的一个法向量为 n(1,1,1)，则 d|PAn|n|33.3 1 2 4 5 3两平行平面，分别经过坐标原点 O 和点 A(2,1,1)，且两平面的一个法向量 n(1,0,1)，则两平面间的距离是()A32B 22C 3D3 23 1 2 4 5 B 两平行平面，分别经过坐标原点
14、O 和点 A(2,1,1)，OA(2,1,1)，且两平面的一个法向量 n(1,0,1)，两平面间的距离 d|nOA|n|201|2 22.故选 B4 1 2 3 5 4已知直线 l 经过点 A(2,3,1)，且向量 n(1,0，1)所在直线与l 垂直，则点 P(4,3,2)到 l 的距离为_22 因为PA(2,0，1)，又 n 与 l 垂直，所以点 P 到 l 的距离 d|PAn|n|21|2 22.2 4 5 1 3 5棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是线段BB1，B1C1的中点，则直线MN到平面ACD1的距离为_32 如图，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直
15、线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系 2 4 5 1 3 则D(0,0,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，M1，1，12，A(1,0,0)，AM 0，1，12，AC(1,1,0)，AD1(1,0,1)设平面ACD1的法向量为n(x，y，z)，则nAC0，nAD1 0，即xy0，xz0.令x1，则yz1，n(1,1,1)2 4 5 1 3 点M到平面ACD1的距离d|AM n|n|32.又MN 綊12AD1，故MN平面ACD1，故直线MN到平面ACD1的距离为 32.回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)用空间向量求点到直线的距离的方法是什么？提示 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，则点P到直线l的距离为|AP|2APu2.(2)用空间向量求点到平面的距离的方法是什么？提示 已知平面的法向量为n，A是平面内的定点，P是平面外一点，则点P到平面的距离是|APn|n|.(3)如何用空间向量求直线和平面、平面和平面的距离？提示 先证明直线和平面平行，平面和平面平行，然后把所求距离转化为点到平面的距离，最后利用点到平面的距离公式求解点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
